河北省唐山市2010届高三上学期期末考试（数学理）

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河北省唐山市2009—2010学年度高三第一学期期末考试

数学试题（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试卷科目用铅笔涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，

用橡皮擦干净，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。 参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B) S?4?R2 如果事件A、B相互独立，那么

P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R表示球的半径 如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式

P，那么n次独立重复试验中恰好发生k V?次的概率Pn(k)?CnP(1?P)kkn?k433?R

其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，有且

只有一项符合题目要求。 1．在复平面内，复数(1?

A．第一象限 C．第三象限

3i)对应的点位于

2

（ ）

B．第二象限

D．第四象限

2．不等式log

12(3?x)??2的解集为

B．{x|x??1} D．{x|0?x?1}

（ ）

A．{x|x??1}

C．{x|?1?x?3}

x?13．函数y?e

(x?R)的反函数是 （ ）

A．y??1?lnx(x?0) C．y??1?lnx(x?0)

B．y?1?lnx(x?0) D．y?1?lnx(x?0)

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4．正四棱锥P—ABCD的侧棱和底面边长都等于22，则它的外接球的表面积是 （ ）

A．4?

B．8?

C．12?

D．16?

5．曲线y?lnx上一点P和坐标原点O的连线恰好是该曲线的切线，则点P的横坐标为

A．e2

B．e

C．e

D．2

（ ） （ ）

6．已知c、d为非零向量，且c?a?b,d?a?b,则|a|?|b|是c?d的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．计划在4个侯选场馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，在同一个场馆比赛的项目

不超过2项的安排方案共有 （ ） A．24种 B．36种 C．42种 D．60种 8．两个平面?与?相交但不垂直，直线m在平面?内，则在平面?内

A．一定存在直线与m平行，也一定存在直线与m垂直 B．一定存在直线与m平行，但不一定存在直线与m垂直 C．不一定存在直线与m平行，但一定存在直线与m垂直 D．不一定存在直线与m平行，也不一定存在直线与m垂直

xa22（ ）

9．若双曲线?yb22?1(a?0,b?0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的

14，则

该双曲线的离心率为

（ ）

A．

52

B．

233 C．5 D．

41515

10．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DD1的中点，则AB与平面AEF所成角的正弦值为 （ ）

A．

36

2B．

66 C．

33 D．

63

11．过抛物线y?2px(p?0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限

分别交于A、B两点，则

A．5

|AF||BF|的值等于

C．3

D．2

（ ）

B．4

12．f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x?R,总有f(x?2)??f成立,则f(19)=（ ） A．0

B．1 C．18 D．19

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第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上。

113．(x?)9的展开式中x3的系数为 。

x14．等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a3?3,S3?9,则a1= 。

15．经过圆x2?y2?4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，则线段PQ中点的轨迹方程为

。

16．已知A、B、C是△ABC的三个内角，若

sinA?3cosA?0,sin2 B?sinBcosB?2cosB?0，则角C的大小为 。2

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分）

已知函数f(x)?3sin2x?2sin2x?2,x?R.

（I）求函数f(x)的最大值及对应的x的取值集合；

（II）在给定的坐标系中，画出函数y?f(x)在[0,?]上的图象。

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18．（本小题满分12分）

甲与乙进行一场乒乓球单打比赛时，甲获胜的局数?的期望E??2，每场比赛打满3局。

（I）甲、乙进行一场比赛，通过计算填写下表（不必书写计算过程）； 甲获胜的局数 3相应的概率 0 1 2 3 （II）求在三场比赛中，至少有两场比赛甲胜1局或2局的概率。

19．本小题满分12分

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=1，AB=2，BC=3，AA1=2。 （I）求证：A1B⊥B1C；

（II）求二面角A1—B1C—B的大小。 20．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?x?3(a?1)x?6ax,x?R. （I）求函数f(x)的单调区间；

（II）当a?0时，若函数f(x)在区间[—1，2]上是单调函数，求a的取值范围。 21．（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn?n?3n?2,n?N.

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2*

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（I）求{an}的通项公式；

（II）由2bn?bn?1?an(n?2,n?N)确定的数列{bn}能否为等差数列？若能，求b1的值；若不能，说明理由。

22．（本小题满分12分） 过椭圆C:x2*6?y22?1的右焦点F作斜率为k(k?0)的直线l与椭圆交于A、B

两点，且坐标原点O到直线l的距离d满足：0?d? （I）证明点A和点B分别在第一、三象限；

4 （II）若OA?OB??,求k的取值范围。

3233.

参考答案

一、选择题 BCADC CDCBB CA 二、填空题

13．—84 14．3或12 15．三、解答题 17．解：（I）f(x)??2sin(2x?3sin2x?1?2sin2x24?y2?1 16．

?4

x?1?3sin2x?cos2x?1

?6)?1. ………………3分

当2x??6?2k???2(k?Z)时,f(x)取最大值3，

此时x的取值集合为{x|x?k?? （II）列表如下： x 0 ?6,k?Z}. ………………5分

?6 5?12 2?3 11?3 ? 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

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2x?y ?6 ?6 ?2 ? 1 3?2 2? 13?6 2 3 —1 1 ………………6分

