精算师考试 - - 数学内容提要

第一章 随机事件与概率

1、全概率公式： 对于两个事件A、B有：

P(Ai|B)?P(Ai|B)P(Ai)n?P(Ai?1i|B)P(Ai)

即：P(A)?P(AB)?P(AB)

对于多个事件：P(A)??P(A|Bi)P(Bi)

i?1n?2、贝叶斯公式：

P(Ai|B)?P(Ai|B)P(Ai)n

?P(Ai?1i|B)P(Ai)注释：B的发生是由Ai导致的概率。 3、事件两两独立不一定相互独立

第二章 随机变量与分布函数

1、帕斯卡分布：（得到r次成功时所需要的“等待时间”的分布）

1rk?rP(x?k)?Crk?,k?r,r?1? ?1P(1?p)2、二维条件分布：

T=?Xi~P(n?)?N(n?,n?)W?{(x1,x2?xn):T?C}i?1n（1）离散：P{Y=yi|X=xi}=yP{X=xi,Y=yi}Pij?

P{X=xi}Pj（2）连续：P{Y

f(y|x)???f(x,y) 其中fx(x)????f(x,y)dy fx(x) 在给定Y=y的条件下，X的分布密度函数为：

f(x|y)???f(x,y) 其中fY(y)????f(x,y)dx fY(y)3、如果随机变量X与Y相互独立，则他们各自的函数g(x)与h(y)也相互独立

4、卷积公式： fz(z)????fX(z?y)fY(y)dy

或者：fz(z)??fY(z?x)fX(x)dx

??????5、极大值极小值分布： （1）极大值：

Fmax?p(X(n)?x)?[F(x)]nfmax?n[F(x)]f(x)n?1

（2）极小值：

Fmin?p(X(1)?x)?1?P(X(1)?x)?1?[1?F(x)]nfmax?n[1?F(x)]f(x)n?1

第三章 随机变量的数字特征

1、注意例题3-16（P64）及课后3、7题（P83） 2、柯西-施瓦茨不等式：[E(XY)]2?E(X2)E(Y2) 3、方差：Var(X)?E[X?E(X)]2?E(X2)?E2(X)

4、协方差：Cov(X,Y)?E[X?E(X)][Y?E(Y)]?E(XY)?E(X)E(Y) 5、相关系数：Corr=?=?XY?Cov(X,Y) Var(X)Var(Y)6、相互独立?不相关，反之则不一定；但是对于二维正态分布， 相互独立?不相关

7、条件期望：

（1）离散：E(X|Y?y)??xP{X?x|Y?y}

x（2）连续：E?XY=y?????xfxy?xy?dx 8、条件方差

Var(X|Y?y)?E[(X?E(X|Y?y))2|Y?y]?E(X|Y?y)?(E(X|Y?y))22?

9全期望公式

（1）对所有随机变量X和Y：E?X??E?E?XY?? 若Y是离散随机变量则E?X???E(X|Y?y)p{Y?y}

y 若Y是密度为f（的连续随机变量则：E?X?????E(X|Y?y)fY(y)dy Yy）10、两个特殊形式的全概率公式：

???P(E|Y?y}P(Y?y)?Y是离散的 P(E)??x???P(E|Y?y}f(y)dy?Y是连续的Y?????11、矩

X分布关于c的k阶矩E(X?c)k；c=0时为k阶原点距uk?E(X)k；若c=E(X),则称E(X?E(X))k为K阶中心矩?k 前四阶中心矩用原点矩表示为

??1?0?2??u?u?221 ?3??3?u3?3u2u1?2u1???u?4uu?6uu2?3u431211?412、变异系数：C=Var(X)（无单位的量，取值大的方差也较大） E(X)

13、分位数：若x?满足F(x?)????f(x)dx??，则称x?为X分布的?分位数，或下侧分位数。（x'?x1??，转化为1-?上侧分位数）

x?第四章 大数定律与中心极限定理

?Var(X)?P{|X?E(X)|??}?2???Var(X)1、切比雪夫不等式：?或：P{|X?E(X)|??}?1? 2??|X?E(X)|1?或：P{??}?2??Var(X)?1n2、辛钦大数定理：limP{|?Xk?u|??}?1 n??nk?1P{|Yn??|??}?1 另：limn??fA?limP{|?P|??}?1??n??n3、伯努利大数定理：?

