小学数学整数乘除简便运算(DOC)

第二章 巧算乘除

第1讲 与一数乘除

【探究1】一个数与5相乘

一个数与5相乘，只要把这个数折半，再将小数点向右移一位，就行了。 即：A×5=

A×10 2例1、184×5 〖思路点拨〗

=184÷2×10 184折半得92，小数点向右推一位补0. =920

例2、343×5 〖思路点拨〗

=343÷2×10 343÷2=171.5，小数点向右推一位，得1715. =1715 练一练：

（1）84×5 （2）38×5 （3）387×5 （4）442×5

（5）1246×5 （6）37.66×5 （7）0.68×5 （8）3

1×5 4【探究2】一个数与9相乘

一个数乘以9，我们可以采用“以减代乘法”，只要在这个数末位添个0，再将原数减去，即可。

即：A×9=A×10－A 例1、87×9 =870－87 =783 例2、7.23×9 =72.3－7.23

1

=65.07

练一练：

（1）12×9 （2）17×9 （3）23×9

（4）45×9 （5）218×9 （6）385×9

（7）204×9 （8）6.7×9 （9）8.34×9

【探究3】一个数与11相乘

一个数与11相乘，一般是首尾两个数字不变，中间的数字是各相邻两位数字依次相加得到的。简单地说，就是“首尾数字无变化，邻数相加放中间”。

例1、

3 4 × 11+=3 7 4例2、

2 3 1× 11++=2 5 4 1

如果相邻的数字相加满十，就要进位。因此，有时积的“头”也可能比被乘数的“头”大，但“尾”是不会变的。即“邻数相加有进位，头大1，尾不变”。

例3、

2

3 5 7 × 11++=3 8 1 2 7=3 9 2 7

〖思路点拨〗邻数相加有进位。

例4、

2 8 4 1× 11+=2 +1 01 2 5 1=3 1 2 5 1

练一练：

1、计算下列各式：

（1）24×11 （2）72×11

（4）271×11 （5）43×11

（7）3625×11

3

3）231×11 6）2614×11 （（

2、粮库有一批大米，一辆载重4800千克的汽车运了22趟后，粮库还有5000千克大米。粮库共有大米多少千克？

3、一个长方形操场，长55米，宽33米，其面积是多少平方米？

【探究4】一个数与15相乘

我们先来研究一下“一个数乘以1.5”的算法。 例1、86×1.5 =86×（1＋0.5） =86×1＋86×0.5 =86＋43 =129

可见，一个数乘以1.5，只要用这个数加上它本身的一半，就行了。因此，又叫“加半定积法”。上例可直接写为：86×1.5=86＋

86A=129，写成公式为：A×1.5=A＋. 22由此，我们得出：一个数乘以15、150、1500?或乘以0.15、0.015、0.0015、?同样都可以按这个方法计算，只是需要移动小数点的位数。

例2、78×15

=78×（1.5×10） =78×1.5×10 =（78＋ =1170

用这种方法应用到平方米换算成亩，也很方便。 例3、3600平方米合多少亩？（1平方米=0.0015亩） 3600×0.0015 =3600×1.5×0.001 =（3600＋1800）×0.001

4

78）×10 2=5400×0.001 =5.4（亩）

将这种方法推广延伸，还可简化一些运算。

练一练：

1、计算下列各式：

（1）24×1.5 （2）36×1.5 （3）126×1.5 （4）16×15

（5）12×15 （6）270×15 （7）406×15

2、花生的出油率是38%。现有1500千克花生仁，可榨油多少千克？

3、一块长方形稻田，长44米，宽15米。它的面积是多少平方米？合多少亩？

【探究5】一个数与25相乘

一个数与25相乘，只要将这个数除以4，再把小数点向右推两位，即可。 即：A×25=A×（100÷4）=A÷4×100 例1、84×25 =84÷4×100 =2100

练一练：

1、计算下列各式：

（1）24×25 （2）36×25 （3）128×25

5

（4）8.8×25 （5）0.96×25 （6）2.16×25

2、一盏25瓦的电灯，每天用4时，一年（365天）用电多少千瓦时？

【探究6】一个数与37相乘

37是个很有趣的数。你瞧：

37×3=111 37×6=222 37×9=333 3737×18=666 37×21=777 37×24=888 37由此，我们便可以推导出一些速算方法来。 例1、37×7 =37×（6＋1） =37×6＋37×1 =222＋37 =259 例2、37×14 =37×（15－1） =37×15－37×1 =555－37 =518 例3、54×37 =37×（27×2） =999×2 =1998

