数学建模 DVD租赁在线租赁问题

DVD租赁问题

摘要

我们通过分析题目可知，在租赁过程中，网络经营者主要关注DVD的购买和分配。根据题目所提出的要求，本文针对在线DVD租赁问题中的订购、分配等问题进行了研究，建立了DVD的购买和分配0-1规划模型，给出了该问题的优化方案。

问题一：通过对调查问卷的整理分析，我们得到了1000个会员对于其中5种DVD愿意观看的频数。因此我们认为愿意观看各种DVD的人数服从二项分布，从而计算出在多种可靠度下应该购买DVD的数量，见表一。

表一：（在多种可靠度下应该购买DVD的数量）： 可靠度 80% 99% DVD1 7038 7104 DVD2 3529 3578 DVD3 1771 1807 DVD4 890 916 DVD5 360 375 问题二：题目要求如何进行分配，使会员获得最大满意度。所以我们以会员的标准

10001006最大满意度xijbij为目标函数，建立一个0—1规划模型，得到分配方案，??11?1000i?1j?1并使用软件LINGO编程求解。得到最大满意度89.13%，和前30位会员的分配方案（见表五）。

问题三：我们以会员的最大满意度和网站的最小购买量建立双目标函数。考虑到60%的会员在一个月内由于两次租赁，而致使一部分DVD可被重复利用，因而，我们采用了分两个阶段购买的方案，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划模型，利用lingo求得应购买3066张。从而使实际购买量比网站原来的拥有量小，并且使会员的满意度达到了99.38%。

问题四：我们对新出的DVD进行市场需求预测；利用市场预测选取购买方案，最后按会员在线的订单进行合理分配。在这个过程中，我们追求获得最大收益。因而一方面减少购买DVD所需的成本，另一方面最大化满足各会员的需求。 关键词： 二项分布、0-1规划、双目标规划、满意度

一、问题重述

许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核，为顾客提供更为周到的服务。

顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：

1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数。此外，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？

2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员分别获得哪些DVD。

3）假设表2中DVD的现有数量全部为0。经营管理人员应如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？

4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。

二、模型假设

1、忽略DVD租赁过程中的磨损；

2、假设以一个月为一个周期，考虑在一个周期内DVD的租赁情况； 3、假设一个会员在一个月内租赁到想看的DVD的时间不影响其满意度； 4、假设会员只有将第一次租赁的DVD返还网站才能进行第二次租赁；

5、假设一个周期结束，所有的DVD全部归还网站，不影响下一个周期的租赁； 6、假设每一个会员同一种DVD只租赁一次。

三、符号说明

nj：购买j种DVD光盘的数量 pj：租赁j种DVD光盘的频率 xij：第i人是否租赁j种DVD光盘

bij：第i人是否租赁到j种DVD光盘的满意度

?ij：第i人对j种光碟的偏爱程度

四、问题分析

题目中主要研究的是：网站对DVD的购买和分配问题，因此我们通过预测，建立模型，最后求解可以帮助网站进行合理购买以及对DVD的分配方案。使得会员得到最大的满意度。

问题一：该网站会员中至少50%的人在一个月内能够看到该DVD，为了尽可能使商家购入少的DVD以满足需求，本文先假设在一个周期内网站内的会员对光碟都进行一次性租赁，根据可靠度的不同，求出各个可靠度下的结果。然后再根据有60%的会员每月租赁DVD两次，将所得结果按一定比例减小。

问题二：这是一个最优分配的问题。根据各个会员的偏爱程度不同，网站对DVD进行分配，建立以满意度为目标的函数，在DVD数量一定的前提下，使其合理的分配，使目标函数达到最大值。

问题三：问题三是一个多目标函数，有两个目标：要有95%的会员得到他想看的DVD；满意度要达到最大。我们以会员的最大满意度和网站的最小购买量建立双目标函数。同样利用软件LINGO进行求解。

