2018春中考数学《锐角三角函数》强化练习

第四单元 三角形

锐角三角形

命题点1特殊角的三角函数值 1. tan60°=_______. 2. cos60°=_________.

命题点2直角三角形边角关系的计算

3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值为( ) A.

512125 B. C. D. 12513134.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( ) A. 2 B.

1255 C. D.

255

第4题图 第5题图

5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE∶

EB=4∶1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于( )

A.

32353 B. C. 333D. 53 1

第6题图

6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交

AC于点E，设∠A=α，且tanα=，则tan2α=__________.

7. 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°,∠BAC=45°.

(1)用尺规作图：在CA的延长线上截取AD＝AB，并连接BD（不写作法，保留作图痕迹）; (2)求∠BDC的度数;

（3）定义：在直角三角形中，一个锐角A的邻边与对边的比叫做∠AcotA＝?A的邻边?A的对边.根据定义，利用图形求

13的余切，记作cotA，即

cot22.5°的值.

第7题图

命题点3锐角三角函数的实际应用 类型1单个三角形

8.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM=100海里.那么该船继续航行__________海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置.

2

第8题图 第9题图

9. 为解决都匀市停车难的问题，计划在一段长为56米的路段划出如图所示的停车位，已知每个车位是长为5米、宽为2米的矩形，且矩形的宽与路的边缘成45°角，则该路段最多可以划出____ 个这样的停车位.（取2＝1.4，结果保留整数） 10. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式： sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ tan(α±β)=

tan??tan?

1?tan?tan?利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，

例如：tan75°=tan(45°+30°)=

tan45??tan30? =2+3. 1?tan45?tan30?根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题： (1)计算sin15°；

(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士.李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为3米，请你帮助李三求出纪念碑的高度.

3

第10题图

类型2抱子型

11.如图，为了知道空中一静止的广告气球A的高度，小宇在B处测得气球A的仰角为18°，他向前走了20 m到达C处后，再次测得气球A的仰角为45°，已知小宇的眼睛距地面1.6 m，求此时气球A距地面的高度.(结果精确到0.1 m)

第11题图

4

12. 贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出.已知点

A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与

水平线的夹角∠CAD=60°.求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠

BAD的度数.(结果精确到1°)

5

第12题图

13. 如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)

(参考数据:sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)

6

第13题图

14. 黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距(BD)6米，小明的身高(AB)1.5米，小军的身高(CD)1.75米，求旗杆的高EF的长.(结果精确到0.1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)

第14题图

7

15.黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高.已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB).(结果精确到1 m,参考数据：2≈1.4, 3≈1.7)

第15题图

8

16. 如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B、D的俯角分别为30°、60°，此时无人机的飞行高度AC为 60

m，随后无人机从A处继续水平飞行 303 m到达A′处.

(1)求A，B之间的距离；

(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值.

第16题图

9

类型3背靠背型

17. 某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB的长为3 m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6 m(踏板厚度忽略不计).为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为h m，成人的“安全高度”为2 m.(计算结果精确到0.1 m)

(1)当摆绳OA与OB成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h＝m; (2)某成人在玩秋千时，摆绳OC与OB的最大夹角为55°.问此人是否安全？(参考数据：2≈1.41,sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，

tan55°≈1.43)

第17题图

10

18.乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB到引桥

BC两部分组成(如图所示).建造前工程师用以下方式做了测量：无人

机在A处正上方97 m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测).无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′. (1)求主桥AB的长度;

(2)若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长.

(长度均精确到1 m,参考数据：3≈1.73,sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06)

第18题图

11

19. 小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20 m，到达坡顶D处.已知斜坡的坡角为15°.（以下计算结果精确到0.1 m）

（1）求小华此时与地面的垂直距离CD的值;

（2）小华的身高ED是1.6 m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度.

第19题图

12

类型4其他类型

20.如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1∶3 ，山坡坡面上

E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭

子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高.（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）

第20题图

13

21.“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1790 m.如图，DE∥BC,BD=1700 m,∠DBC=80°.求斜坡AE的长度.(结果精确到0.1 m)

第21题图

22. 如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4米，

14

AB=6米，中间平台宽度DE=1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支

柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB=31°，DF⊥BC于F，∠CDF=45°.求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)

第22题图

23. 我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌(AB)，放置在教学楼的顶部(如图所示).小明在操场上的点

D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为

37°，然后向教学楼正方向走了 4米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°.已知教学楼高BM=17米，且点A、B、M

15

在同一直线上，求宣传牌AB的高度.(结果精确到0.1米，参考数据 ：

3≈1.73,sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75)

第23题图

24. 背景材料：近年来由于世界各国大力发展海洋经济、加强海洋能源开发，所以海洋争端也呈上升趋势.为增强海洋执法能力、维护海洋领土，近期我国多个部门联合进行了护航、护渔演习. 解决问题：

（1）如图，我国渔船（C）在钓鱼岛海域正被某国不明船只袭扰，“中国渔政310”船（A）接到陆地指挥中心（B）护渔命令时，渔船(C)位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中

16

国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB＝1406海里，3“中国渔政310”船最大航速为20海里/小时.根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往渔船所在位置进行护渔至少需要多少时间？

（2）如（1）中条件不变，此时位于“中国渔政310”船（A）南偏东30°海域有一只某国军舰（O)，AO=5602海里，其火力打击范围是500海里，如果渔船沿着正南方向继续航行，是否会驶进这只军舰的打击范围？

第24题图

17

答案

1. 3 2.

