圆锥曲线问题总结答案

圆锥曲线问题总结答案

一、 圆锥曲线的定义及应用

例1：分析⑴可利用椭圆定义、三角形的三边间关系及不等式性质求最值；题⑵是圆锥曲线与数列性质的综合题,可根据条件先求出双曲线的半实轴长a的值,再应用双曲线的定义与等差中项的知识求|AB|的值.

解：⑴设椭圆右焦点为F1,则|MF|?|MF1|?6,∴|MA|?|MF|?|MA|?|MF1|?6.又 ?|AF1|?|MA|?|MF1|?|AF1|(当M、A、F1共线时等号成立).又

|AF1|?2,∴|MA|?|MF|?6?2, |MA|?|MF|?6?2.故|MA|?|MF|的最大值为6?2,最小值为6?2.

?2b?6?7?c ⑵依题意有??,解得a?23.∵A、B在双曲线的左支上,∴|AF2|?|AF1|?2a,

a2?222?c?a?b?|BF2|?|BF1|?2a,∴

|AF2|?|BF2|?(|AF1|?|BF1|)?4a.又

|AF2|?|BF2|?2|AB|,|AF1|?|BF1|?|AB|.

∴2|AB|?|AB|?4a,即|AB|?4a.∴|AB|?4?23?83.

小结：在本例的两个小题中,⑴正确应用相应曲线的定义至关重要,否则求解思路受阻；⑵忽视双曲线定义中的两焦半径的大小关系容易出现解题错误；⑶由M、A、F1三点共线求出|MA|?|MF|的最值也是值得注意的问题.

变式与引申答案

1. C 提示：如图6-2-1,点P到y轴的距离d比到准线的距离(即|PF|)少1,∴|PA|?d[来源:学科网]

?|PA|?|PF|?1.而点A在抛物线外,∴|PA|?d的最小值为|AF|?1?17?1.

2.

82提示：由椭圆定义知|AF2|?|AB|?|BF2|?4a?8,又|AF2|?|BF2|?2|AB|，3823∴3|AB|?82,|AB|?.

二、 圆锥曲线的标准方程

例2 分析：问题⑴：将C2的焦点坐标代入C1的方程,得出b,c的关系式,进而求出C2的离心率；问题⑵：利用问题⑴的答案,联立C1、C2的方程先得出M、N坐标,再利用?QMN的重心在抛物线C1上,求C1、C2的方程.

解：⑴∵抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(?c,0),F2(c,0),∴c2?b?0?b2,即c2?b2, ∴a2?b2?c2?2c2,∴椭圆C2的离心率e? ⑵由⑴可知a?2b,椭圆C2的方程为

b22cax2b?2222yb.

22??1,联立抛物线C1的方程x2?by?b2,

62得2y2?by?b2?0,解得y??或y?b(舍去),∴x??2b,即M(?6b2,?),N(2b6b2,?),

2b∴?QMN的重心坐标为(1,0).∵重心在C1上,∴12?b?0?b2,得b?1.∴a2?2. ∴抛物线C1的方程为x?y?1,椭圆C2的方程为

2x22?y2?1.

小结：忘记用第⑴小问的答案；记错重心坐标公式；联立C1、C2的方程后,计算错M、N坐标.

变式与引申答案

3. 解法一：①当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为

xa22?yb22?1(a?b?0),

?(3)2(?2)2?2?12???a?15?a2b依题意有?,解得?2.

2??(?23)?1?1?b?52?b?a2?a2?5?②当焦点在y轴上时,同理解得?2,a?b,不合,舍去. 综上所求椭圆的方程为

??b?15x215?y25?1.

?3m?4n?1解法二：设所求椭圆方程为mx2?ny2?1(m?0,n?0,m?n).依题意有?,解得

12m?n?1?1?m?22?xy?15?1. . 故所求椭圆的方程为??1551?n??5?22?ny2?1,相减得4. 解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得mx12?ny12?1,mx2m(x1?x2)[来源:学*科*网]

(x1?x2)?n(y1?y2)(y1?y2)?0.∵kAB?y1?y2x1?x2??1,

y1?y2x1?x2?kOC?22,∴n?2m.由

?mx2?ny2?1, ??x?y?1?0

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