2 图象如下：

…………10分

18．解：（I） 甲获胜的局数 相应的概率 0 127

1 292 493 827 ………………6分

（II）由（I）知，在一场比赛中，甲胜1局或2局的概率

p?P(??1)?P(??2)?29?49?23，

所以在三场比赛中，至少有两场比赛甲胜1局或2局的概率 220222323P?C3()?(1?)?C3()?. ……………………12分

3332719．解法一：

（I）由AC=1，AB=2，BC=3知AC2+AB2=BC2，

所以AC⊥AB。

因为ABC—A1B1C1是直三棱柱，面ABB1A1⊥面ABC， 所以AC⊥面ABB1A1。………………3分 由AA1?AB?2，知侧面ABB1A1是正方形，连结AB1，

所以A1B⊥AB1。

由三垂线定理得A1B⊥B1C。 ………………6分 （II）作BD⊥B1C，垂足为D，连结A1D。

由（I）知，A1B⊥B1C，则B1C⊥面A1BD， 于是B1C⊥A1D， 则∠A1DB为二面角

A1—B1C—B的平面角。 ………………8分

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?A1B1?A1C1,?A1B1?A1C.?A1B1?BB1?2,A1C?BC?3,B1C?5,

∴Rt△A1B1C≌Rt△B1BC， ?A1D?BD??cos?A1DB?A1B1?A1CB1C2?265,又A1B?2,2A1D?BD23?A1B2A1D?BD),??23,

?A1DA?arccos(?故二面角A1—B1C—B的大小为arccos(?

解法二：

23).………………12分

由AC=1，AB=2，BC=3知AC2+AB2=BC2， 所以AC⊥AB。

如图建立空间直角坐标系A?xyz,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,0,0),

A1(0,0,2),B1(0,2,2),C1(1,0,2). ……………………2分

（I）?A1B?(0,2,?2),B1C?(1,?2,?2)，

?A1B?B1C?0,?A1B?B1C.………………6分

（II）作BD?B1C，垂足为D，连结A1D。

设BD?tBC?(1?t)BB1?t(1,?2,0)?(1?t)(0,0,2)

?(t,?2t,2(1?t))，

由BD?B1C?t?2t?2(1?t)?0,得t?则BD?(25,?2235,),5523222,,?).55525,

?A1D?A2B?BD?(?A1D?B1C?0,?A1D?B1C.七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载

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所以?BD,A1D?等于二面角A1—B1C—B的大小。 ………………10分 cos?BD,A1D??BD?A1D|BD||A1D|??23， 23故二面角A1—B1C—B的大小为arccos(?

20．解：（I）f?(x)?3x2?6(a?1)x?6a.

由f?(x)?0解得x1??1?a?x2??1?a?2).………………12分

a?1,

2a?1.…………3分

当x?(??,x1)或x?(x2,??)时,f?(x)?0;当x?(x1,x2)时,f?(x)?0.所以函数f(x)的单调递增区间为(?1?a?a?1,??)a?1,?1?a?222(??,?1?a?a?1)和2

2

a?1). ………………6分

2调递减区间为(?1?a? （II）由a?0,知x1??1?a?x2??1?a?2a?1??1?(a?1?a)??1，

2a?1?a?(a?1?1)?0,则函数f(x)在[?1,2]上是单调函数当且仅当[?1,2]?[x1,x2],即x2?a?1?2????9分43.

a?1?2,解得a??4?3??故a的取值范围是?,???. ……………………12分 21．解：（I）a1?S1?6，

当n?2时,an?Sn?Sn?1?n?3n?2?[(n?1)?3(n?1)?2]?2n?2，

22n?1,?6,所以{an}的通项公式为an?? ………………4分

?2n?2,n?2. （II）由（I）知当n?2时,2bn?bn?1?2n?2，

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则2bn?22bn?2nn?1nn?1bn?1?(n?1)2，于是

nnbn?1?(n?1)2. ………………6分

当n?2时,2bn?2b1?(2b2?2b1)?(2b3?2b2)???(2bn?2n232nn?1bn?1),

即2bn?2b1?3?2?4?2???(n?1)2， ① 则2n?1n23nbn?4b1?3?2?4?2???(n?1)234n?1， ②

①—②，得

?2bn?12?2b1?2?2???2?(n?1)2?12?2b1?2?bn?2n?n?1n34nn?1n?1?8?(n?1)2n?1?4?2b1?n?2,

b1?22n?1, ………………10分

当b1?2时,bn?2n对所有的n?N都成立。

故当b1?2时，由题设确定的数列{bn}为等差数列。 ………………12分 22．解：（I）由已知，a?6,b?2,则c?2,F(2,0),

*直线l的方程为y?k(x?2),由0?d?233及k?0,得0?2k1?k222?23

,3解这个不等式，得0?k?. ………………3分

2?x2y??1,?设A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B坐标是方程组?6的解。 2?y?k(x?2)?消去y得(1?3k)x?12kx?12k?6?0，则

12k222222x1?x2?1?3k,x1x2?12k2?621?3k， ………………5分

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y1y2?k(x1?2)?k(x2?2)?k[x1x2?2(x1?x2)?4]?k(2212k2?621?3k2?2?12k2221?3k?62?4)??2k221?3k?0,

?0?k?2,?12k1?3k?0,即x1x2?0,不妨设x1?0,则x2?0,此时y1?k(x1?2)?0,于是y2?0,A、B分别在第一、三象限。 ………………8分 （II）由OA?OB?x1x2?y1y2?12k2?621?3k?2k221?3k?10k2?621?3k??43,

注意到k?0,解得k?3333.

所以k的取值范围是(

,22). ………………12分

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