高中数学选修1-1(文)第三章__导数及其应用_例题与练习

第三章 导数及其应用 第一节 变化率与导数 主编：李明 审定：贾荣信

知识梳理

1.平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，即一段时间或一段位移内的速度； 若物体的运动方程为s f(t),则物体从t到t t这

f(t t) f(t)

段时间内的平均速度v(t, t) ；一般的，函数f(x)在区间[x1,x2]

t

f(x2) f(x1)x2 x1

上的平均变化率为。 2. 瞬时速度：是某一时刻或位置物体的速度，方向与物体运动方向相同。我们测量的瞬时速度是用很短时间内的平均速度来代替的，是对物体速度的一种粗

f(t t) f(t)

略的估算。当平均速度v(t, t) 中的 t无限趋近于0 时，平均速

t

f(t t) f(t)

度v(t, t) 的极限称为在时刻t的瞬时速度v(t)，记作

t

sf(t t) f(t)v==( t 0)。求瞬时速度的步骤为： t t

(1)设物体的运动方程为s f(t)；

(2)先求时间改变量 t和位置改变量 s f(t t) f(t);

sf(t t) f(t)

(3)再求平均速度 v(t, t)

t t

sf(t t) f(t)

(4)后求瞬时速度：瞬时速度v==( t 0).

t t

3. 求函数y f(x)的导数的一般方法：

（1）求函数的改变量 y f(x x) f(x)．

yf(x x) f(x)

（2）求平均变化率．

x x

y

（3）取极限，得导数y/＝f (x) ( x 0)．

x

4.y f(x)上点（x0,f(x0)）处的切线方程为y f(x0) f/(x0)(x x0);

3.1.1 变化率问题

例：设函数f(x) x2 1，求：

（1）当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量 x； （2）当自变量x由1变到1.1时，函数的增量 y； （3）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；

解：（1） x 1.1 1 0.1

（2） y (1.12 1) (12 1) 0.21

y0.21（3） 21

x0.1

yf(x x) f(x)

评析：本题也可以由直接求解。

x x

点击双基

1. 在求平均变化率中，自变量的增量 x（ ）

Ａ． x 0 Ｂ． x 0 Ｃ． x 0 Ｄ． x 0 解：故选D

2. 一质点的运动方程是，则在一段时间 1,1 t 内相应得平均速度为：（ ） Ａ．3 t 6 Ｂ． 3 t 6 Ｃ．3 t 6 Ｄ． 3 t 6

s(1 t) s(1)5 3(1 t)2 2

解：平均速度=== 3 t 6，故选D

t(1 t) 13、在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,则（ ）

111

+2 B.Δx－－2 C.Δx+2 D.2+Δx－ x x x x(1 x)2 1 (1 1)解: ==Δx+2，故选C

y x

x

为 y

A.Δx+

4.一物体位移s和时间t的关系是s=2t-3t2,则物体的初速度是s(t) s(0)

解：平均速度==2-3t,当t趋向0时，平均速度趋向2.

t

5. 一个物体的运动方程为s 1 t t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是

s(3 t) s(3)解： t 5( t 0) 5

t

课外作业： 一．选择题

1、若质点M按规律s t3运动，则t 3秒时的瞬时速度为（ ）

A．2 B．9 C．27 D．81 s(3 t) s(3)解： t2 9 t 27( t 0) 27，故选C

t

2、任一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s 3t t2，则物体的初速度是（ ） A 0 B 3 C －2 D 3 2t

s(0 t) s(0)解： t 3( t 0) 3，故选B

t

3、设函数y f x ，当自变量x由x0改变到x0 x时，函数的改变量 y为（ ） A f x0 x B f x0 x C f x0 x D f x0 x f x0 解： y=f x0 x f x0 ，故选D

4、物体的运动方程是s 4t2 16t，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为( ) A．t 1 B．t 2 C．t 3 D． t 4

s(t t) s(t)解： 4 t 8t 16( t 0) 8t 16 0,t 2，故选B

t

5、一个物体的运动方程为s 1 t t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是（ ）

A．3米/秒 B．2米/秒 C．1米/秒 D．4米/秒

s(1 t) s(1)解： t 1( t 0) 1，故选C

t

y333

6、在曲线y x2的图象上取一点（1,）及附近一点 1 x, y ，则为

222 x

（ ）

3313131

A x 3 B x 3 C x 3 D x 3

22 x2 x2 x

y3解：= x 3，故选C

x2

7. ．物体的运动规律是s s(t)，物体在 t,t t 时间内的平均速度是（ ）

ss( t)s(t t) s(t)

Ａ．v Ｂ．v

t t ts(t)s(t t) s(t)

