12数学分析3练习题

数学分析3练习题

一、填空题

xn1. 幂级数?的收敛域为 .

n!n?3xn2. 幂级数?的收敛域为 .

nn?3xn3. 幂级数?2的收敛域为 .

n?3n4.已知幂级数

????axnn?1?n在x?2处条件收敛，则它的收敛半径为 ．

225. 平面点集?x,y?1?x?y〈4的聚点是

??6. 函数z?x2?xy?y2?2x?y的极值点为 7.含参量反常积分一致收敛”）

8. 全微分?2x?siny?dx??xcosy?dy的原函数u?x,y?? 9. 若n为正整数，则?(n?1)? n! 10. 设F?x?????0cosxydx在(??,??)上 （填”一致收敛”或”不

1?x2?x2xe?xydy，则F??x??

211. 由方程y?x?1dysiny?0所确定的隐函数的导数?

dx2212.

?x,y???0,0?limsin?x2?y2?x?y2?

13. 函数B?p,q?的定义域是

14. 闭曲线L所围成的平面区域D的面积SD用第二型曲线积分表示为

SD? 15. 函数z?x?5y?6x?10y?6的极值点为

2216.

?x,y???0,0?limsin?x2?y2?x?y22?

217. 平面点集?x,y?y?x的聚点是

222218. 全微分x?2xy?ydx?x?2xy?ydy的原函数u?x,y??

??????

19. 由方程x2y?3x4y3?4?0所确定的隐函数的导数20. 设F(x)?dy? dx?basinyxdy，则F??x?? y21. 设曲面S的方程为z?f?x,y?，D为S在xoy平面上的投影，则此曲面块的面积用二重积分表示为S? 22. ??s?1?? ??s? 23. 含参量反常积分不一致收敛”） 。 24. 函数f(x,y)?e25.

?(2x2?3y2)???0e?xydy在[a,b](a?0)上 （填” 一致收敛”或”

2定义域为 ，它是 点集。

(x,y)?(0,0)limx2?y21?x?y?1222? 。

326. 函数f(x,y,z)?xy?yz在点(2,-1,1)处沿 方向是f的值增长最快的方向，其变化率为 。 27. 函数y?f(x)(x?y)由方程lnx?y?arctg28.

22ydy? 确定，则dxx?dx?e0x22y2dy? 。

29. 函数f(x,y)?ln(y?x)的定义域为 ，它是 点集。

x2y230. lim?

(x,y)?(0,0)x2?y2?31. 函数f(x,y,z)?x?y?z，则f在点(1,1,1)沿方向l:(2,?2,1)的方向导数

23为 。

3332. 方程x?y?3ax?y0所确定的隐函数y?f(x)的二阶导数

y??= 。

33. 交换积分顺序

?10dy?3?2yyf(x,y)dx? 。

三、判断题

1. 幂级数在其收敛区间上是绝对收敛且一致收敛的. ( ) 2. 幂级数的和函数在其收敛区间上连续. ( ) 3. 若幂级数的收敛半径为R,则它的收敛区间是(?R,R). ( ) 4． 正弦级数的和函数必是偶函数． ( )

|a0|?a0?5.若级数??(|an|?|bn|)收敛，则三角级数??(anconxs?bnsinxn在)22n?1n?1(??,??)上绝对收敛且一致收敛. （ ）

6．以2?为周期的连续的偶函数的Fourier级数为正弦级数. （ ） 7．点集D的聚点必属于D. （ ） 8．R既是开域又是闭域 . （ ） 9．二元函数f(x,y)在点(x0,y0)的两个累次极限若存在则必相等. （ ） 10. f?x,y?在点?x0,y0?连续，则f?x0,y?在点y0连续. （ ） 11.若

2y?kx?0limf(x,y)?A，对于任意的k都成立，则必有limf(x,y)?A.（ ）

x?0y?012.函数f?x,y?在有界闭域D上可积的充要条件是f?x,y?在D上可积（ ） 13.若f?x,y?在D??a,b???c,d?上可积，则

??Df?x,y?d???dx?f?x,y?dy??dy?f?x,y?dx. （ ）

accabddb14. 积分

????x?y??dx?dy?与路线无关. （ ）

0,0?1,1?15. 若f?x,y?在点?x0,y0?的二阶偏导数fyx与fxy都存在，则

fyx?x0,y0?=fxy?x0,y0?.（ F ）

16.若函数f?x,y?在点?x0,y0?可微，则f?x,y?在点?x0,y0?连续.（ ） 17. 若f?x?在?a,b?上可积，g?y?在?c,d?上可积, D??a,b???c,d?,则