问题四：题目要求我们自己提出问题并给与解答。所以我们关注对新出DVD的购买与分配。

五、模型建立与求解

问题一：

针对问题一我们建立如下模型并求解。

通过题目中的表二我们可以都得到会员租赁5种DVD的概率。

表二 （对1000个会员的调查结果）： DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 愿意观看的人200 100 50 25 数 第i张DVD被0.2 0.1 0.05 0.025 租赁的概率pi DVD5 10 0.01 对于每张DVD来说只有租赁与不租赁两种情况，所以服从两点分布。 j种DVD,?1表示第i个会员租赁第设随机变量?ij??其中i=1,2,…,100000,显然随机

j种DVD，?0表示第i个会员不租赁第变量?ij服从两点分布，即p{?ij?1}?pj , p{?ij?0}?1?pj，其中pj通过上表一得到。

设随机变量?j?100,000i?1??ij,j?1,2....,5,即?j表示100000个会员中租赁第i张DVD的总

数，由于会员之间是否租赁该张DVD是相互独立的，因而?j~B(100,000,pj),如果网站

准备了E(50%?j)张DVD是有数的，则满足至少50%的会员看到该DVD的概率是

??50%?j?E(50%?j)E(50%?j)?E(50%?j)??P?50%?j?E(50%?j)??P???

D(50%?j)D(50%?j)??????1?50%?j?E(50%?j)? =P??0????0??

2D(50%?j)????其中约等式是由中心极限定理得到。为了提高至少满足50%的人看到该片的可靠度（即概率），我们需要改变提供的数量。设可以保证至少50%的人看到该片的可靠度为99%，即?(t)?99%，由此可以得到t=2.33,则

50%?j?E(50%?j)?2.33D(50%?j)?50,000pj?2.3310,000pj.(1?pj)

同时，由于60%的会员每个月会租赁DVD两次，40%的会员每个月会租赁DVD一次，所以租赁两次的会员会将第一次租赁的DVD归还，这样就可以满足其他会员租赁的要求，但是因为该张DVD是被会员第一次租赁，还是被会员第二次租赁的情况是随机的。我们假设这两种情况是等可能的，所以该张DVD被再次利用的期望值为：

11?60%??0?30% 22由此我们可以得出：只需要准备所需量的70%就可以满足题目中的要求。

综上所述，我们以99%的可靠度满足可少50%的租赁会员能够看到某种DVD所需要准备的该种DVD的数量为：

1??70%??50,000pj?2.33?100,000pj?(1?pj)?

2??代入相关数据，我们可以得到保证至少50%的人在一个月内看到该种DVD，网站

需要准备该DVD的张数。我们还计算了在可靠度为50%的情况下，网站需要准备DVD的张数。共同结果如下表三。

表三（50%以上会员三个月内看到DVD情况下需要准备的数量）： 可靠度 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 50% 7000 3500 1750 875 350 99% 7104 3578 1807 916 375 为了保证在三个月内使得95%的会员看到其所想要租赁的DVD，只需要提供一个

1月内使得95%的会员看到其想要租赁的DVD的总量的，因为每个月为一个周期，所

3以3个月内DVD的流通量相当于一个月内DVD流通了三个周期的量。因而以99%的可靠度使得三个月内95%的会员看得到该DVD，网站应准备的张数为

1?70%?100,000?95%?pj?2.33?0.95100,000pj?(1?pj) 3??带入相关数据，可以得到保证这少95%的会员三个月内看到该DVD，网站需要准备该DVD的张数。同样我们还计算了在可靠度为50%的情况下，网站需要准备DVD的张数。共同结果如下表四。

表四（95%以上会员三个月内看到DVD情况下需要准备的数量）： 可靠度 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 50% 4434 2217 1109 555 222 99% 4499 2266 1144 580 238 问题二：

本问题要求如何把网站手上现有的100张DVD，和在线的1000为会员的需求进行合理的分配，以达到每位会员的最大满意度。因为我们要求的是最优化问题所以我们使用LINGO，通过分析我们建立如下模型：

j种DVD，?1表示第i个会员分到了第设xij?? 则对会员的分配矩阵为：j种DVD，?0表示第i个会员没有分到第?????????????????x2,1x2,2??????????????x1000,1x1000,2?x1000,100?????x1,1x1,2X?x1,100?x2,100???X2?? ???X1000???X1其中Xi为一维行向量，表示对第i个会员的DVD的分配情况。

设aij表示第i个会员对第j张DVD的偏爱程度，由于aij的数字越大，表示其偏爱程度越小，同时会员得到该DVD的满意度越小，因而我们定义第i个会员分配到第j张DVD的满意度为bij则

?1?a,aij?0bij??ij

?0,a?0?ij则会员的满意度矩阵为

?????????????????b2,1b2,2??????????????b1000,1b1000,2?b1000,100?????b1,1b1,2B?b1,100?b2,100???B2?? ???B1000???B1

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