Ｃ．v Ｄ．当 t 0时，v 0

t t

解：由平均变化率知 故选B

8.将边长为8的正方形的边长增加 a,则面积的增量 S为 （ ） A．16 a2 B.64 C.a2+8 D.16 a+ a2

解： S =S（8+ a）-S（8）=（8+ a)2-82=16 a+ a2 故选D 二．填空题：

9、已知一物体的运动方程是s 6t2 5t 7，则其在t ________时刻的速度为7。

s(t t) s(t)解： 6 t 12t 5( t 0) 12t 5 7,t 1

t

10. 物体运动方程y=x2+3x，则物体在时间段 2,4 上的平均速度为＿＿＿＿＿＿

(42 3 4) (22 3 2)解：平均速度==9

4 2

11、当球半径r变化时，体积V关于r的瞬时变化率是＿＿＿＿＿＿

44 (r r)3 r3

v4解：==4 r2 4 r r r2;所以瞬时变化率是4 r2。 r3 r三解答题：

12、环城自行车比赛运动员的位移s与比赛时间t满足s 10t 5t2（s的单位：米，

s

求t 20, t 0.1时 s与。 t的单位：秒）

t

解 s s(20 t) s(20) 21.05

s21.05 210.5 t0.1

13. 设一物体在t秒内所经过的路程为s米，并且s 4t2 2t 3，试求物体在运动第5秒末的速度。

4(5 t)2 2(5 t) 4(52 5)

解：s (5) ( x 0) (42 4 t)( x 0) 42

t

2

14、求函数y=-x+4x+6在x=2时的瞬时变化率

( (x x)2 4(x x) 6) ( x2 4x 6)

解：平均变化率==-2x+4- x

x

当 x趋于0时, 瞬时变化率为-2x+4, x=2, 瞬时变化率为0.

思悟小结

求瞬时速度的步骤：

1．设物体的运动方程为s f(t)；

2.先求时间改变量d和位置改变量 s f(t d) f(t);

sf(t d) f(t)

3.再求平均速度

dd

sf(t d) f(t)

4.后求瞬时速度：当d无限趋近于0，无限趋近于常数v，即

dd

为瞬时速度。

3.1.2 问题探索 求作抛物线的切线 典例剖析

题型一 平均变化率

例1：在曲线y x2 1的图象上取一点(1 ,2)及邻近一点（1＋Δx，2＋Δy）求

Δ y

Δ y

解： Δy=(1 x)2 1-(12+1)= x2+2 x， = x+2

f(x0 x) f(x0) y 评析：平均变化率

(x0 x) x0 x

题型二 抛物线的切线

例2. 求抛物线y=f(x)=2x2-x在（1，1）点处的切线斜率

f(1 x) f(1)

解： =3+2 x，令 x趋于0，则3+2 x趋于3. 切线的斜率

x

k=3,

评析：以上三种类型的问题中例1是平均变化率，而例2与例3都是瞬时变化率。瞬时变化率就是平均变化率在改变量 x趋于0时的极限值。 备选题

（x0,y0）（x0,y0）例3：曲线y x2 1在点P的切线斜率为2, 求点P的坐标.

解：设f(x) x2 1

f(x0 t) f(x0)(x t)2 1 x2 1

则 t 2x0

t t

f(x0 t) f(x0) ( t 0) ( t 2x0)( t 0) 2x0 2

t

x0 1

y0 2x0 1 3

2

点P的坐标为（1， 3）。

点评：直线与抛物线相切,一般的解题方法是将直线方程代入抛物线方程消元,,利用 0求解. 点击双基

1. 抛物线f(x)=x2－3x+1在点（1，－1）处的切线方程为（ ）

A．y=-x－1 B．y=x C．y=－x D．y=x+1 (1 x)2 3(1 x) 1 (1 3 1)=-1+ x,当 x趋于0时,得切线斜率k=-1，

x

切线方程为y+1=-1(x-1)，故选C

2.若抛物线y=x2+1的一条切线与直线y=2x-1平行，则切点坐标为（ ） A．（1，1） B （1，2） C （2，5） D （3，10）

(x x)2 1 (x2 1)

解：平均变化率==2x+ x,所以斜率k=2x=2,得

x

x=1,Y=1. 故选A

3 过点M（－1，0）作抛物线y x2 x 1的切线，则切线方程为（ ） （A）3x+y+3=0或x y 1 0 （B）3x y 3 0或x y 1 0 （C）x y 1 0 （D）3x y 3 0

a2 a 1b解：设切点N（a,b）,则切线斜率k=2a+1=kMN==,得a=0或a=-2

a 1a 1

切线斜率k=1或k=-3 ，故选A

4. 已知曲线y 2x x2上有两点A（2,0），B（-2,-8），则割线AB的斜率kAB为 解：由斜率公式求得kAB=2

5．已知曲线y 2x2 1在点M处的瞬时变化率为-4，则点M的坐标是为＿＿＿ ＿＿

f(x0 t) f(x0)

解： ( t 0) (2 t 4x0)( t 0) 4x0 4,x0 1，点M

t

的坐标是（-1，3） 课外作业： 一．选择题 1、若曲线

y f(x)在点P（a,f(a))处的切线方程为：x y 1 0,那么在点P处的切线 斜率（ ）

A．大于0 B． 小于0 C．等于0 D．符号不定

解：由切线方程得斜率为-1<0，故选B

2、已知曲线y 2ax2 1过点(a,3),则该曲线在该点处的切线方程为（ ） A．y 4x 1 By 4x 1． C．y 4x 11 D．y 4x 7

解：先将点(a,3)代入y 2ax2 1得a 1,然后求切线斜率，故选B

3、若曲线y=-x2+4x的一条切线l与直线2x-y-5=0平行，则l的方程为（ ） A.2x-y-4=0 B.2x+y=0 C.2x-y+1=0 D.2x+y-5=0 解：易得f'(x)=-2x+4,则-2x+4=2，得x=1； 切点（1，3），切线斜率k=2; 故选C

4、若曲线f(x)=x2的一条切线l与直线x 4y 8 0垂直，则l的方程为( ) A．4x-y-4=0 B．x 4y 5 0 C．4x y 3 0 D．x 4y 3 0 解：易得f'(x)=2x，则2x=4,x=2；切点（2，4），切线斜率k=4，故选A， 5、已知直线x y 1 0与抛物线y=x2+a相切，则a=( )

113

A.4 B.- C.- D.