?或limP{|fA?P|??}?0??n??n4、中心极限定理：

（1）独立同分布下的中心极限定理：limP(i?1n???Xnni?nu?x)??(x)?N(0,1)

n?对任意X分布，当n足够大，总可近似为 或等价于：?Xi?N(nu,n?2)

i?1n?Xi?1i?nu?N(0,1)

n?（2）德莫弗—拉普拉斯中心极限定理：X服从0-1分布B（1，P），则对任意一个x,总有：

limP(i?1?x)??(x)?N(0,1)（与二项分布近似正态分布的有区别） n??np(1?p)?Xni?nP

第五章 统计量及其分布

1、样本的数值特征

（1）、反应中心趋势的样本的数值特征

1样本均值 ○

1）、点数据 x??xi?1nin

2）、区间数据 x??nxi?1knii

i?ni?12样本中位数 ○

?x?n?1?..................n为基数????2? Me?? ?x?n??x?n????1????2??2?.......n为偶数??23样本众数 ○

（2）反映离散程度的样本特征：

1样本方差和标准差○

S2??(xi?1ni?x)?2n?1（点数据）或S2??n(xii?1ki?x)2(区间数据) ?1??ni?1ki2样本极差：R=max(xi)?min(xi) ○

3样本四分位差：Qd?Q3?Q!（注意不能整除时的情况） ○

（3）反映形状特点的样本特征值

n?(xi?x)i?1n?31偏态：SK?○

（点数据）或SK?3(n?1)(n?2)S?n(xii?1ki3?x)3(区间数据)

?nS数=众数?SK?0:均值 ?中位 ??SK?0:众数<中位数<均值

?SK?0:均值<中位数<众数?2nn???n(n?1)?(xi?x)4?3(n?1)[?(xi?x)]?i?1i?1?K?（点数据）4?(n?1)(n?2)(n?3)S2峰态： ?○

k??4n(x?x)?ii??3(区间数据)?或K?i?1nS4?2、统计量

满足：（1）统计量中不含未知参数 （2）统计量是样本的函数

3、抽样分布：无论总体X服从任何分布，只要该总体均值方差已知 则样本均值的渐进分布为：X?N(u,4、三大检验分布： 1）、?2分布

（1）定义：设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且都服从N(0,1)，则随机变量X??Xi2所服从的分布称为自由度为n的?2分布，记为X~?2(n).i?1n??2n)

(2)设X=X1+X2且已知X1与X2相互独立，X~?2(n)

X1~?2(n1)，则X2~?2(n?n1).X?nn???(3)若X~?(n)，则~N(0,1).

2n2（4）E(X)?n??Var(X)?2n

2）、t分布

（1）设随机变量X~N(0,1)，Y~?2(n)，X与Y相互独立，则随机变量

T?X/Y/n所服从的分布称为自由度为n的t分布，记为T~t(n).（2）E(X)?0.......Var(X)?3）、F分布

n n?2X/n1Y/n2

服从的分布称为第一、二自由度为n1、n2的F分布，记为F~F(n1,n2)(1)设X~?2(n1)，Y~?2(n2)，X与Y相互独立，则随机变量F?2n22n2(n1?n2?2)(2)E(X)?(n2?2)，Var(X)?(n2?4); 2n2?2n1(n2?2)(n2?4)总结：设总体X~N(?,?2)，X1,X2,?,Xn为抽自总体X1n1n2的iid样本，令X??Xi,S?(Xi?X)2，则有?ni?1n?1i?1?2(n?1)S2 (1)X~N(?,)......;(2)~?2(n?1);2n?(3)X与S2相互独立。(4)X?u?t(n?1)Sn/n?1?

第六章 参数估计

1.矩法估计

（1）基本思想：用样本矩代替总体矩。

总体k阶原点矩：vk?E(Xk) 总体k阶中心矩：?k?E(X?EX)k

1nk1n样本k阶原点矩ak??Xi 样本k阶中心矩bk??(Xi?X)k

ni?1ni?1（2）常用的矩估计等式

1n一个未知参数时，矩等式为：E(X)?X??Xi

ni?11n矩估什法 两个未知参数时，矩等式为：E(X)?X,其中X??Xi

ni?1 D(X)?S

2n其中

1nS??(Xi?X)2

ni?12n

2．极大似然法

设总体X的分布律中含有未知参数?，来自该总体的n个样本为

X1,X2,?,Xn，样本值为x1，x2，?，xn

（1） 构造似然函数：L(?)??f(xk,?)

k?1nX为连续型随机变量时f(xk,?)为样本Xk的概率密度函数 X为离散型随机变量时f(xk,?)?P{Xk?xk}

?（2） 求使得L(?)??f(xk,?)取得最大值的?，记为?为极大似然估计量。

nk?1?（常用到对数似然函数lnL(?)，然后对?求导，找到驻点，即为?）

??点估计的评价标准：?