练一练：

1、计算下列各式：

（1）37×8 （2）37×5 6

×12=444 37×27=999 （3）37×42

×15=555

（5）37×26 （6）36×37 （7）81×37

2、计算下列各式：

（1）3.7×45 （2）37×1.8 （3）3.7×9.6

（4）3.7×210 （5）370×15 （6）480×37

【探究7】一个数与67相乘

因为67×3=201，而201与一个数相乘计算时非常容易。所以，67与一个数相乘时，如果这个数是3的倍数，就将这个数分解成3乘以某个数后，再与67相乘。

例1、67×36 =67×3×12 =201×3×4 =603×4 =2412

练一练：

（1）67×12 （2）67×15 （3）67×21

7

【探究8】一个数与111相乘

我们已经学习了一个数乘11的速算方法，现在来研究乘111的速算方法。 先从一个具体的题目入手： 26×111

=26×（100＋10＋1） =26×100＋26×10＋26×1 =2886

将上述过程列成竖式，则是 2 6 × 1 1 1 2 6 2 6

2 6 2 8 8 6

可见，首尾两个数字仍未变，中间的两个数字是2与6的和。

如果邻位相加有进位，仍按以前的方法处理。但这时首数、中间数都会发生变化。

练一练：

1、计算下列各式

（1）27×111 （2）12×111

（3）21×111 （4）32×111

2、一种矿石用自卸载重汽车，一次可装卸货物22.2吨。用这种车22辆，一次可装卸货物多少吨？

8

【探究9】一个数与125相乘

一个数与125相乘，只要将这个数除以8，再将小数点向右推三位，即可。 即：A×125=A×（1000÷8）=A÷8×1000=A×1000÷8 例1、96×125 =96÷8×1000 =12000 例2、4.8×125 =4.8×1000÷8 =600

练一练：

1、计算下列各式

（1）88×125 （2）56×125 （3）4088×0.125

（4）8.04×1250 （5）320×12.5

2、用某种浓度的农药稀释210倍来防治棉铃虫。现有此农药1250克，需加水多少才能使用？

【探究10】一个数除以5

一个数除以5，只要把这个数乘以2，再把小数点向左移一位，即可。 例1、120÷5 =120×2÷10 =24 例2、23÷0.5

9

=23÷（5÷10） =23÷5×10 =46

练一练：

（1）130÷5 （2）240÷5 （3）18÷5

（4）122÷50 （5）41.5÷5 （6）27.5÷5

（7）27÷0.5 （8）42÷0.05 （9）1.3÷5

【探究11】一个数除以25

一个数除以25，只要把这个数乘以4，再把小数点向左移两位，即可。 例1、2300÷25 =2300×4÷100 =92 例2、32÷250 =32÷（25×10） =32×4÷100÷10 =0.128

练一练：

（1）2100÷25 （2）160÷25 （3）8÷0.25 （4）132÷25

10

【探究12】一个数除以125

一个数除以125，只要把这个数乘以8，再把小数点向左移三位，即可。 例1、2130÷125 =2130×8÷1000 =17040÷1000 =17.04 例2、23÷0.125 =23000÷125 =23×8 =184

练一练：

（1）8÷125 （2）11÷125 （3）100÷125

（4）75÷12.5 （5）54÷1.25 （6）7÷0.125

【探究13】一个数除以3

因为：1÷3=0.333??=0.3 2÷3=0.666??=0.6

所以，若余数是1的，小数部分必为0.3；若余数是2的，小数部分必为0.6. 例1、（1）28÷3=9.3 （2）35÷3=11.6

若一个数除以3的倍数，则可通过推导得出结果。 练一练：

（1）7÷3 （2）14÷3 （3）25÷3

?????? 11

【探究14】一个数除以9

我们先看下列算式： 1÷9=0.11??=0.1=0.1×1 2÷9=0.22??=0.2=0.1×2 3÷9=0.33??=0.3=0.1×3 4÷9=0.44??=0.4=0.1×4 ??

8÷9=0.88??=0.8=0.1×8

由此可见，若被除数为A，余数为m，商的整数部分为n，则： A÷9=n＋

??????????mmm＋＋＋?? 101001000?或者，A÷9=n??m，余数m只可取1～8.故A÷9=n.m

这就是说，若某数不能被9整除，则它的小数部分的数字和余数相同。利用这一特点，便可快速计算。

例1、76÷9 =（72＋4）÷9 =72÷9＋4÷9 =8＋0.4 =8.4

如果除数是3或9的倍数，也可简便计算。 练一练：

（1）13÷9 （2）35÷9

（3）26÷9 （4）17÷0.9 、

?? 12

【探究15】一个数除以11

我们先看下列各式：

1÷11=0.090909??=0.09=0.09×1 2÷11=0.181818??=0.18=0.09×2 3÷11=0.090909??=0.27=0.09×3 ??

