量子力学习题集及答案

09光信息量子力学习题集

一、填空题

1． 2．

设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125A ）。

索末菲的量子化条件为（ ?pdq?nh ），应用这量子化条件求得一维谐振子的能级En?（ n?? ）。

3．

德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍

??射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ E??? ）和（ p??k ）。

???r?=（ 三维空间自由粒子的归一化波函数为?pp?r1?e ）， 3/2(2??)i???4．

?5．

???????r?d??（ ?(p??p) ）。 ???pp??r?p?r?1*???(r)?(r)d??e ），??p?p?(2??)3/2?i????????(r)?动量算符的归一化本征态?p（ ??（ ?(p??p) ）。

6．

t=0时体系的状态为??x,0???0?x??2?2?x?，其中?n?x?为一维线性谐振子的定态波函数，则??x,t??（ ?0(x)ei??t2?2?2(x)e5i??t22 ）。

7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w=（ ? ），几率流密度j=

i?。 ?*??????* ）

2??2???的设?(r)描写粒子的状态，?(r)是（ 粒子的几率密度 ），在?(r)中F??dx?*?dx ）平均值为F=（ ?*F。

（

8．

????9．

波函数?和c?是描写（ 同一 ）状态，?ei?中的ei?称为（ 相因子 ），

ei?不影响波函数?的归一化，因为（ ei??1 ）。

10． 11．

定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为

零）的状态。

EE?(x,t)??1(x)exp(?i1t)??2(x)exp(?i2t)是定态的条件是

??（ E1?E2 ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。

3．t=0时体系的状态为??x,0???0?x???3?x?，其中?n?x?为一维线性谐振

12． 13． 14．

15．

??3(x)e子的定态波函数，则??x,t??（ ?0(x)e ）。

粒子处在0?x?a的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为

i??t2?7i?t2 1 / 13

22?2?2?2sinx ）（ ），第一激发态的波函数为（ 。 2aa?a16． 基态是指（ 能量最低 ）的状态，写出一维线性谐振子的基态波函数：（ N0e??22x/2 ）。

17．

3一维线性谐振子的第一激发态的能量为（ ?? ）、第一激发态的波函数

2为（ N12?xe??18． 19． 20． 21． 22．

22x/2 ）。

（ 对应于同一本征值的本征函数的数目 ）称为简并度，不考虑电子自旋

时，氢原子的第n个能级的简并度为（ n2 ）。 一维无限深势阱第n个能级的简并度为（ 1 ），不考虑电子自旋时，氢原

2子的第n个能级的简并度为（ n ）。

一维线性谐振子第n个能级的简并度为（ 1 ），考虑电子自旋以后，氢原

2子的第n个能级的简并度为（ 2n ）。

氢原子的状态为R32(r)Y21(?,?)，角动量平方是（ 6?2 ）、角动量z分量是（ ? ）。

?的定义是：对于两任意函数?和?, 等式厄密算符F??dx?(F??)*?dx ）成立。 （ ??*F?23． 24．

25． 26．

27． 28．

力学量算符的本征值必为（ 实数 ），力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必（ 相互正交 ）。

力学量算符的属于（ 不同本征值 ）的本征函数必相互（ 正交 ）。 量子力学中，力学量算符都是（ 厄米 ）算符，力学量算符的本征函数组成（ 完全 ）系。

?z=算符在其自身表象中的矩阵为（ 对角 ）矩阵，例如在?z表象中??10?（ ?。 ?0?1?? ）

???]=0，?存在组成?，G?，G?2，L?的如果[F则F（ 完全 ）系的共同本征态，LZ共同本征态是（ Ylm(?,?) ）。

?存在有组成（ 完全 ）系的共同本征态，则[F?]=（ 0 ）?，G?，G如果F，

?2，L?的共同本征态是（ Y(?,?) ）L。 lmZ29． 30． 31． 32．

对易子[dx?,L?]?（ ?i?L? ），[L。 ,e]?（ ex ）yxzdx?,L?]?（ i?L? ）?y]?（ 0 ）?x]?（ i? ）[x,p，[x,p，[L。 xyzd?x?y]?（ i? ）?x]?（ 0 ）。[y,p，[y,p。 ,e]?（ ?e?x ）dx能量与时间的测不准关系是（ ?E?t~? ），x和px的测不准关系是[?2（ ?x??p? ）。

4____2____2x33． 在一维情况下，若粒子处于状态?(x,t)中，则在动量表象中的波函数为

2 / 13

??C(p,t)?（ ??(x,t)e??i?px?dx ）。

34．

35．

36． 37． 38． 39． 40．

?的本征态?(x)的迭加态?(x)?3?(x)?4?(x)一维线性谐振子处在Hn2455?表象中一维线性谐振子的波函数为??=（ （0，0，3/5，0，中，则在H-4/5，0,…） ）。