（1）无偏性：设???＝???(x1，x2，?，xn)为未知参数??的估计量．若E(??)＝??，则称??为??的无偏估计量．

若总体X的均值E(X)和方差D(X)存在，则样本均值x和样本方差S2分别为E(X)和D(X)的无偏估计，即

E(x)＝E(X)，E(S2)＝D(X)．

????(x1，x2，?，xn)和?????(x1，x2，?，xn)是未知参数??(2)有效性：设?1122????D(?)?D(?的两个无偏估计量．若12)则称?1比?2有效．

(3)相合性 ：设??n是??的一串估计量，如果对于任意的正数??，都有

???|??)?0, limP(|?nx?? 则称??n为??的相合估计量(或一致估计量)．

4、均值的区间估计

参条件 数 u1 ?2已知 抽样分布 X??~N(0,1) ?nX??~t(0,1) Sn置信区间 （X?Z1??2??/n） ?未知 2小样本 大样本 （X?t1??2(n?1)?S/n） X??~N(0,1) Sn--2122（X?Z1??2?S/n） --u1u2?1、?2已知 22X-Y?N（u1-u2,?/n1+?/n2）(X-Y?Z1??/2?1/n1+?2/n2) (X-Y?t1??（2n1+n2-2）Sw--的小--?1=?2X-Y?(u1-u2)差 样 ?（tn1+n2-2） 本 Sw1+1n1n2未知 大--11X-Y?N（u-u,(+)Sw2）样12n1n2本 ? (n?1)S2 ??2(n?1) 2?11+)n1n2 (X-Y?Z1??/2Sw--11+) n1n2(n?1)S2(n?1)S2(2,) ?1??2(n?1)?2?2(n?1)?1/?2 (n?1)SB2?B2(n?1)SA2/(nB?1)?F(nB?1,nA?1) /(nA?1)SA2{2F?/2(nB?1,nA?1),SBSA2F1??/2(nB?1,nA?1} SB2?A2注意F(nB?1,nA?1)中的顺序 注：1、S2w2(n1?1)S2X?(n2?1)SY? n1?n2?2 2、F1??2(nB?1,nA?1)?1 F?2(nB?1,nA?1)例1 设总体X～P(??)，求对??的矩估计量．（矩估计法） 1n??x． 解：考虑到E(X)＝??，由方程E(X)?X??Xi＝??解得?ni?1

例2.设总体X服从区间（0，?）上的均匀分布，x1，x2，?，xn是来自总体X的样本，x为?= ____.（矩估计法） 样本均值，??0为未知参数，则?的矩估计?解：一个未知参数，矩等式为：E(X)?X X~U(0.?)，则E(X)??2，

?2?E(X)?X

??2X。 可得?的矩估计?例3．设总体X服从均匀分布U(?,2?)，x1，x2，…，xn是来自该总体的样本，则?的矩估计??=______．（矩估计法） 解：一个未知参数，矩等式为：E(X)?X X~U(?,2?)，则E(X)?3?3?，?E(X)?X 22??2X。 可得?的矩估计?3

例4.设总体X的分布为：

p1?P(X?1)??2,p2?P(X?2)?2?(1??),p3?P(X?3)?(1??)2,

其中0

L(?)??f(xk,?)?P(X?1)P(X?2)P(X?2)P(X?1)P(X?2)P(X?3)

k?1n ??2?2?(1??)?2?(1??)??2?2?(1??)?(1??)2?8?7(1??)5 (2)取自然对数

lnL(?)?ln8?7(1??)6?ln8?7ln??5ln(1??)

(3)求导，找驻点 dlnL(?)75??7。 ???0，得?dx?1??12例1 设有一组来自正态总体N(??，??2)的样本值：0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512．

?? (1)已知??2＝0.012，求??的95％置信区间．（对?估计，方差已知）

(2)未知??2，求??的95％置信区间．（对?估计，方差未知）

(3)求??2的95％置信区间．（对?估计，均值未知）

??解:(1) 分析： 对?估计，方差已知,置信区间为 ?X?u???/n?