??Dbd???f?x?g?y?dxdy??f?x?dx?g?y?dy?. ( ) ????a???c?18. 若f?x,y?在有界闭域D上可积，则函数f?x,y?在D上也可积. （ ） 19.第二型曲面积分与曲面的侧有关. ( ) 20.对定义在D???x,y?x2?y2?1上的函数P?x,y???xy，格,Qx,y???x2?y2x2?y2林公式成立. ( )

21. 设空间闭区域

V1?{(x,y,z)/x2?y2?z2?R2,z?0},V2?{(x,y,z)/x2?y2?z2?R2,

x?0,y?0,z?0},则有???zdv?4???zdv . （ ）

V1V222.若f?x,y?在D??a,b???c,d?上连续，则

??f?x,y?d???Dbadx?f?x,y?dy??dy?f?x,y?dx. ( )

ccaddb23.若f?x,y?在点

?x0,y0?的二阶偏导数fy与xfx都存在，则

fyx?x0,y0?=fxy?x0,y0?. ( )

24.积分

?Lxdy?ydx?0，其中L为平面内的任何一条封闭曲线. ( )

25.平面点集D的聚点一定是D的内点. ( ) 26.若函数f?x,y?在点?x0,y0?存在偏导数，则f?x,y?在点?x0,y0?连续. ( ) 27.二重积分

??f(x,y)dxdy的几何意义是以z?f(x,y)为曲顶，以D为底的曲顶柱体的

D体积. ( )

28.若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)?E??，则称A是点集E的外点。（ ） 29. E的界点属于E; ( )

30.若在点A的任何邻域U(A)内都含有E中的点，则称A是E的聚点; ( ) 31.若函数z?f(x,y)的偏导数在点(x0,y0)的某邻域内存在， 则函数f在点(x0,y0)可微; ( ) 32.当f(x,y)≥0时，二重积分

??f(x,y)d?在几何上就表示以z?f(x,y)为曲顶，D为

D底的曲顶柱体的体积. ( )

33.若存在点A的某邻域U(A)，使得U(A)?E，则称点A是点E的内点; （ ） 34. E的界点不属于E; ( ) F

35.若点A不是E的聚点，则一定是E的孤立点．( )

36.若二元函数f在其定义域内一点(x0,y0)处可微，则f在该点关于每个自变量的偏导数

都存在; ( )

37.当f(x,y)?1时,二重积分

??f(x,y)d?的值即为积分区域D的面积．( )

D38．若f(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)处沿任一方向l的方向导数都存在,则函数f(x,y,z)在点P0处可微. （ ）

39．设函数f(x,y)在有界闭矩形域D:?a?x?a,?b?y?b连续,且关于x是奇函数

(f(?x,y)??f(x,y)),关于y是偶函数(f(x,?y)?f(x,y)),则

（ ） 40．曲线积分41．曲线积分

??f(x,y)dxdy?0.

D1xdx?ydy,L取正向,是光滑闭曲线L所围成区域的面积. （ ） ??2LL(A,B)?(2xcosy?y2sinx)dx?(2ycosx?x2siny)dy与路线L无关,只与

始点A和终点B有关. （ ）

42．(3xy?4x2?2y)dx?(2x2y?5y?1)dy是某函数u(x,y)的全微分. （ ） 43．若函数f(x,y,z)在点P则f(x,y,z)在点P0处沿任一方向l的方向0(x0,y0,z0)处可微，导数都存在. （ ）

44．设函数f(x,y)在有界闭矩形域D:?a?x?a,?b?y?b连续,且关于x是奇函数，关于y是偶函数，则45．曲线积分46．曲线积分

??f(x,y)dxdy?0. （ ）

D??xdx?ydy,L取正向,是光滑闭曲线L所围成区域的面积. （ ）

LL(A,B)?(2xcosy?y2sinx)dx?(2ycosx?x2siny)dy与路线L无关,只与

始点A和终点B有关. （ ）

47．(3xy?4x?2y)dx?(5xy?8y?1)dy是某函数u(x,y)的全微分. （ ）

四、计算题

22x2n?11. 求幂级数?的和函数,并指出其定义域.P54 2(1)

2n?1n?0?11arctanx的幂级2. 利用幂级数展开式??xn,把函数2展开为幂级数,并求函数1?xn?01?x?数展开式.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/u3gf.html