大学物理-波的能量

10--3波的能量一、波的能量波动过程中介质的质点并不随波移动， 波动过程中介质的质点并不随波移动，而是能量随着波动 向外传播出去，即波动过程是能量的传播过程。 向外传播出去，即波动过程是能量的传播过程。 那么，为什么说波动的过程是能量传播的过程呢？ 那么，为什么说波动的过程是能量传播的过程呢？ 由于在波动时， 由于在波动时，任一介质元与周围的介质质点之间有 相互作用的弹性力作功，通过作功就发生了能量交换， 相互作用的弹性力作功，通过作功就发生了能量交换，使 能量随波向前传递(任一介质元的能量是不守恒的)。 能量随波向前传递(任一介质元的能量是不守恒的)。 在波动过程中，任一介质元将在平衡位置附近振动， 在波动过程中，任一介质元将在平衡位置附近振动，故具 有动能；同时， 有动能；同时，弹性介质元在波动过程中因发生形变而具有弹 性势能。因此，波的机械能是由动能和弹性势能之和组成的， 性势能。因此，波的机械能是由动能和弹性势能之和组成的，

下面就讨论波的能量问题 以平面余弦弹性纵波在棒中传播的情形为例， 以平面余弦弹性纵波在棒中传播的情形为例，对能 量的传播作简单说明。 量的传播作简单说明。 x

y = Acosω(t ) u 波动媒质中一体积元 V 中的能量 y x + y

x

x

x

y + y

u

ρ.Y m i

y V

x + y S

xy + y

x y = Acosω(t ) 1)体积元的动能 ) u y x v = = Aω sin ω(t ) t u1 1 x 2 2 2 2 Ek = mi v = ρ VA ω sin ω(t ) 2 2 u2)体积元的势能 E )

x

x

u

1 x 2 2 2 ρ VA ω sin ω(t ) P = 2 u

1 x 2 2 2 3)体积元的总能量 Ek = ρ VA ω sin ω(t ) ) 2 u 1 x 2 2 2 EP = ρ VA ω sin ω(t ) 2 u x 2 2 2 E = EK + EP = ρ VA ω sin ω(t ) u 指出四点： 指出四点： 1、体元中的能量是随时间变化的(非弧立系统),能量以 、体元中的能量是随时间变化的(非弧立系统) 能量以 U传播，方向与波传播方向相同。 传播， 传播 方向与波传播方向相同。2、波动过程中，体元中的动能与势能“同相”---同 、波动过程中，体元中的动能与势能“同相” 同 时达到最大，同时达到最小。 时达到最大，同时达到最小。 3、介质中无能量积累。 、介质中无能量积累。 4、传播振动形式和能量的波称为形波。 、传播振动形式和能量的波称为形波。

以横波为例定性说明 (注意与振动能量相区别 注意与振动能量相区别) 注意与振动能量相区别 动能、 同时达到最大值、最小值。 动能、势能 同时达到最大值、最小值。形变最小 →0, , 振动速度最小 →0

y

r ua

b

x

形变

最大， 形变最大，振动 速度最大

r uy

B P A Qx

质元A 质元 质元P 质元 质元B 质元 质元Q 质元

(填吸收、释放)能量 填吸收、释放) 填吸收、释放) (填吸收、释放) 能量 填吸收、释放) (填吸收、释放) 能量 (填吸收、释放)能量 填吸收、释放)

x = ρ VA ω sin ω(t ) u 能流和能流密度(波强) 二、能流和能流密度(波强)2 2 2

E = EK + EP

为了精确地描述波的能量分布， 为了精确地描述波的能量分布，引入能量密度 1、能量密度 介质中单位体积中的波动能量 、能量密度---介质中单位体积中的波动能量

E x 2 2 2 w= = ρA ω sin ω(t ) V u

能量密度描述了介质中各点能量(即振动能量)的分布 能量密度描述了介质中各点能量(即振动能量)

由上式可知——波的能量密度是随介质的空间坐标 x 和时 波的能量密度是随介质的空间坐标 由上式可知 w = ρA2ω 2 sin 2 ω(t x ) 而周期变化的。 间 t 而周期变化的。 u 讨论： )确定的介质质点( 一定),能量变化的时间 一定), 讨论：1)确定的介质质点(x一定),能量变化的时间 x π x 周期为 π ω 2 2 2)在同一时刻(t一定),能量密度在空间上的周 )在同一时刻( 一定),能量密度在空间上的周 一定), λ 期为波长的一半。 期为波长的一半。