斯特恩—革拉赫证实电子具有（ 自旋 ）角动量，它在任何方向上投影只

??能取两个值（ ）和（ ? ）。

22???????x??y???y??x=（ 2i??z ）?，S?S=（ i?S ）。 ?2,L?]=（ 0 ）?x??y???y??x=（ 0 ）?，[L。 z?cos????s在sz表象中，粒子处在自旋态???中，=（ 。 cos2? ）z?sin??2???cos??在?z表象中，粒子处在自旋态???。 ?sin???中，?x=（ sin2? ）????01?2?1??????s??，则在状态中，=（ ）。 x????2?1?2?10?241． 全同性原理的内容是：（ 在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换

不引起物理状态的改变 ）。

42． 泡里原理的内容是：（ 不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态 ）。 43． 描写电子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数，而电子体系的自

旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（反对称）的。

44． 电子是（ 费密 ）子，服从（ 费密-狄拉克 ）统计，描写电子体系的波

函数只能是（ 反对称 ）波函数。

45． 描写玻色子体系的波函数只能是（ 对称 ）波函数，而玻色子体系的自旋

波函数则可以是（ 对称 ）或者（ 反对称 ）的。

46． 描写费密子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数，而费密子体系的自

旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（ 反对称 ）的。

47． 光子是（ 玻色 ）子，服从（ 玻色-爱因斯坦 ）统计，描写光子体系的

波函数只能是（ 对称 ）波函数。

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在sz表象中，sx?

二、计算、证明题

?0,0?x?a1．粒子在一维势场U(x)??中运动，试从薛定谔方程出发求出

??,x?a,x?0?粒子的定态能级和归一化波函数.

解：当x?0,x?a,U??,?(0)?0

22?d???E?????E?. 当0?x?a,H22?dx 3 / 13

2?Ed22令k? 得 ??k??0 22?dx?(x)?c1sinkx?c2coskx

??(0)?0，?c2?0,?(r)?c1sinkx ??(a)?0,?sinax?0,ak?n?,(n?1,2,3,?)

n?n2?2?2?(x)?csinx,En?,1a2?a2a2(n?1,2,?)

??nd??1?c1?02 a2．一粒子在一维势场U?x??1??2x2?bx中运动，试求粒子的能级和归一化定态2波函数（准确解）。 解：

22222?d1bb?d12222??????(x?)?H???x?bx?? 2?dx222?dx22??22??2d2d2令x??x? 则 2? 22??dxdx?b?2d21b222H??????x??

2?dx222??2?2d21b222???(??x??)??E? 222?dx22???2d21b222?????x???E??,E??E? 2?dx222??2?x?21????(n?),?n(x?)?Nne2Hn(?x?),En21b2????(n?)?En,22??2?2(n?0,1,2,?)

??2?b???b????n(x)?Nnexp??x?H(?x?),(n?0,1,2,?) n2??2?2????????3．一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为

?0,r?r0; U?r???

???,r?r0.试从薛定谔方程出发求粒子在s态中的能级和定态波函数（不必归一化）。

1d22(rf) } { 提示：在s态中?f?2rdr解：

当r?r0,U??,?(r)?0

222??d2???E????r???E?. ???E???当r?r0,H22?2?rdr 4 / 13

2?Ed22令k? 得 (r?)?k(r?)?0 22?dr?(r)?(c1coskr?c2sinkr)r

c??(0)有限，?c1?0,?(r)?2sinkr

r??(r0)?0,?sinr0k?0,r0k?n?,(n?1,2,3,?) En?n2?2?22?r02,?n(r)?c2n?sinr,rr0(n?1,2,?)

?U0?0?当0?x?a??U0 4．粒子在一维势场U?x???中运动，试从薛定

??当x?0,x?a?谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数。

解：1．当x?0,x?a,U??,?(0)?0

22?d???E?????U0??E?. 当0?x?a,H2?dx22?(E?U0)d22令k? 得 ??k??0 22?dx?(x)?c1sinkx?c2coskx

??(0)?0，?c2?0,?(r)?c1sinkx ??(a)?0,?sinax?0,ak?n?,(n?1,2,3,?)

n?n2?2?2?(x)?csinx,En??U,10a2?a2a2(n?1,2,?)

??nd??1?c1?02 a?本征函数?(x)的正交归一完全性，证明 5．利用力学量算符Fn*?本征值。 ??(x)dx??c2式中，?为F?(x)F?nnn?n解： ?????,Fnnn???cn?n

n**?c?(x)dx c?nn??m?m(x)Fmn*??(x)dx???(x)F**=??cmcn?n??m(x)?n(x)dx mn*=??cmcn?n?mn mn???ncn

n2?有一组共同本征态?，?和G?和6．求证：如果算符F而且?n组成完全系，则算符Fn?对易。 G?????,解：设Fnnn?????,Gnnn任一波函数?可展开为 ???cn?n

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