2??样本容量n＝9， x＝0.5089，??0.05．查表得u0.025＝1.96． 计算u??2?n?1.96?0.019?0.0065

于是得到??的95％置信区间[0.5089－0.0065，0.5089＋0.0065]，

即 [0.5024，0.5154]．

??(2) 分析：对?估计，方差未知,置信区间为 ?X?t?(n?1)?S/n?

2??已知n＝9，x＝0.5089，S2＝0.1184×10－3，查表得t0.025(8)＝2.306．

0.1184?103?0.0084 计算t?(n?1)?S/n?2.306?92 于是得到??的95％置信区间[0.5089－0.0084，0.5089＋0.0084]，

即 [0.5005，0.5173]．

??22?(n?1)S(n?1)S?(3) 分析：对?估计，均值未知，置信区间为?2 ,2??(n?1)??(n)???1?2?2?22(9?1)?2.180,?0.975(9?1)?17.535. 查表得?0.0258?0.1184?10?38?0.1184?103于是得到??的95％置信区间[,],

17.5352.1802

即[0.0540?10?3,0.4345?10?3].

例2.某生产车间随机抽取9件同型号的产品进行直径测量，得到结果如下： 21.54, 21.63, 21.62, 21.96, 21.42, 21.57, 21.63, 21.55, 21.48

根据长期经验，该产品的直径服从正态分布N（?，0.92），试求出该产品的直径

?的置信度为0.95的置信区间.(u0.025=1.96, u0.05=1.645)(精确到小数点后三位)

（对?估计，方差已知）

解：分析：对?估计，方差已知，置信区间为X?u???/n

2计算得x?21.6，??0.05，?0.025?1.96，??0.9，n?9

故置信区间为：

[X?u???/n]?[21.6?1.96?0.9/3,21.6?1.96?0.9/3]

2得?的置信度为0.95的置信区间[21.012,21.188]

例3．设某批建筑材料的抗弯强度X～N(?，0.04)，现从中抽取容量为16的样本，测得样本均值x=43，求?的置信度为0.95的置信区间．(附：u0.025=1.96) （对?估计，方差已知）

解：分析：对?估计，方差已知，置信区间为X?u???/n

2计算得x?43，??0.05，?0.025?1.96，??0.2，n?16 故置信区间为：X?u???/n?43?1.96?0.2/4

2得?的置信度为0.95的置信区间[42.092,43.098]

例4．设某行业的一项经济指标服从正态分布N（μ,σ2），其中μ,σ2均未知.今获取了该指标的9个数据作为样本，并算得样本均值x=56.93，样本方差s2=(0.93)2.求?的置信度为95%的置信区间.(附：t0.025(8)=2.306) （对?估计，方差未知）

解：分析：对?估计，方差未知，置信区间为X?t?(n?1)?S/n

2计算得x?56.93，??0.05，t0.025?2.306，S?0.93，n?9 故?的置信度为95%的置信区间为：

X?t?(n?1)?S/n?56.93?2.306?0.93/3

2 即[56.215,57.645]。

第七章 假设检验

1、两类错误： 2、

6、二项分布参数的假设检验 检验类型 左侧单边检验 拒绝域的临界值K满足条件 P(Y?K|P?P0)??CnyP0y(1?P0)n?y?? y?0nk右侧单边检验 P(Y?K|P?P0)??CnyP0y(1?P0)n?y?? y?kk双侧检验 P(Y?K|P?P0)??CnyP0y(1?P0)n?y??P(Y?K|P?P0)??CnyP0y(1?P0)n?y??y?ky?0n 注意：在大样本场合下Y~B(n,p)~N(np,np(1?p))，其拒绝域为：

左侧单边检验 W={?Xi?np0?Z1??2np0(1?p0)} i?1nn右侧单边检验 W={?Xi?np0?Z1??2np0(1?p0)} i?1双侧检验 W={?Xi?np0?Z1??2np0(1?p0)}i?1n U{?Xi?np0?Z1??2np0(1?p0)}i?1n

7、泊松分布参数的假设检验（P153） 泊松分布近似正态分布求拒绝域的临界值 由于T=?Xi~P(n?)?N(n?,n?)