Qsin ω(t ) = sin [ω(t + ) ] u ω ux+ 2)

x Qsin ω(t ) = sin 2 ω(t u2

u

3)当 x、t都变化时，令 ) 都变化时， 、 都变化时2 2 2

x x + u t 2 2 2 ρA ω sin ω(t ) = ρA ω sin ω[(t + t) ] u u w u 表明： 表明：在 t 时刻的 x u t t时刻 点的振动能量密度在 t + t时刻 ，传到了 t + t时刻 x + u t处 x

结论：在波动过程中能量以波的形式沿 x 方向以 u 向前传播着。 前传播着。

2、平均能量密度--- 能量密度在一个时间周期内的平均值 、平均能量密度

1 T 2 2 2 x 1 2 2 w = ∫ ρA ω sin ω(t )dt = ρA ω T 0 u 2为了定量描述波动过程中能量的传播， 为了定量描述波动过程中能量的传播，引入能流和 能流密度的概念 3、能流---单位时间内通过介质中某面积的能量 、能流 单位时间内通过介质中某面积的能量

平均能流---单位时间内通过某面积的平均能量 平均能流 单位时间内通过某面积的平均能量

w uTS 1 2 2 P= = w = uSρA ω uS T 24、平均能流密度(波强) 、平均能流密度(波强) 通过垂直于波传播的方向的单位面积 单位面积的平均 通过垂直于波传播的方向的单位面积的平均 能流； 即单位时间内通过垂直于波动传播的方向的 能流； 单位面积中的平均能量。 单位面积中的平均能量。

1 2 2 w uS 1 2 2 w = ρA ω I = = w = ρA ω u u 2 S 2含义:描述波的能量强

弱 含义 描述波的能量强弱. 描述波的能量强弱

分析平面波和球面波的振幅例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方 向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。 向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。

证明： 对平面波： 证明： 对平面波： 在一个周期T内通过 1和S2面的能量应该相等 在一个周期 内通过S 内通过

QI1S1T = I2S2T,S1 = S2 = S1 1 2 2 2 ρuω A S1T = ρuω 2 A2 S2T 1 2 2

A = A2 平面波振幅相等，波的强度相同。 1 平面波振幅相等，

对球面波： 对球面波：

1 1 2 2 2 Q ρuω A S1T = ρuω 2 A2 S2T 1 2 2

S1 = 4πr12;

S2 = 4πr

2 2

∴ A r1 = A2r2 1振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离 振幅与离波源的距离成反比。 的振幅为A则距波源 处的振幅为A/r 则距波源r 的振幅为 则距波源 处的振幅为 波的强度与距离的平方成反比。 波的强度与距离的平方成反比。 由于振动的相位随距离的增加而落后的关系， 由于振动的相位随距离的增加而落后的关系， 与平面波类似，球面简谐波的波函数： 与平面波类似，球面简谐波的波函数：

A r y = cos[ω( t ) + 0 ] r u

应用程序

10--4惠更斯原理

一、惠更斯原理 惠更斯原理：介质中任一波阵面上的各点， 惠更斯原理：介质中任一波阵面上的各点，都可看成 是发射子波的波源，其后任一时刻， 是发射子波的波源，其后任一时刻，这些子波的包迹 就是新的波前。 就是新的波前。 根据这一原理，可以由某一时刻的波前 某一时刻的波前， 根据这一原理，可以由某一时刻的波前，用几何 作图的方法确定出下一时刻的波前位置， 下一时刻的波前位置 作图的方法确定出下一时刻的波前位置，从而确定出 波的传播方向。 波的传播方向。 若波在各向异性或不均匀介质中传播时， 若波在各向异性或不均匀介质中传播时，同样能 应用惠更斯原理找出波前，确定波的传播方向。但是， 应用惠更斯原理找出波前，确定波的传播方向。但是， 此时波前的几何形状和传播方向都可能发生变化。 此时波前的几何形状和传播方向都可能发生变化。

二、波的衍射 衍射(绕射) 波动在传播过程中遇到障碍物时 衍射(绕射)--波动在传播过程中遇到障碍物时 能绕过障碍物的边缘继续前进的现象 能够衍射的条件： 能够衍射的条件：缝宽(对缝而言) 对缝而言)

a≤λ

或障碍物的线度

a≤λ

三、波的反射和折射 1、反射定律：波在媒质介面上传播时，入射角等于反射 、反射定律：波在媒质介面上传播时， 一平面内。 角，入射线反射线及介面的法线均在同 一平面内。

i介面

“1” “2” r

i i

' ∠i = ∠i'

2、折射定律：波经过两种媒质介面进行折射(媒质“1” 、折射定律：波经过两种媒质介面进行折射(媒质“ 进入媒质“ ) 进入媒质“2”)时，入射角的正弦与折射角的正弦之比等 到于波在第一种媒质中的波速与在第二种媒质中的波速之 比

sin i u1 = = n21 sin r u2

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