10÷11=0.909090??=0.90=0.09×10

据此，遇到一个数除以11，便可很快推导出结果。 例1、60÷11 =（6×10）÷11 =6÷11×10 =0.09×6×10 =0.54×10 =5.45 例2、19÷11 =（11＋8）÷11 =11÷11＋8÷11 =1.72

????????????????????????练一练：

（1）3÷11 （2）30÷11

（3）67÷11 （4）321÷11

13

【探究16】一个数除以111

我们先看下列各式：

????1÷111=0.009009009??=0.009=0.009×1 ????2÷111=0.018018018??=0.018=0.009×2 ????3÷111=0.027027027??=0.207=0.009×3 ??

????9÷111=0.081081081??=0.081=0.009×9 据此，遇到一个数除以111，便可很快推导出结果。例1、73÷111 ?? =0.009×73 ? =0.657?

练一练：

（1）18÷111 （2）23÷111

（4）46÷111 （5）86÷111

（7）121÷111 （8）136÷111

【探究17】一个数除以99

我们先看下列各式：

?1÷99=0.010101??=0.01???=0.01×1

14

（3）38÷111 6）100÷111 （9）249÷111 （ 2÷99=0.020202??=0.02=0.01×2 3÷99=0.030303??=0.03=0.01×3 ??

9÷99=0.090909??=0.09=0.01×9

由此可见，若被除数为A，余数为m，商的整数部分为n，则：

????????????mmm＋＋＋?? 100100001000000??m1或者，A÷99=n＋=n＋×m=n＋0.01×m（1≤m≤98）

9999A÷99=n＋

所以，如果一个数除以99，不能整除时，商的小数部分也是余数有规律地出现。利用这个特点，便可直接写出结果。

例1、36÷99=0.36 例2、127÷99 =（99＋28）÷99 =99÷99＋28÷99 =1.28

????练一练：

（1）17÷99 （2）26÷99 （3）45÷99

（4）92÷99 （5）123÷99 （6）344÷99

（7）107÷99 （8）109÷99 （9）800÷99

15

第2讲 运算顺序

【探究1】连乘

乘法计算时，运用一定的运算技巧，会使计算速度快，简便。乘法中常用的计算技巧是凑整，如5×2=10，25×4=100，125×8=1000，625×16=10000，利用这些算式，就可以使一些计算简便。

整数

例3、乘法运算定律进行速算

⑴25×8×125×7×4 ⑵125×﹙49×8﹚ 【解析】: ⑴可以把25×4=100，125×8=1000先乘，再成以7。 ⑵可将125和8结合起来先乘；

解答：⑴25×8×125×7×4 ⑵125×﹙49×8﹚ =﹙25×4﹚×﹙125×8﹚×7 =(125×8 ) × 49 =100×1000×7 =1000× 49 =700000 =49000 练一练：

（1）25×23×4 （2）125×27×8 （3）5×25×2×4 （4）2×125×8×5

例4、⑴125×48 ⑵25×32×125

【解析】: ⑴用分解质因数，凑整先乘的方法，因125×8=1000，那么可将48分解成8×6的积的形式。

⑵可先把32变为4×8，再把25和4，125和8结合起来相乘。 解答：⑴ 125×48 ⑵25×32×125

=﹙125×8﹚×6 =﹙25×4﹚×﹙125×8﹚ =1000×6 =100×1000 =6000 =100000 练一练：

16

（1）25×12 （2）125×32 （3）125×64×25 （4）32×25×5

随堂练习： 1、用简便方法计算 ⑴25×64×625 ⑵34×2×125×25×5×4×8

2、用简便方法计算。

（1）125×88 （2）25×16×125 （3）24×125 （4）36×25×6

课后作业：

1、用简便方法计算

⑴145×25×4 ⑵125×19×8 ⑶675×50×2 ⑷ 15×4×25×6

【探究2】几个数的积除以一个数

几个数的积除以一个数，可以用其中任何一个因数除以这个数，再与其他因数相乘。 即：（a×b×c×?×n）÷k =a÷k×b×c×?×n =b÷k×a×c×?×n =c÷k×a×b×?×n ??

=n÷k×a×b×c×?