i?1n则其拒绝域为：W?{(x1,x2?xn):T?C} 8、?2拟合优度检验

(ni?npi)2~?2(r-1) （1）构造统计量?=?npii?12r其中ni为观察频数，npi为理论观察频数； 拒绝域W?{(x1,x2?xn):?2?C}

C??1??2(r?1)?C}?而

?=?2i?1r(ni?npi)2npi?~?(r-l-1)2C??1??2(r?1)

（2）若总体含有未知参数时?=?2i?1r(ni?npi)2npi??~?2(r-l-1)

（l为未知参数个数）

第八章 常用统计方法

1、单因素方差分析表 方差来源 平方和 自由度 组间（因素影SSA 响） 组内（随机影SSE 响） 总和 SST n-1 n-r MSE=SSE n-r均方误 F比 r-1 MSA=SSA r-1F?MSA MSEF服从F(r-1,n-r) ?I0?0??j,j?q??'l?t??(B)I(B)xt?.........???j'I??I......l?1?0,j?q?l?jl?j?j?1?F?F1??(r?1,n?r)1、当Var()??G0?1??k......k?p?'j.........其中?=??k'G??G?0.........k?p?j?kj?kk?1?时，拒绝原假设 2、SST???(xij?x) （误差平方和，用计算器可算） i?1j?1rni?23、SSA??(xi?x) （也好算） i?1r??24、SSE不好算，可以用SST-SSE可得

2、两因素方差分析表 方差来源 平方和 组间（因素A） SSA 组间（因素B） SSB 组内（随机影SSE 响） 总和 SST rk-1 r-1 k-1 MSA=SSA r-1SSB MSB=k-1(r-1)(k-1)自由度 均方误 F比 MSA MSEMSB FB=MSEFA=（r-1）（k-1） MSE=MSE FA~F(r-1,(r-1)(k-1)) FB~F(k-1,(r-1)(k-1)) 1、FA~F1??(r-1,(r-1)(k-1))，拒绝原假设H01 2、FB~F1??(k-1,(r-1)(k-1))，拒绝原假设H02

3、一元回归分析

（1）相关系数：（计算器可算）

r??(x?x)(y?y)iii?1n???(x?x)?(y?y)2iii?1i?1n?n??2?xy?nxyiii?1n??(?xi2?nx)(?yi2?y)i?1i?1n?2n?2

（2）回归模型

??Yi??0??1Xi??i ?i.i.d2???i~N(0,?)（3）参数的最小二乘

????x ???y01

n??n??n?n?xiyi???xi???yi???i?1??i?1????i?1??12?nn???n?xi2???xi??i?1?i?1???????0?y??1x?(x?x)(y?y)iii?1n???(x?x)ii?1n?2

nn?1n?222?Lxx??(xi?x)??xi?n(?xi)i?1i?1i?1?nnn???1n?Lxy??(xi?x)(yi?y)??xiyi??xi?yini?1i?1i?1i?1?nn??1n222?Lyy??(yi?y)??yi?(?yi)ni?1i?1i?1??1n1n??1?;?0??yi?(?xi)?1Lxxni?1ni?1??

Lxy（4）最小二乘估计量的性质

Cov(?0,?1)????x2? lxx?

（5）参数的显著性检验：

1?1检测： t?t?○

??1s??1???1?2lxx~t(n?2) （其中s????2lxx ）

1当|t|?t1??(n?2)时拒绝原假设，认为?1显著不为0

22?检测：○0??00s?????0?21x(?)?2nlxx1x~t(n?2)（其中：s???(?)?2） 0nlxx?2当|t|?t1??(n?2)时拒绝原假设，认为?0显著不为0

2（5）参数置信区间

??t??s,???t??s) ?1：(???111?1???2121??t??s,???t??s) ?0:(???001?1???2020

（6）模型拟合检验

SST?SSR?SSE

SSR/1~F(1,n?2)

