1、2-1-2椭圆的几何性质

选修1-1 2.1.2椭圆的几何性质

一、选择题

1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是( ) A．(－1,0)，(1,0) C．(－6，0)，(6，0) [答案] D

[解析] ∵椭圆的焦点在y轴上，且a2＝6， ∴长轴的两个端点坐标为(0，－6)，(0，6)． x2y2x2y2

2．椭圆2＋2＝1和2＋2＝k(k>0)具有( )

ababA．相同的长轴 C．相同的顶点 [答案] D

x2y2x2y2x2y2

[解析] 椭圆2＋2＝1和2＋2＝k(k>0)中，不妨设a>b，椭圆2＋2＝1的离心率e1＝

abababa2－b2ka2－b2a2－b2x2y2

，椭圆2＋2＝1(k>0)的离心率e2＝＝. aakbkaka3．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是( ) 2m－1A.

m－12mC.

m[答案] C

x2y211

[解析] 椭圆方程可简化为＋＝1，由题意知m>0，∴<，

111＋mm1＋mm∴a＝1m＝， mm

－2－mB. m21－mD．－

m－2

B．相同的焦点 D．相同的离心率 B．(－6,0)，(6,0) D．(0，－6)，(0，6)

2m

∴椭圆的长轴长2a＝. m

4．下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴、原点都对称的是( ) A．x2＝4y

B．x2＋2xy＋y2＝0 D．9x2＋4y2＝36

C．x2－4y2＝5x [答案] D

x2y2

[解析] 因为D选项的方程可化为＋＝1，此方程为椭圆的方程，由椭圆的对称性可

49知它所对应的曲线关于x轴、y轴、原点都对称，故选D.

5．以椭圆两焦点F1、F2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率e等于( )

1A. 2C.

B.2 2

3

225D.

5

[答案] B

[解析] 由题意得b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2， c2∴e＝＝. a2

6．中心在原点、焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )

x2y2

A.＋＝1 8172x2y2

C.＋＝1 8145[答案] A

11

[解析] ∵2a＝18，∴a＝9，由题意得2c＝×2a＝×18＝6，

33x2y2

∴c＝3，∴a＝81，b＝a－c＝81－9＝72，故椭圆方程为＋＝1.

8172

2

2

2

2

x2y2

B.＋＝1 819x2y2

D.＋＝1 8136

7．焦点在x轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) x2y2

A.＋＝1 3616x2y2

C.＋＝1 64[答案] A

[解析] 由题意得c＝25，a＋b＝10，∴b2＝(10－a)2＝a2－c2＝a2－20， x2y2

解得a＝36，b＝16，故椭圆方程为＋＝1.

3616

2

2

x2y2

B.＋＝1 1636y2x2

D.＋＝1 64

8．若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是( )

1A. 4C.2 2

1B. 2D.3 2

[答案] D

[解析] 由题意得a＝2b，a2＝4b2＝4(a2－c2)，

c3∴＝. a2

9．若椭圆两焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆方程是( )

x2y2

A.＋＝1 3620x2y2

C.＋＝1 259[答案] C

[解析] 由题意得c＝4，∵P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积为12， 1

∴×2c×b＝12，即bc＝12， 2

x2y2

∴b＝3，a＝5，故椭圆方程为＋＝1.

259

1

10．椭圆的一个顶点为(0,2)，离心率为e＝，坐标轴为对称轴的椭圆方程为( )

232y2

A.x＋＝1 164y2x2

B.＋＝1 43

32y2y2x2

C.x＋＝1或＋＝1 16443x2y2y2x2

D.＋＝1或＋＝1 8443[答案] C

[解析] 当点(0,2)为长轴的一个端点时，a2＝4， c1y2x22

又＝，∴c＝1，∴b＝3，椭圆方程为＋＝1； a243当点(0,2)为短轴的一个端点时，b2＝4， c1

又＝，且a2＝b2＋c2， a2

1632y2

∴a＝，椭圆方程为x＋＝1.

3164

2

x2y2

B.＋＝1 2812x2y2

D.＋＝1 204

二、填空题

x2y2

11．经过椭圆2＋2＝1(a>b>0)的焦点且垂直于椭圆长轴所截得的弦长为________．

ab2b2

[答案]

a

[解析] ∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x＝±c，

x＝±c?4?22b22b22b由?xy，得y＝2，∴|y|＝，故弦长为.

aaa＋＝122??abx2y21

12．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________.

4m2[答案]

16或3 3

4－m1

＝，∴m＝3. 22

[解析] 当04时，e＝

m－4116＝，∴m＝. 23m

x2y2→→

13．已知P是以F1、F2为焦点的椭圆2＋2＝1(a>b>0)上的点，若PF1·PF2＝0是

ab1

tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为________．

2

[答案]

5 3

3

14．(2008·全国Ⅰ)在△ABC中，∠A＝90°，tanB＝.若以A、B为焦点的椭圆经过点C，

4则该椭圆的离心率e＝________.

1

[答案]

2

335

[解析] 如图，设AB＝x，由tanB＝，知AC＝x，∴BC＝x

444由椭圆经过点C知，椭圆的长轴长2a＝2x，∴a＝x. 1c1

又2c＝x，∴c＝x，∴e＝＝. 2a2三、解答题

y2x2315．椭圆2＋2＝1(a>b>0)的两焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝，焦点ab2到椭圆上点的最短距离为2－3，求椭圆方程．

c3??＝

[解析] 由已知得?a2，

??a－c＝2－3∴a－3

a＝2－3，∴a＝2，c＝3， 3

∴b2＝a2－c2＝1.

y22

∴椭圆的方程为＋x＝1.

4

16．已知椭圆mx2＋5y2＝5m的离心率为e＝[解析] 由已知可得椭圆方程为 x2y2

＋＝1(m>0且m≠5)． 5m

10，求m的值． 5

当焦点在x轴上，即0

5－m10

＝，解得m＝3.

55当焦点在y轴上，即m>5时，有a＝m，b＝5. 则c＝m－5，依题意有

m－510

＝.

5m

2525

解得m＝.即m的值为3或.

33

x2y23

17．(2010·天津理，20(1))已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，连接椭圆的四ab2个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程．

[解析] 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，一般思路将向量条件用坐标转化为几何条件．

c3由e＝＝，得3a2＝4c2，再由c2＝a2－b2，得a＝2b.

a21

由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.

2

?a＝2b，?

解方程组?得a＝2，b＝1，

??ab＝2，

x22

所以椭圆的方程为＋y＝1.

4

x2y2

18．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的长轴两端点为A、B，如果椭圆上存在一点Q，使∠AQB

ab＝120°，求椭圆的离心率e的取值范围．

kQB－kQA

[解析] 不妨设Q点在x轴上方，坐标为(x0，y0)．则tan∠AQB＝＝－3，

1＋kQBkQAy0y0－x0－ax0＋a即＝－3，

y0y01＋·x0－ax0＋a整理得

2ay0＝－2x0－a2＋y20

3.①

∵Q

2

在椭圆上，∴x0＝a2

?1－y0?2，

?b?2

2ab2

代入①得y0＝. 3c2

2ab2222∵0

6

≤e<1. 3

∵Q

2

在椭圆上，∴x0＝a2

?1－y0?2，

?b?2

2ab2

代入①得y0＝. 3c2

2ab2222∵0

6

≤e<1. 3

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