442

111(x x)2 a (x2 a)

解;=2x+ x, f'(x)=2x=1,得x=.切点（，+a）

x224

3

在切线x y 1 0上，a=-. 故选B

4

6、曲线f(x)=x2 6x在点（1，－5）处的切线斜率为( )

A．k=3 B．k=－3 C．k=－4 D．k=4

(1 x)2 6(1 x) 1 6 解：平均变化率== x-4.当 x趋向0时，平均变化率

(1 x) 1

趋于-4，故选 C

2

7、函数y＝ax＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝ ( )

111

A． B． C． D．1

842

12

解：把两个解析式联立得方程ax-x＋1=0,由 =0即得a＝，故选B

4

2

8、过点（－1，0）作抛物线y x x 1的切线，则其中一条切线为（ ） （A）2x y 2 0 （B）3x y 3 0 （C）x y 1 0 （D）x y 1 0 解：f (x) 2x 1 ，设切点坐标为(x0,y0)，则切线的斜率为2 x0 1，且

2

y0 x21， x0 1 (2x0 1)(x x0)，于是切线方程为y x0因为点（－1，0）0 x0

在切线上，可解得

x0＝0或－4，故选D。

二．填空题：

9、设曲线y ax2在点（1，a）处的切线与直线2x y 6 0平行，则a 解：y' 2ax，于是切线的斜率k y'x 1 2a，∴有2a 2 a 1

，则切点坐标为＿＿＿＿＿＿ 3

3 9

解：y'=2x=tan=, x=,则切点坐标为（， ）

2234

11、设P为曲线C：y x2 2x 3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取10、曲线y=x2-3的一条切线l的倾斜角为

值范围为 0 ，则点P横坐标的取值范围为

4

解：设切点P的横坐标为x0, 且y' 2x0 2 tan （ 为点P处切线的倾斜角），

1

又∵ [0,]，∴0 2x0 2 1，∴x0 [ 1, ].

42

三解答题：

12. 求抛物线y=f(x)=2x2-x在（1，1）点处的切线斜率.

f(1 x) f(1)

解： =3+2 x，令 x趋于0，则3+2 x趋于3. 切线的斜率

x

k=3,

（x0,y0）（x0,y0）13、曲线y x2 1在点P的切线斜率为2, 求点P的坐标.

解：设f(x) x2 1

f(x0 t) f(x0)(x t)2 1 x2 1 t 2x0 则

t t

f(x0 t) f(x0) ( x 0) ( t 2x0)( x 0) 2x0 2

t

x0 1

y0 2x0 1 3

2

点P的坐标为（1， 3）。

14、已知抛物线y=f(x)= x2+3与直线y=2x+2,求它们交点处的切线方程。

y x2 3，

解 由方程组 得x2-2x+1=0 解得x=1,y=4,,

y 2x 2,

交点坐标为（1，4） ( x 1)2 3 (12 3)又= x+2.当 x趋于0时（ x+2.）趋于2.所以在点

x

（1，4）处的切线斜率K=2.所以切线方程为y-4=2(x-1) 即y=2x+2 ( 不难发现对于x2-2x+1=0，因为 =0，所以已知的直线y=2x+2,就是切线.)

思悟小结

曲线上一点P(u，f(u))处的切线方程

f(u d) f(u)

当割线PQ的斜率为k(u,d) 趋于确定的数值k(u)时，k(u)就是

d

曲线上点P处切线的斜率，则曲线上点P(u，f(u))处的切线方程为y f(u) k(u)(x u)。

3.1.3导数概念和几何意义 典例剖析

题型一 导数求法

例1．求函数f(x)= x2 x在x 1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；

y ( 1 x)2 ( 1 x) 2解： 3 x

x x

y ( 1 x2) ( 1 x )2

f ( 1) (x 0 x( 0) (3x x)( 0)

x x

y

评析：求导之前，应对进行化简，然后求极限，这样可以减少运算量，

x

提高运算速度，减少差错；

题型二 导数概念和几何意义

例2（1）求曲线y=f(x)=x2+1的过点P(1,0)的切线方程.（2）求函数y=3x2在

3

x=2点处的导数.（3）求函数y=3x2的导数.