3.D【解析】如解图，∵∠C=90°，AC=12,BC=5,∴

BC22225AB=AC?BC=12?5=13，则sinA=AB=.

1312

第3题解图

4. D【解析】如解图，连接AC，

2222221?1?22?2?223?1?10， 由题意得AC=,AB=,BC=∴BC2=AC2+AB2,∴∠CAB=90°，

AC2?1在Rt△ABC中，tan∠ABC=AB22=.

2

第4题解图

5. C【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB,∵EFCFBE1??⊥AC，∴EF∥BC，∵AE∶EB=4∶1,∴ACAB5.设AB=2x，则13BC=x,AC=3x，在Rt△CFB中，有CF＝5AC=5x，则tan∠BC53CFB=CF=.

312 18

13 6. 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，tanα=3，∴AC=3BC，

42222BC?AC?t?（3t）?10t，设BC=t，则AC=3t,由勾股定理得AB= 10∵D是AB的中点，∴AD= 2t.∵ED⊥AB，∴∠ADE=∠C=90°，∵10tADAE52?AE?10t，即AE= 3 ∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴ACAB，即3t4t，∴CE= 3 t.如解图，连接BE，

第6题解图

∵BD=AD,DE⊥AB，∴BE=AE，∴∠EAB=∠EBA，∴∠BEC=∠EAB+∠EBA=2

BCα，∴在Rt△CBE中，tan2α=tan∠BEC= CE = t4t3 =3.

47. 解：（1）作图如解图所示：

第7题解图(3分)

（2）由作图可知，在△ABD中，AD=AB,(4分) ∴∠ADB=∠ABD,(5分) ∵∠BAC是△ABD的外角， ∴2∠ADB=45°，(6分)

19

∴∠BDC=∠ADB=∠ABD= 22.5°；(8分) (3)在Rt△ABC中，设AC=BC=k,则AB=AD=2k， ∴在Rt△BDC中，DC=AD+AC=2k+k=(2+1)k.(10分) 由余切定义可知，在Rt△DBC中，

DCcot∠BDC= BC =

?2?1KK? =2+1,即cot22.5°= cot∠BDC

=2+1.(12分)

8. 503【解析】如解图，过M作正东方向的垂线，垂足为C，渔船到达C点时，离灯塔距离最近，则在Rt△AMC中，∠MAC=30°，AM=100海里，∴AC=AM2cos30°＝503 海里.

第8题解图

9. 19【解析】如解图，

第9题解图

∵CE=2,DE=5,且∠BCE＝∠CBE＝∠ABD=∠ADB=45°,∴

BE=CE=2,BD=DE-BE=3,∴BC=2÷sin45°=2 2,AB=33sin45°=

32322,设至多可划x个车位，依题意可列不等式22x+2≤56,将12＝1.4代入不等式，化简整理得，28x≤539,解得x≤194,因为x是正整数，所以x=19,所以这个路段最多可以划出19个这样的停车

20

23. 解：如解图，过点C作CN⊥AM于点N，则点C，E，N在同一直线上，

第23题解图

设AB=x米，则AN=x+(17-1)=(x+16)米，

在Rt△AEN中，∠AEN=45°，∴EN=AN=(x+16)米， 在Rt△BCN中，∠BCN=37°，

BM=17米，

BN∴tan∠BCN=CN≈0.75， 17?13∴x?16?4≈，

4解得x≈≈1.3.

∴宣传牌AB的高度约为1.3米.

24. 解：(1)如解图，过点A作AD⊥BC于点D，

43

第24题解图

1406∵AB=3,∠B=60°,

31

14063∴AD=AB2sin60°=332=702. 在Rt△ADC中，AD=702,∠ACD=45°，∴AC＝70232＝140. ∴“中国渔政310”船赶往出事地点至少需：140÷20=7(小时). 答：至少需要7小时.

（2）如解图，延长BC，过点O作OE⊥BC的延长线于点E，过点A作

AF⊥OE于点F，

∵AD⊥BC， ∴四边形ADEF是矩形， ∴AD=EF=702, 在Rt△AFO中，

∵AO＝5602，∠OAF=30°， ∴OF=OA=2802，

∴OE=2802+702＝3502<500, ∴如果渔船沿着正南方向继续航行会驶进该军舰的火力打击范围内.

12 32

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