1.4等可能概型

概率论与数理统计浙大第四版课件

1.4 等可能概型 (古典概型)

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等可能概型(古典概型)的特点：1、试验的样本空间只包含有限个元素; 2、试验中每个基本事件发生的可能性相同.

设试验的样本空间为S={e1,e2,...,en}. 由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同, 即有 P({e1})=P({e2})=...=P({en}). 又由于基本事件是两两互不相容的, 于是

1 P ({ei }) , i 1, 2, , n. n

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若事件A包含k个基本事件, 即

A {ei1 } {ei2 } {eik }则有

k P ( A) P ({ei j }) n j 1A 包含的基本事件数 S 中基本事件的总数

k

此式就是等可能概型中事件A的概率的计算公式.

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例1 将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次 “6”点的概率是多少？ 令 事件A={至少出一次“6”点}A发生 {出1次“6”点} {出2次“6”点} {出3次“6”点} {出4次“6”点} 直接计算A的概率较麻烦, 我们先来计算A的 对立事件A ={4次抛掷中都未出“6”点} 的概率.

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由于将一颗骰子抛掷4次,共有 6 6 6 6 =1296种等可能结果,

而导致事件 A ={4次抛掷中都未出“6”点} 的结果数有5 5 5 5=625种 因此

625 P( A) = =0.482 1296P ( A) 1 P ( A ) =0.518

于是

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B

例2 (抽球问题) 6只球，4白2红，任取两只， 每次取一只，考虑以下两种取球方式：

(a)放回抽样：第一次取一只观察其颜色后放 回，再取一只；(b)不放回抽样：第一次取一只不放回，第二 次从剩余的球中再取一只。 求 (1)两球都是白球的概率； (2)两球颜色相同的概率； (3)至少一只是白球的概率。

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解：记A={取到的两只球都是白球}

B={取到的两只球都是红球}C={取到的两只球中至少一只是白球}

(a)放回抽样样本空间S中包含的基本事件总数为：

n=6×6=36.A中包含的元素个数为：4×4=16 B中包含的元素个数为：2×2=4

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4 4 4 2 2 1 (1) P ( A) , P( B) , 6 6 9 6 6 9 ( 2) P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ) 4 1 5 0 , 9 9 9 1 8 (3) P (C ) 1 P ( B ) 1 . 9 9

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(b)不放回抽样的情形 (解题时可以讲顺序，也可以不讲顺序) 1.讲顺序的解法：

A A 2 1 (1) P ( A) , P( B) , A 5 A 15 ( 2) P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ) 2 1 7 , 5 15 15 1 14 (3) P (C ) 1 P ( B ) 1 . 15 15

2 4 2 6

2 2 2 6

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1.不讲顺序的解法：2 2 C4 2 C2 1 (1) P ( A) 2 , P ( B ) 2 , C6 5 C 6 15

( 2) P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ) 2 1 7 , 5 15 15 1 14 (3) P (C ) 1 P ( B ) 1 . 15 15

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在实际中，产品的检验、疾病的抽 查、农作物的选种等问题均可化为随机 抽球问题。我们选择抽球模型的目的在 于问题的数学意义更

加突出，而不必过 多的交代实际背景。

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例3 将n只球随机地放入N(n≤N)个盒子中 去，(设盒子的容量不限)试求 (1)每个盒子中至多有一只球的概率； (2)指定的n个盒子各放一球的概率； (3)恰有n个盒子各放一球的概率； (4)某个指定的盒子不空的概率; (5)某个指定的盒子恰好放入k个球的概率.

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n N ( N 1) ( N n 1) AN (1) P ( A) n, n N N n! ( 2) P ( B ) n , N n CN n! (3) P (C ) Nn ( N 1)n ) P ( D ) 1 P (C ) 1 (4 , n N k n k C n ( N 1) ( 5) P ( E ) . n N

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美国数学家伯格米尼曾经做过一个 别开生面的实验，在一个盛况空前、 人山人海的世界杯足球赛赛场上，他 随机地在某号看台上召唤了22个球迷， 请他们分别写下自己的生日，结果竟 发现其中有两人同生日.用(3)的公式可以计算此事出现的概率为P ( A ) =1-0.524=0.476

即22个球迷中至少有两人同生日的概率 为0.476.

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这个概率不算小，因此它的出现不 值得奇怪. 计算后发现，这个概率随着 球迷人数的增加而迅速地增加，如下页 表所示：

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表1 人数 至少有两人同 生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994

所有这些概率都是在假定 一个人的生日在 365天的任 何一天是等可能的前提下计 算出来的. 实际上,这个假定 并不完全成立，有关的实际 概率比表中给出的还要大 . 当人数超过23时，打赌说至 少有两人同生日是有利的.

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例4 设有N件产品,其中有D件次品,现从这N 件中任取n件,求其中恰有k (k≤D)件次品的概 率. 次品 解：令B={恰有k件次品} 正品 P(B)=? D N D k n k P( B) N n

D件次 品

N-D件正品

这是一种无放回抽样.

……

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例例5 (抓阄、摸彩模型) 袋中有a只白球， b只红球，k个人依次在袋中取一只球， (1)作放回抽样；(2)作不放回抽样，求第 i (i=1,2, … k)人取到白球(记为事件B)的 概率(k≤a+b). 解 (1) 放回抽样的情况, 显然有

a P( B) a b

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(2) 不放回抽样的情况. 各人取一只球, 每种取法是一基本事件, 共有 k ( a b)(a b 1) L ( a b k 1) Aa b 个基本事件, 且由于对称性知每个基 本事件发生的可能性相 同. 当事件B发生时, 第i个人取的应是白球, 它可以是 a只白球中的任一只, 有a种取法.其余被取的k 1只 球可以是其余 a b 1只球中的任意k 1只, 共有 k 1 L[ a b 1 (k 1) 1] Aa b 1 ( a b 1)(a b 2) 种取法,

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1 k ×a 1 于是 B中包含 a A b 个基本事件 , 故得

a× A P ( B) A a (a b 1)!(a b k )! a a b (a b k )!(a b)!值得注意的是P(B)与i无关

, 即k个人取球, 尽管取球的先后次序不同, 各人取到白球的概 率是 一样的, 大家机会相同. 另外还值得注意 的是放回抽样的情况与不放回抽样的情况下 P(B)是一样的.

k 1 a b 1 k a b

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例6

对 问

某人将三封写好的信随机装入三个写 好地址的信封中，问没有一封信装对地 址的概率是多少？

设Ai ={第i封信装入第i个信封} i =1,2,3A={没有一封信装对地址} 则A={至少有一封信装对地址}A A1 A2 A3

直接计算P(A)不易，我们先来计算 P ( A )

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