解：（1）注意点P不在曲线上，则应求切点。设切点为Q（a,a2+1） f(a x) f(a)(a x)2 1 (a2 1)

==2a+ x,当 x趋于0时（2a+ x）趋于

x x

(a2 1) 0

2a 解得a=1 2 2a。所以，所求切线的斜率为2a.因此，

a 1

所求的切线方程为y=(2+22)x+(10+62)或y=(2-22)x-(2-22)

f(2 x) f(2)3(2 x)2 3*22

（2）因为==12+3 x,当 x趋于0时

x x

（12+3 x）趋于12. 所以函数y=3x2在x=2点处的导数为12。

f(x x) f(x)3(x x)2 3x2

（3）因为==6x+3 x.当 x趋于0时（6x+3 x）

x x

趋于6x, 所以函数y=3x2的导数为6x。

评析:函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率。由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,f (x0) 是一个确定的数。那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f (x)或y ，在不致发生混淆时，导函数也简称导数． 备选题

例3：如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

h(x) 4.9x2 6.5x 10，根据图像，比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况．（课本例2）

（3） 当t t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h (t2) 0，所以，在t t2附近曲线下降。

从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢．

评析：由曲线在一点处的导数f (x0)的符号，可以看出曲线在这一点处的升降情况。

点击双基

x21

1、已知曲线y 的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）

42

A．1 B．2 C．3 D．4

x2111

解．已知曲线y 的一条切线的斜率为，y' x=，∴ x=1，则切点的横

4222

坐标为1，故选A。

2、函数y=f(x)在x=x0处的导数f (x0)的几何意义是（ ）

A．在x=x0处的函数值；

B．在点（x0，f(x0)）处的切线与x轴所夹锐角的正切值。 C．曲线y=f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线的斜率， D．点（x0，f(x0)与原点连线的斜率

解：故选C

3、若曲线y 2x x3在点P处的切线的斜率是－1，则P点的坐标为（ B ） A（1,1） B（1,1）或（－1，－1） C（2，－4） D（－2,4）或（2，－4） 4、若曲线y x4的一条切线l与直线x 4y 8 0垂直，则l的方程为 解：与直线x 4y 8 0垂直的直线l为4x y m 0，即y x4在某一点的导数

为4，

而y 4x3，所以y x4在(1,1)处导数为4，此点的切线为4x y 3 0

x 4x 55、函数f(x) 3的图像在x 1处的切线在x轴上的截距为

_______________

3

解：f'(x) 3x2 4,f'(1) 7,f(1) 10,y 10 7(x 1),y 0时,x

7

课外作业： 一．选择题，

1、f(x) ax3 3x2 2,若f'( 1) 4,则a的值等于（ ）

19161310 B D 3333

解：s'(t) 2t 1,s'(3) 2 3 1 5，故选C

A

2、曲线y 4x x3在点 1, 3 处的切线方程是（ ）

（A）y 7x 4 （B）y 7x 2 （C）y x 4 （D）y x 2

4( 1 x) ( 1 x) ( 4 1)=1+3 x- x解：

3

2

x

3、设f(x) ax 4，若f (1) 2，则a的值（ ） A 2 B . －2 C 3 解：f (x) a 2，故选A

， 切线斜率k=1. 故选D

D －3

4、若函数f(x) x2 bx c的图象的顶点在第四象限，则函数f'(x)的图象是（ ）

b

解：对称轴 0,b 0,f'(x) 2x b，直线过第一、三、四象限，故选A

2

5、函数f（x）=（x+1）（x2－x+1）的导数是( )

A.x2－x+1 B.（x+1）（2x－1） C.3x2 D.3x2+17.

解：f(x) x3 1,f (x) 3x2，故选C

1

6、曲线y=在点（1，1）处切线的倾斜角 =（ ）

x 3 A B C D -

4434

1

1

1

解： k割线=,当 x趋于0时，得切线的斜率k=-1. 故选C

x1 x

7、曲线y x3 3x上切线平行于x轴的点的坐标是（ ）

A （-1，2） B （1，-2） C （1，2） D （-1，2）或(1,-2) 解：y 3x2 3 0,x 1，故选D

x

8、曲线y 在点(1, 1)处的切线方程为（ ）

x 2

(A)y x 2 (B)y 3x 2 (C)y 2x 3 (D)y 2x 1

x 2 x 2 2

k 2，∴切线方程为y 1 2(x 1)，解： y ，

(x 2)2(x 2)2(1 2)2

即y 2x 1，故选D 二．填空题：

9、曲线y 2x2在点（1，2）处的瞬时变化率为解：y 4xx 1 4

10、已知直线x y 1 0与抛物线y ax2相切，则a=＿＿＿＿＿

1a(x x)2 ax2

=a(2+ x),当 x趋于0时，得切线的斜率k=2a=1, 所以a=

x2

11、过点P（1，0）作曲线y=-x3切线l，则l的方程为＿＿＿

解：设切点（a,b）,f'(x)=-3x2，得切线斜率k=-3a2，

a3b3327

所以-3a==，得a=0或a=;切点(0,0)或（，-）。

a 1a 1228

切线方程y=0或54x+8y-54=0

三．解答题：

12. 已知f(x) x3,求曲线y f(x)在x 2处的切线斜率.

2

解： 设P(2,8), Q(2 t,(2 t)3),则割线PQ的斜率为

(2 t)3 8kPQ ( t 0) (12 6 t t2)( t 0) 12

t

所以曲线y f(x)在x 2处的切线斜率为12.

13、设f(x) x2+1，求f'(x)，f'( 1)，f'(2)

( 1 x)2 1

解：f ( 1) ( x 0) ( 2 x)( x 0) 2

x

(2 x)2 4

f (2) ( x 0) ( x 0) 4

x

14、（1）求曲线y=f(x)=x2+1的过点P(1,0)的切线方程.（2）求函数y=3x2在x=2点处的导数.（3）求函数y=3x2的导数.