17

例1、（32×63×2）÷9 =63÷9×32×2 =448

例2、12600÷25 解 原式=12600÷25 =126×100÷25 =126×（100÷25） =126×4=504

练一练：

（1）（22×7×12）÷3 （2）（421×75）÷25 （3）（51×399）÷17

（4）（125×72×23）÷9 （5）（25×24×13）÷6 （6）（6×12.5×15）÷25

（7）125×23×72÷9 （8）0.25×4÷0.25×4 （9）550000÷121×11

【探究3】几个数的积除以几个数的积

几个数的积除以几个数的积，可以把第一个积里的各个因数除以第二个积里对应的各因数（或除以几个因数的积），然后把各个商相乘。

即：（abc?n）÷（a'b'c'?n'）

=（a÷a'）（b÷b'）（c÷c'）?（n÷n'） =a÷（a'b'c'?n'）×bc?×n =b÷（a'b'c'?n'）×ac?×n ??

例1、（38×14×44）÷（19×14×11）

18

=（38÷19）×（14÷14）×（44÷11） =2×1×4 =8

例2、（54×28×13）÷（9×3×2×7） =54÷（9×3×2）×（28÷7）×13 =1×4×13 =52

例3、241×345÷678÷345×678÷241 解 原式=241×345÷678÷345×678÷241 =（241÷241）×（345÷345）×（678÷678） =1

例4、（13×4×5×6）÷（4×5×6） 解 原式=（13×4×5×6）÷（4×5×6） =（4×5×6）÷（4×5×6）×13 =13

例5、计算：9.1?4.8?4.5?(1.6?0.15?1.3)

解 原式=(1.3?7?1.6?3?0.15?30)?(1.6?0.15?1.3) =7?3?30 =630

例6、计算：0.75×2.84÷3.6÷（1.5×1.42）×1.8 解 原式=0.75×2.84÷3.6÷1.5÷1.42×1.8 =0.75×2.84÷（3.6×1.5×1.42）×1.8

=0.75×2.84×1.8÷（3.6×1.5×1.42） （乘法交换律） =0.75×1.42×2×1.8÷（1.8×2×0.75×2×1.42） =0.5

练一练：

（1）（2×5×7×13×7）÷（7×7×13） （2）（13×8×5）÷（13×5）

19

（3）（2×3×5）÷（2×3） （4）（64×75×8）÷（32×25×27）

（5）（24×21×45）÷（15×4×7） （6）456÷123×798÷456÷798×123

（7）（12×5×7×13×7）÷（7×7×13） （8）（17×12×3）÷（3×2×6）

【探究4】一个数与两数商相乘

一个数乘以两数商，可以用这个数乘以商里的被除数，再除以商里的除数；也可以先用这个数除以商里的除数，再乘以商里的被除数。哪种算法简便，就选择哪一种算法。

即：（a÷b）×c=a×c÷b=c÷b×a 例1、（125÷50）×8 =125×8÷50 =1000÷50 =20

例2、（80÷25）×75 =75÷25×80 =3×80 =240

练一练：

（1）（5÷4）×16 （2）（8÷2.5）×12.5 （3）12×（6÷4）

（4）45×（17÷3） （5）0.4×（16÷5） （6）（3÷5）×5

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【探究5】一个数除以两个数的商

一个数除以两个数的商，可以用这个数先除以商里的被除数，再乘以商里的除数；或先乘以商里的除数，再除以被除数。

即：a÷（b÷c） =a÷b×c =a×c÷b

同理：a÷（b÷c÷?÷n） =a÷b×c×?×n 例1、125÷（25÷8） =125÷25×8 =5×8 =40

练一练：

1、计算下列各式：

（1）32÷（8÷25） （2）150÷（75÷24） （3）1000÷（25÷8）

（4）3.6÷（1.8÷2.5） （5）64÷（8÷1.25） （6）242÷（121÷18）

2、25个工人4时可生产2700个零件，平均每个工人每时生产多少个零件？

3、筑路队每天工作8时，每时可筑路12.5米。照这样计算，6000米的路面需要多少天能够完成？

21

【探究6】连除

一个数连续除以几个数，可以用被除数除以这几个数的积；反之，一个数除以几个因数的积，也可以用这几个因数依次去除被除数。

即：a÷b÷c÷?÷n=a÷（b×c×?×n） 反之：a÷（b×c×?×n）=a÷b÷c÷?÷n 例1、180000÷8÷125÷2÷5 =180000÷（8×125×2×5） =180000÷10000 =18

例2、270÷（3×3×5×3） =270÷3÷3÷5÷3 =2

例3、100000÷32÷125÷25 解 原式=100000÷32÷125÷25 =100000÷（125×8）÷（25×4） =1

练一练：

（1）8400÷4÷25 （2）90000÷8÷125÷2÷5

（4）73.8÷5÷2 （5）1995÷（3×5×7）

22

3）278÷4÷25 6）29.7÷（0.9×0.3） （（

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/u43.html