2018版高中数学人教B版必修三学案：第二单元+疑难规律方法：第二

1 教你学习系统抽样

在三种随机抽样中，系统抽样是较为重要的一种．当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样，又称等距抽样．在抽样调查中，由于系统抽样简便易行，所以应用普遍．下面举例说明系统抽样的常见题型． 一、系统抽样的选取问题

例1 某商场想通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号……发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是( ) A．抽签法 C．系统抽样

B．随机数表法 D．分层抽样

分析 上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n(n∈N＋)号，符合系统抽样的特点． 答案 C

点评 将总体分成均衡的几部分，按照预先定出的规则在各部分中抽取是系统抽样的常用步骤． 二、间隔问题

例2 为了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为________．

NN

分析 要抽取n个个体入样，需将N个编号均分成n组．(1)若为整数，则抽样间隔为；(2)

nn

NN若不是整数，则先剔除多余个体，再均分成n组，此时抽样间隔为[]． nn

1 200解析 根据样本容量为30，将1 200名学生分为30段，每段人数即间隔k为＝40.

30答案 40

点评 将总体号码平均分组时，应先考虑总体容量N是否能被样本容量n整除． 三、抽取的个数问题

例3 为了了解参加一次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是( ) A．2 B．4 C．5 D．6

分析 因为1 252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体． 答案 A

点评 (1)用系统抽样法抽取多少个个体就需将总体均分成多少组；(2)需要剔除个体时，原则上要剔除的个体数尽量少． 四、综合问题

例4 一个总体中的1 000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码(即在第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数)．

(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；

(2)若所抽取的10个号码中某个数的后两位数是87，求x的取值范围． 分析 按系统抽样的规则计算求解．

解 (1)所分组为0～99,100～199，…，900～999共10组，从每组中抽一个，第0组取24，则第1组取100＋(24＋33×1)＝157，依次错位地从每组中取出，所取的号码为24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.

(2)①若抽取的样本为两位数，当k＝0，取得号码为87时，x＝87；②若抽取的样本为三位数，则87为x＋33k(k＝1,2，…，9)的后两位数．

如当k＝5时，x＋33×5＝□87，可以求出x＝22，这样令k取不同的值可以求得x的值分别为：21,22,23,54,55,56,88,89,90.

综上：x∈{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}．

点评 本题是系统抽样法的逆向综合问题，体现了知识间的联系和数学思想的运用．

2 例析分层抽样的解题方法

若总体由差异明显的几部分组成，抽样时，先将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，再将各层取出的个体合在一起作为样本．这种抽样方法就是分层抽样．

一、应用分层抽样应遵循以下要求：

(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠．即遵循不重复、不遗漏的原则．

(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．即所有层应采用同一抽样比等可能抽样．

(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样． 二、一般地，分层抽样的操作步骤是： 第一步，计算样本容量与总体的个体数之比．

第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数． 第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体． 第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本．

样本容量与总体的个体数之比是分层抽样的比例常数，按这个比例可以确定各层应抽取的个体数，如果各层应抽取的个体数不都是整数应当调节样本容量，剔除个体． 三、分层抽样的优点是：

使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法．下面举例解析分层抽样的方法．

例1 某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则

第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．

解析 由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.

40

40岁以下年龄段的职工数为200×0.5＝100，则应抽取的人数为×100＝20.

200答案 37 20

点评 简单随机抽样是基础，系统抽样与分层抽样是补充和发展，三者相辅相成，对立统一．保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽样共同的特征，为了保证这一点，分层时用同一抽样比是必不可少的．

例2 某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( ) A．9 B．18 C．27 D．36

解析 设老年职工人数为x，则2x＋x＋160＝430，所以x＝90，因此，该单位老年职工共有90人，

32

老年职工人数为90×＝18，所以用分层抽样的比例应抽取该样本中的老年职工人数为18.

160答案 B

点评 分层抽样要正确计算各层在总体中所占的比例，每层采用简单随机抽样法．

分层抽样利用了调查者对调查对象事先掌握的各种信息，考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，从而使样本更具代表性，在实际调查中被广泛应用．

3 辨析三种抽样方法的合理选取

一、简单随机宜少量

例1 据报道，2009年7月22日的“日全食”较为理想的观测地点有上海、重庆、苏州、杭州、合肥、武汉、宜昌、成都、乐山、嘉兴这10个城市．某天文小组从这10个城市中随机抽取4个城市进行观测，宜采用的抽样方法是______________，每个城市被选中的可能性是______________．

解析 由于总体中个体数目较少，所以宜采用简单随机抽样的方法进行抽样．每个城市被选4

中的可能性均相等，均为＝0.4.

10答案 简单随机抽样 0.4

点评 本题中个体总数较少，使用简单随机抽样中的抽签法即可．可以直接把10个城市名分别写在10个大小相同的纸条上，将纸条放在一个盒子里摇匀，随机抽出4个即可．在整个抽样过程中可以保证每个个体被抽到的可能性相等，也可以进一步计算出相应的值． 二、差别明显选分层

例2 网络上有一种“QQ农场”游戏，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了解某小区不同年龄层次的居民对此游戏的态度(小区中居民的年龄具有一定的差别)，现从中抽取100人进行调查，结果如下表：

对游戏的态度 人数

请问随机抽取这100人较合理的抽样方法是________，调查结果得出后，若想从这100人中再选取20人进行座谈，较合理的抽样方法是____________．若这个小区共有2 000人，则每个人被抽到参加座谈的可能性为________．

解析 因为小区居民的年龄存在明显差异，故抽取这100人宜采用分层抽样．根据调查结果，有三种明显不同的态度，因此，选取20人参加座谈，也宜采用分层抽样．在整个抽样过程中，20每个人被抽到的可能性是相同的，均为＝0.01.

2 000答案 分层抽样 分层抽样 0.01

点评 分层抽样的过程是先把有差别的个体进行分层，在每一层中可以采用简单随机抽样或系统抽样的方法，这样也能保证每个个体被抽到的可能性相同． 三、大量抽取选系统

例3 春节来临之际，某超市进行促销活动，为购买商品顾客分发了编号为0000～9999的奖券，超市计划从中抽取100张作为中奖号码，较合理的抽样方法是__________，每张奖券中奖的可能性为________．

解析 由于奖券数量较大，有10 000张奖券，所以宜采用系统抽样方法进行抽取．在抽样过100程中，每张奖券被抽到的可能性是相等的，均为＝0.01.

10 000

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