解：（1）注意点P不在曲线上，则应求切点。设切点为Q（a,a2+1） f(a x) f(a)(a x)2 1 (a2 1)

==2a+ x,当 x趋于0时（2a+ x）趋于

x x

(a2 1) 0

2a 解得a=1 2 2a。所以，所求切线的斜率为2a.因此，

a 1

所求的切线方程为y=(2+22)x+(10+62)或y=(2-22)x-(2-22)

f(2 x) f(2)3(2 x)2 3*22

（2）因为==12+3 x,当 x趋于0时

x x

（12+3 x）趋于12. 所以函数y=3x2在x=2点处的导数为12。

f(x x) f(x)3(x x)2 3x2

（3）因为==6x+3 x.当 x趋于0时（6x+3 x）

x x

趋于6x, 所以函数y=3x2的导数为6x。

思悟小结

1、由导数的定义可知，求函数y f(x)的导数的一般方法是： （1）.求函数的改变量 y f(x d) f(x)。

yf(x d) f(x)

（2）.求平均变化率。

ddf(u d) f(u)

（3）当d 0时，得 f/(x0)

d

2、曲线C：y=f（x）在其上一点P（x0，f（x0））处的切线方程为 y－f（x0）=f （x0）（x－x0）

3、若质点的运动规律为s=s（t），则质点在t=t0时的瞬时速度为v=s （t0）.这就是导数的物理意义.

3.2 导数的计算

知识梳理

1.根据导数定义求函数y f(x)的导数步骤：

yf(x x) f(x)

⑴计算；

x x yf(x )x f()x

⑵f (x) ； (x 0 ) ( x0 )

x x

2．基本初等函数的求导公式： C' 0；(kx b)' k(k,b为常数) (xa)' axa 1；

(ax)' axlna(a 0,且a 0) (ex)' ex(lnx)'

1

x

11

(logax)' logae (a 0,且a 0)

xxlna(lnx)

1 x

(sinx)' cosx； (cosx)' sinx3.导数的运算法则 cf(x) ' cf(x)'

f(x) g(x) '

f'(x) g'(x)

f(x)g(x) '

'

f'(x)g(x) f(x)g'(x)

(g(x) 0)

f(x) f'(x)g(x) f(x)g'(x)

g(x)g(x)2

4．复合函数求导步骤

若y f(u)的定义域为E，函数u (x)的定义域为D,值域为W,若W E ，当u (x)的值域落在y f(u)的定义域内时则称y f[ (x)]是由中间变量u复合成的复合函数，y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数，即形如y=f (x) 的函数称为复合函数。可见，并非任意两个函数都能复合成一个复合函数。

2 复合函数求导步骤： y x yu ux，如y (2x 3)的求导可下法求解：

yx yu ux (u2) (2x 3) 2u 2 2(2x 3) 2 8x 12。

3.2.1几个幂函数的导数

典例剖析:

题型一 求函数的导数

例1 求函数y f(x) x3的导数 分析：按照求导数的步骤求解。

yf(x x) f(x)(x x)3 x3

解：因为

x x xx3 3x2 x 3x( x)2 ( x)3 x3 3x2 3x x ( x)2

x

y

所以y lim lim(3x2 3x x ( x)2) 3x2

x 0 x x 0

评析：严格按照求导数的步骤求解，就不会处错。 题型二 求函数的导数值

2

例2 函数y f(x) ，求f (2)的值。

x

分析：先求导数，再求导数值。

22

yf(x x) f(x)解：因为

x x x2[x (x x)]2

2

x(x x) xx x x y22

所以y ( x 0) ( 2)( x 0) 2

xx x xx1

f (2)

2

yf(2 x) f(2)

评析：也可以由f (2) ( x 0) ( x 0)求得。

x x

备选题

例3：证明：过抛物线y=a（x－x1）²（x－x2）（a≠0，x1<x2）上两点A（x1，0）、B（x2，0）的切线，与x轴所成的锐角相等. 解：y′=2ax－a（x1+x2），

即kA=a（x1－x2），即kB=a（x2－x1）.

设两条切线与x轴所成的锐角为 、β，则tan =|kA|=|a（x1－x2）|， tanβ=|kB|=|a（x2－x1）|，故tan =tanβ. 又 、β是锐角，则 =β.