SSE/(n?2)构造统计量：F?当：F?F1??(1,n?2)拒绝原假设，认为?1显著不为0，一元回归模型显著成立。 方差来源 平方和 组间（因素影SSR 响） 组内（随机影SSE 响） 总和 SST n-1 n-2 SSE MSE=n-2自由度 1 均方误 F比 MSR=SSR 1F?SSR/1~F(1,n?2) SSE/(n?2)F服从F(r-1,n-r) 7、相关系数检验

r??(x?x)(y?y)iii?1n???(xi?x)i?1n?2?(yi?y)2i?1n??lxxlxxlyy?1?lxx lyyl2xxSSR1 r???n?2lxxlyySST1?F2当显著性水平为?时，相关系数检验的临界值为：

c?1?n?21?F1??(1,n?2)F1??(1,n?2) F1??(1,n?2)?n?2当r?c，拒绝原假设，认为该模型显著成立。

8、回归预测

x?x0,对因变量y0的推断

（1）对y0的点估计：y0??0??1x0 （2）对y0的区间估计：

1(x0?x)22y0~N(?0??1x0,(?)?)

nlxx?????则其区间估计为(y0?t1?1/?(n?2)s,y0?t1?1/?(n?2)s)

y0???y0?SSE1(x0?x)22其中：s??(??MSE )?，?2?y0n?2nlxx?

第九章 时间序列分析

1、AR模型：

（1）平稳性判断：

1AR（1）的平稳性： ○

特征根：???， 平稳域：|?|?1

2 AR（2）的平稳性： ○

平稳域：

（2）平稳AR模型的均值：

?0

1??1??2???p?u?（3）平稳AR模型的方差：Var(xt)??G2j?2?

j?0?G0?1??k......k?p?'j.........其中?=其中Gj满足：? ?k'G??G?0.........k?p?j?kj?kk?1?

?2?如：AR（1）模型的方差：Var(xt)? 21??1（4）平稳AR模型的协方差函数： 递推公式：?k??1?k?1??2?k?2???p?k?p

?2?如：AR（1）模型的协方差函数：?k??1

1??21k（5）平稳AR模型的自相关系数：

（5）平稳AR模型的自相关系数的性质：

（6）平稳AR模型的偏自相关系数：

对于AR（1）：?kk????1,k?1 0,k?2???1?1?,k?1?对于AR（2）：?kk???2,k?2

?0,k?3??2、MA模型：

（1）均值与方差

（2）自协方差与自相关系数

（3）MA模型的可逆条件

（4）逆函数的递推公式：（?t??(B)I(B)xt）

?I0?0????j,j?q'l.........?j?? ?'I??I......l?1??l?jl?j?0,j?qj?1?

3、

（１）

4、平稳时间序列的的拟合 （1）参数估计：（矩估计）

1AR(p)模型参数的矩估计 ○

对于：xt??1xt?1??2xt?2????pxt?p?at

~?~2x??x??(1??)x??(1??)xt?1?ttt?1???1??xt(1)?(xt(1)?xt?xt?1???xt?n?2)n有：? ???????1?xt(l)?(xt(l?1)?xt(l?2)???xt(1)?xt?xt?n?l)n?于是可得如下的Yule-Walk方程：

??1??1?0??2?1????p?p?1???2??1?1??2?0????p?p?2 ????????????????1p?12p?2p0?p?k 用 ?代替 ?k ，并解上述方程 组，就可得：

???1??1??????1???2???????????p?1???????p??

?1?1??p?2??2??1??p?2???p?3????1????p?3???p?1????1???p?2????2????? ???1????????p??????1

根据自协方差公式有：

?0?E(xt2)?E(xt(?1xt?1??2xt?2????pxt?p?at))??1?1??2?2????p?p??2a2a

于是可得到?的矩估计

2?????0(1??????a???11??2?2????p?p)

MA(q)模型参数的矩估计

第三章已经推导出MA(q)的自协方差结果，将代替，代替(i=1,2…q) , 得如下方程组：

2 ○

2?a??k,?2?k,?a??i?i?2?2?2?2?k?0a?(1??1??2????q)?? ?k??2??????a(??k??1?k?1????q?k?q)k?1,2?,q???上式是含有q+1个参数的非线性方程

组，解此方程组，即 可以求出各参数：??,??,???,??

方程组可以直接求解，也可以用迭代法求解。

2a12q

5、平稳时间序列的预测： （1）简单移动平均

???xt(1)?????xt(1)???????x(l)?t??1(xt?xt?1???xt?n?1)n1?(xt(1)?xt?xt?1???xt?n?2)n??1?(xt(l?1)?xt(l?2)???xt(1)?xt?xt?n?l)n

（2）指数平滑法（单指数）

xt(1)??xt??(1??)xt?1??(1??)2xt?1?

~或xt??xt??(1??)xt?1

（3）ARMA预测法：（P225）

~~

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/u426.html