2022年首都师范大学教育学院873数学基础之数学分析考

目录

2017年首都师范大学教育学院873数学基础[专业硕士]考研冲刺密押题（一） (2)

2017年首都师范大学教育学院873数学基础[专业硕士]考研冲刺密押题（二） (8)

2017年首都师范大学教育学院873数学基础[专业硕士]考研冲刺密押题（三） (14)

2017年首都师范大学教育学院873数学基础[专业硕士]考研冲刺密押题（四） (20)

2017年首都师范大学教育学院873数学基础[专业硕士]考研冲刺密押题（五） (29)

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2017年首都师范大学教育学院873数学基础[专业硕士]考研冲刺密押题（一）

注意：①本试题所有答案应写在答题纸上，不必抄题，写清题号，写在试卷上不得分；

②答卷需用黑色笔（钢笔，签字笔，圆珠笔）书写，用铅笔、红色笔等其他颜色笔答题，试题作废；

③答卷上不得做任何与答题无关的特殊符号或者标记，否则按零分处理；

④考试结束后试题随答题纸一起装入试题袋中交回。

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一、证明题

1． 求证：黎曼

函

具有如下性质：

(1)在x>1上连续；(2)在x>1上连续可微.

【答案】(1)

使得

又

从而

上一致收敛.进一步由连续性定理，可知函数

上

连续，特别在连续.由于的任意性，即可肯定

上连续.

(2)由(1)可知

使得

又

收敛，从而一

在

上一致收敛.进一步由逐项求导与连续性定理知

且

在

上连续，特别

在点可导且

在连续.由的任意性，即可肯定

在；x>l 上连续可微.

2． 试用有限覆盖定理证明聚点定理。

【答案】设S 是实轴上的一个有界无限点集，并且

假设S 没有聚点，

则任意

都不是S 的聚点，

于是存在正数

使得

中只含有S 中有穷多个点.

而开区间集

是

的一个开覆盖.由有限覆盖定理知，

存在

的一个有限覆

盖，设为

它们也是S 的一个覆盖.因为每一个

中

只含有S 中有穷多个点，故S 是一个有限点集.这与题设矛盾.故实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点。

3． 设n 是平面区域D 的正向边界线C 的外法线，则

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【答案】由公式有

4． 设

求证

：

【答案】令

显然有

于是

5． 证明：若在上可积，在

上严格单调且在上可积，则有

【答案】

设则由定积分定义，

对任给的

使得对

的任何分割

及

分点的任何取法，只要

就有

由

在上可积知

，

在上有界.设如果

则此时

结论显然成立。

现设

由于

在

上连续，

又由于在

上可积，故有界，又由导函数的达布

定理知没有第一类间断点，故

在

上连续.从而一致连续，故存在

使得当

且

时，恒有

和

对于

上的任何分割

及任意分点

在

上对

用拉格朗日中值定理，得

令

，则

得的一个分

割满

足

且

从而当

时(此时

且

有

故

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即

6． 证明：若

在区间上一致收敛于0,则存在子列

使得

在，上一致收敛.

【答案】

在上一致收敛于0,

所以对任意的自然数

总存在自然数

使得

而级数

收敛，由魏尔斯特拉斯判别法，得级数

在上一致收敛.

7． 设f 是以2π为周期的可积函数，证明对任何实数c ，有

【答案】令

则

同理可证

8． 求证

：

【答案】当时，即

时，

结论显然成立，当

即

时，设

则

有

因为

是一个固定的数，所以

由夹逼准则及(*)式推出

二、解答题

9． 设函数

在区间

上二次可微，且有界.证明：

使得

【答案】若

变号，由导数的介值性，

.使得

下证：在题目的条件下

，

必变号.若不然，

不妨设

则

严格递增.

取

使

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