评析：利用与x轴所成的锐角和倾斜角之间的关系，只要求出切线的斜率进行比较即可. 点击双基

1.质点运动方程是S=t3。则质点在t=2时的瞬时速度为（ ） A．6 B。12. C.8 D.9

解：s'=3t2，t=2时s'=12. 瞬时速度为12，故选B

2.求曲线f(x)= x2在点P（-2，4）处的切线方程为。 （ ） A．y=4x-4, B.y=4x+4 C.y=-4x+4 D.y=-4x-4

解：f'(x)=2x,斜率k=f'(-2)=-4，故选D

3.下列各式中不正确的是 （ ） A．y=8,则y'=0, B.y=3x, ,则y'=3 C.y=

y'=3x2

11

,则y'=2. D.y=x3,则xx

11

解：由(xn)'=nxn 1,若y=,则y'=-2，故选C

xx11

4.曲线y=2在点（2，）处的切线斜率k=＿＿＿＿

x2

1112

解：y=2，y'=-3；当x=2时y'=-。所以切线斜率k=-

xx44

5.抛物线y=x2上到直线x+2y+4=0距离最短的点的坐标＿＿＿＿＿＿＿。 解：当切线平行于直线x+2y+4=0时，切点为所求，

1111

令y'=2x=-,得x=--,所以距离最短的点的坐标（-，）

24416

课外作业

一．选择题，

1.曲线x3-y=0在点（-2，-8）处切线方程是 （ ）

A .y=12x-16 By=6x-16 C y=12x+16 D y=6x+8 解：y'=3x2，切线斜率k=12, 故选C

2曲线f(x)=x点（4，2）处切线方程是 （ ） A．x-4y+4=0 B x+4y+4=0 C。 4x-y+4=0. D 4x+y+4=0

11

解：f'(x)=，切线斜率k=，处切线方程是x-4y+4=0，故选A

42x

11

3. 曲线y x2在点（，）处的倾斜角为 （ ）

24 5

A．1 B． C． D．

444

1

解：(x2) 2x k 2 1，故选B

2

4. 已知f(x) x3，则f (3)的值为 （ ） A．3 B．9 C．27 D． 27 解： f (x) 3x2 f (3) 27，故选C

5.曲线f(x)= x2在点P（2，4）处的切线与X

直线X=3所围成的三角形的面积为（ ） A 6 B 8 C 10 D12 解：f'(x)=2x, 切线斜率k=4, 切线方程是 N x 4x-y-4=0.则如图M（3，8），N（3，0），H（1， 所围成的三角形的面积为8，故选B

6.曲线x3-y=0在点P处切线方程是3x-y-2=0,则P点坐标是（ ） A （1，1） B （-1，-1） C （1，1），（-1，-1） D （2，8）

解：y'=3x2=3，得x=1,或x=-1, x=-1.y=-5舍去，故选A

7.曲线xy=1在点（1，1）处的切线与直线y=x的夹角为（ ）

A B C D 0

246

1

解：y'= 2，切线斜率k=-1， 切线与直线y=x的夹角为，故选A

x2

8.若右图是y=f(x)的导数图像则 f(x)的解析式可能是 ( )

A y=x3 B y=-x2 C y=x2 D y=-x3 解; y=-x2时，y'=-2x符合y=f(x)的导数图像，故选B 二．填空题

9. 已知y x 5处的导数。

5 102x25

10.如果曲线x3-y=0的切线与直线y=6x+3平行，则切线方程是＿＿＿

解：y'=3x2=6，得x=2或x=-2 切点（2，22）或（-2，-22）

解： f (x)

1

f (5)

1

切线方程是y=6x 42

11.抛物线y=x2上的点到直线y=x-2的最短距离为＿＿＿＿＿＿＿

解：当切线与直线y=x-2平行时，切点到直线y=x-2的距离为所求最短距离。

7211

y'=2x=1,切点（, ），则切点到直线y=x-2的距离为。

824

三．解答题

12. 求f(x)=x3在点P（1，1）处的导数及切线方程。 解： f'(x)=3x2， f'(1)=3,

所以切线斜率k=3,则切线方程为y-1=3(x-1), 即y=3x-2

13.如果曲线x3-y=0的切线的倾斜角为，求切点坐标。

4

解：y=x3,则y'=3x2， 切线的倾斜角为， 切线斜率k=1，

4

33

3x2=1，则x= . 当x=时y=, 当x= -时y= -.

33939

333

所以切点坐标分别为（，）和（-，-.）

3939

14.求曲线xy=1和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积。

11

解： 曲线xy=1和y=x2在它们交点为P（1，1）， 函数 y=的导数y'=-2，

xx

切线斜率k=-1，切线方程是L1:y= -x+2.. 函数 y=x2的导数y'=2x, 切线斜率k=2, 切线方程是L2: y=2x-1.,.

1

L1,L2与X轴交点分别是A（2，0），B（，0）

2

113

所求三角形面积为S= （2-） 1=

224

思悟小结

几个幂函数的求导公式：

1 ⑴(C) 0 (C为常数) ⑵ (x)

⑶ (x2) 2x ⑷ (x3) 3x2

111⑸ () 2 ⑹ (x)

xx2x

3.2.2一些初等函数的导数表 典例剖析:

题型一 函数导数的求法

例1 例1. 求下列函数导数：

（1）y x 5 ( 2）y 4x 分析：（1）、（3）为幂函数，利用公式(xa)' axa 1(a 0)计算；( 2）为指数函

数，利用(ax)' axlna(a 0,且a 0)计算。

解：（1）(x 5) 5x 6；

( 2）(4x) 4xln4； 点评：注意y ax的导数与y xa的导数的区别

题型二 函数导数的简单应用

例2 ①求函数y ex在x e处的切线的方程；

②过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程.

分析：先利用公式求出导数确定切线斜率，再利用点斜式确定切线方程。 解答： ①因为切点为(e,ee), (ex) ex k ee，

由点斜式得y ee ee x e ， 即y eex ee 1 ee.

②设切点为(x0,ex0), (ex) ex k ex0

由点斜式得y e0 e

x

x0

x x0 ，

切线过原点， 0 ex ex(0 x0), ex 0, x0 1, 切点为(1,e), k e,由点斜式，得：y e e(x 1),即：y ex. 点评：在求切线方程的过程中，如何设切点、求切点是解题的关键。 备选题

例3：求下列函数的导数：

xx

（1）y=xx, (2)y=2cossin

223131 13323'''222x 解： (1) y=(x x)=(x)=x=x=222

xx

(2) y'=(2cossin)'=(sinx)'=cosx

22

评析：要用导数表中的公式对函数求导，应对表达式适当的变形。如（1）应化为y=xn

的形式，（2）应用三角变换公式使之转化为初等函数的导数。 点击双基

1. 若f(x) x3,f'(x0) 9，则x0的值为（ ）

A， 1， B C -1

D 解：y'=3x2=9，

x=D

2. f(x)=sinx,则f'()= （ ）

2

A.0 B.1 C. -1 D .

2

解：f'（x）=cosx, f'()=cos=0，故选A

22

3. f(x)=xn,若f'（2）=12，则n= ( ) A.3 B. 4 C. 5 D, 6 解：f'（x）=nxn 1,n2n 1=12,n=3，故选A

4曲线y=lnx在x=e点处的切线方程为＿＿＿＿＿

1111

解：y'=，切线斜率k=,切线方程为y-1=(x-e),即y=x。

xeee

5. 某质点运动的方程为y=2x。求时间x=3时的瞬时速度＿＿＿＿＿＿ 解：y'=2xln2，当x=3时瞬时速度8ln2。 课外作业

1、y x的导数是 （ ）

1 1 1

A．3x B．x C． x3 D．x3

333

12

1解：(x) (x3) x3，故选D

3

2、f(x) ax3 3x2 2,若f'( 1) 4,则a的值等于（ ）

2

2

19161310 B． C． D． 3333

10

解：f (x) 3ax2 6x,f ( 1) 3a 6 4,a ，故选D

3

3、 下列各结论正确的是 ( )

1

A (lon3x)'= B （2x）'=2x C (sinx)'=cosx D (cosx)'=sinx

3x1

解：(lon3x)'=;（2x)'=2xln2; (cosx)'=-sinx ，故选C

xln3

4、 若曲线y x4的一条切线l与直线x 4y 8 0垂直，则l的方程为( ) A．4x y 3 0 B．x 4y 5 0 C．4x y 3 0 D．x 4y 3 0 解：y'=4x3=4，x=1,所以切点（1，1），故选A

5、函数f(x)=ax(a>0且a 1), f'（2）=a2,则a= ( )

A．

A 2 B e C 4 D e2 解：f'（x）=axlna, a2lna=a2,lna=1 a=e ，故选B

6、曲线y=sinx， x , 的一条切线m平行于直线x-y-3=0, 则m的方

22

程为（ ）

A y=x, B y=x C y=x+1 D,不存在

2

解：令y'=cosx=1， x , ， x=0.切点（1，1）、切线斜率k=1，故选

22

B

7 、曲线y ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）

e29222

A．e B．2e C．e D．

24

解：y'=ex，切线斜率k=e2，切线方程为y=e2x-e2,与坐标轴交点（0，-e2）、 e2

（1，0）。 切线与坐标轴所围三角形的面积为，故选D

2

8、f0(x) sinx,f1(x) f0 (x),f2(x) f1 (x), ，fn 1(x) fn (x)，(n N)

(x) （ ） 则f2009

A. sinxB.sinxC.cosxD. cosx

解：f1(x) cosx,f2(x) -sinx,f3(x)=-cosx,f4(x)=sinx,f5(x) cosx . 周期为4，2009=502 4+1 ，故选A 二．填空题

9、函数y=e2,则y'=＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 解：常数函数的导数为0， y'=0，

10、已知函数f(x) sinx lnx，则f (x) 解：f (x)=cosx

11、已知f(x)=lnx, g(x)=x. 且f'(x)-g'(x)>0，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿

1

解：（lnx-x)'=-1>0, x>0, 0<x<1.

x

三解答题

12、求函数的导数：y (x 1)(x 2)(x 3) 解： y (x 1)(x 2)(x 3) x3 6x2 11x 6

y 3x2 12x 11

13、物体的运动方程是s t3 2t2 1（位移单位：m，时间单位：s），当t 2时，求物体的瞬时速度及加速度. 解： s t3 2t2 1

s 3t2 4t(s ) 6t 4 故当t 2时,s 20,(s ) 16

1x

所以当时间t 2时，v 20m/s,a 16m/s2.

14、f(x)=lnx,若4f'(x)+x a恒成立，求a的取值范围。

14

解：由函数定义域知x>0,又f'(x)=，所以不等式化为：+x a恒成立.

xx

44

+x 4 只须a 4则+x a恒成立. xx所以a的取值范围是：a 4.

思悟小结

基本初等函数的导数公式记忆：

第一类为幂函数，(xa)' axa 1(a 0)（注意幂函数a为任意实数）；

第二类为指数函数，(ax)' axlna(a 0,且a 0)，当a e时，ex的导数是(ax)

的一个特例；

11

第三类为对数函数，(logax)' logae (a 0,且a 0)，当a e时，lnx也

xxlna

是对数函数的一个特例；

第四类为三角函数，可记住正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是正弦

函数的相反数，正切函数的导数是余弦函数平方的倒数，余切函数的导数是正弦函数的平方的倒数的相反数。

利用公式求函数的导数，这就要求熟练掌握公式。特别注意y ax的导数与y xa的导数的区别，不要犯这样的错误：(ax) xax 1。

3.2.3导数的运算法则 题型一 导数的运算法则 例1求下列函数的导数

（1）y=2x3+3cosx, (2)y=(1+2x)(2x-3)

x 1

(3)y=xsinx (4)y=2

x

'33'''

解;(1) y=(2x+3cosx)=( 2x)+（3cosx)=6x2-3sinx (2)将函数化为 y=4x2-4x-3,所以y'=（4x2-4x-3）'=8x-4 (3) y'=(xsinx )'=x' sinx+x(sinx)'=sinx+xcosx

x 1'(x 1)' x2 (x 1) (x2)'x2 (x 1) 2xx 2

（4）y=(2)===-

x4x4xx3

评析：按导数的运算法则求导。

题型二 化简后求导

例2 求下列函数导数：

xx

（1）y=sin(+x) （2）y=cos(2π－x) （3）y (sin cos)2 1

222

分析：对于不具备基本初等函数特征的函数，应该先变形，然后求导。

'

解答：（1）因为y=sin(

+x)=cosx 2

所以(sin( x)) (cosx) sinx ；

2

（2） 因为y=cos(2π－x)=cosx

所以(cos(2 x)) (cosx) sinx ；

xxxxxx

（3） 因为y (sin cos)2 1 sin2 2sincos cos2 1 sinx

222222

所以(sinx) cosx

点评：记住基本初等函数函数的求导公式，是计算导数的关键，特别注意各求导公式的结构特征。 备选题

例3.求下列函数的导数：

⑴y (2 x2)3； ⑵y sinx2； 分析：利用复合函数的求导法。

解：⑴函数y (2 x2)3由函数y u3和

22222

u u 2 x2复合而成， y yux 3u ( 2x) 3(2 x)( 2x) 6x(2 x)

⑵函数y sinx2由函数y sinu和u x2

2

u 复合而成， y yux cosu 2x 2xcosx

点评：求复合函数的导数时，按以上规则求解就不会算错。

点击双基

2

1. 函数f(x) 2 x 的导数是（ ）

A .f (x) 4 x B. f (x) 4 2x C. f (x) 8 2x D. f (x) 16 x 解：f(x) 2 x 2 4 2x2, f (x) 2 4 2x f (x) 8 2x，故选C

2．函数y=（x+1）2（x－1）在x=1处的导数等于 （ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

解：y'=(x3+x2-x-1)'=3x2+2x-1, x=1处的导数等于4,故选D

3.f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x),g(x)满足f′(x)=g′(x),则f(x)与g(x)满足 ( )

A.f(x)=g(x) B.f(x)－g(x)为常数函数 C.f(x)=g(x)=0 D.f(x)+g(x)为常数函数

解：f′(x)-g′(x)=0, （f(x)-g(x)）'=0， f(x)－g(x)为常数函数，故选B 4. y=3x2+xcosx，求导数y′=＿＿＿ 解：y'=6x+cosx+xsinx

x2

5.求y=的导数. y′=＿＿＿＿

sinx

(x2) sinx x2(sinx) 2xsinx x2cosx'

解：y= 2

(sinx)sin2x

课外作业

一．选择题

1、曲线y=x3－3x2+1在点（1，－1）处的切线方程为

A.y=3x－4 B.y=－3x+2 C.y=－4x+3

D.y=4x

－5

解：∵点（1，－1）在曲线上，y′=3x2－6x，

∴切线斜率为3³12－6³1=－3，∴所求切线方程为y+1=－3（x－1）， 故选B

2、下列求导的式子中正确的是( )

A.[cos(1-x)]/=-sin(-x) B.(e x)/ e e x

11

C.(ax)/=xax-1 D.(ln)/

xx

解：利用导数的运算法则，故选D

3、已知函数f（x）在x=1处的导数为3,则f（x）的解析式可能为 ( )

A．f（x）=（x－1）2+3（x－1） B．f（x）=2（x－1） C．f（x）=2（x－1）2 D．f（x）=x－1 解：A中f（x）=x2+x-2,f'(x)=2x+1, f'(1)=3，故选A

4、下列求导数运算正确的是（ ）

'1'1(logx) 1 2A. (x ) 1 2 B.

xln2xx

x'x2'

C. (3) 3log3e D. (xcosx) 2xsinx

11

解：(x )' 1 2，(3x)' 3xln3，(x2cosx)' 2xcosx x2sinx，故选B

xx

5、函数f(x) x3 3ax2 2e，若f'(1)=9，则a的值等于（ ）

A.1 B.-1 C.3 D.-3 解：f'(x) 3x2+6ax,3+6a=9, a=1，故选A 6、若f(x)=2sin +cosx,则f'( )等于 （ ）

A -sin B.sin C.2cos - sin .D cos 解：f'(x) -sinx, f'( )=-sin ，故选A

7、已知f(x)=x2 2xf'(1),则f'（0）的值为 （ ） A． 0 B。-2 C 2. D -4

解： f (x) 2x+2f'(1), f'(1) 2+2f'(1),则f'(1) -2， f'(0) -4 ，故选D 8、若函数y=x²2x且y’=0，则x的值为 （ ）

11A．- B． C．-ln2 D．ln2 ln2ln2

1

解：y'=2x+x2xln2, y’=0，则x的值为-，故 选A ln2

二，填空题

1

9、求曲线y x 在点(1,0)处的切线方程＿＿＿＿＿

x1

解：y'=1+2，则切线斜率k=2, 切线方程2x y 1 0

x

x2

10、函数f(x) ，则f'( )

cosx

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