2014年高考理科数学试题全国大纲卷试题及参考答案
更新时间:2023-09-11 14:04:01 阅读量: 教育文库 文档下载
2014年高考理科数学试题全国大纲卷
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的. 1. 设z?10i,则z的共轭复数为( ) 3?iA.?1?3i B.?1?3i C.1?3i D.1?3i
2. 设集合M?{x|x2?3x?4?0},N?{x|0?x?5},则M?N?( )
A.(0,4] B.[0,4) C.[?1,0) D.(?1,0] 3. 设a?sin330,b?cos550,c?tan350,则( )
A.a?b?c B.b?c?a C.c?b?a D.c?a?b
??????????4. 若向量a,b满足:|a|?1,(a?b)?a,(2a?b)?b,则|b|?( )
A.2 B.2 C.1 D.
2 25. 有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不
同的选法共有( )
A.60种 B.70种 C.75种 D.150种
x2y236. 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线lab3交C于A、B两点,若?AF1B的周长为43,则C的方程为( )
x2y2x2x2y2x2y22?1 B.?y?1 C.??1 D.??1 A.?3321281247. 曲线y?xex?1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A.2e B.e C.2 D.1
8.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )
全国新课标卷 理科数学 第1页
A.
81?27? B.16? C.9? D.
449. 已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、点A在C上,若|F1A|?2|F2A|,则cos?AF2F1?F2,
( )
1122A. B. C. D.
344310. 等比数列{an}中,a4?2,a5?5,则数列{lgan}的前8项和等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
11. 已知二面角??l??为600,AB??,AB?l,A为垂足,CD??,C?l,?ACD?1350,
则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )
1123A. B. C. D.
424412. 函数y?f(x)的图象与函数y?g(x)的图象关于直线x?y?0对称,则y?f(x)的反函数
是( )
A.y?g(x) B.y?g(?x) C.y??g(x) D.y??g(?x)
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13. (xy8?)的展开式中x2y2的系数为 . yx?x?y?0?14. 设x、y满足约束条件?x?2y?3,则z?x?4y的最大值为 .
?x?2y?1?15.直线l1和l2是圆x2?y2?2的两条切线,若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正
切值等于 .
??16. 若函数f(x)?cos2x?asinx在区间(,)是减函数,则a的取值范围是 .
62三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)
?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC?2ccosA,tanA?1,求3B.
18.(本小题满分12分)
全国新课标卷 理科数学 第2页
等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1?10,a2为整数,且Sn?S4. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn?1,求数列{bn}的前n项和Tn. anan?119. (本小题满分12分)
如图,三棱柱ABC?A1B1C1中,点A1在平面的射影D在AC上,?ACB?900,
ABC内
BC?1,AC?CC1?2. (1)证明:AC1?A1B;
(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3,求二
面角
A1?AB?C的大小.
20. (本小题满分12分)
0.5、0.5、0.4,各人是设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、否需使用设备相互独立.
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望. 21. (本小题满分12分)
已知抛物线C:y2?2px(p?0)的焦点为F,直线y?4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|?5|PQ|. 4(1)求C的方程;
(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相较于M、N两点,
且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程. 22. (本小题满分12分)
函数f(x)?ln(x?1)?ax(a?1). x?a(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a1?1,an?1?ln(an?1),证明:
23?an?. n+2n?2全国新课标卷 理科数学 第3页
2014年高考理科数学试题全国大纲卷参考答案
一、选择题:
1. D 2.B 7.C
8.A
二、填空题:
13. 70 14. 5 三、解答题:
17.(本小题满分10分)
解:由题设和正弦定理得3sinAcosC?2sinCcosA
故 3tanAcosC?2sinC 因为
tanA?1,所以cosC?2sinC 33.C 9.A
4.B 5.C 6.A
12.D
10.C 11.B
15.
4 316.(??,2]
即 tanC?1……………………………6分 2所以tanB?tan[180??(A?C)]
??tan(A?C) ?tanA?tanC……………8分
tanAtanC?1??1
即 B?135?………………………………10分 18.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由a1?10,a2为整数知,等差数列{an}的公差d为整数
又Sn?S4,故a4?0,a5?0 即
?10?3d?0,10?4d?0 105?d?? 32解得 因此
d??3
数列{an}的通项公式为an?13?3n…………………………………6分
(Ⅱ)bn?1111??(?)………………………8分
(13?3n)(10?3n)310?3n13?3n于是
Tn?b1?b2?...?bn
全国新课标卷 理科数学 第4页
1111111?[(?)?(?)?...?(?)] 37104710?3n13?3n111?(?) 310?3n10?n……………….12
10(10?3n)分
19.(本小题满分12分)
解法一:(Ⅰ)因为A1D?平面ABC,A1D?平面
AAC11C,故平面AAC11C?平面ABC,又BC?AC,所以BC?平面
AAC11C,……………3分
连结AC1,因为侧面AAC11C为菱形,故
AC1?AC1
由三垂线定理得AC1?A1B………5分 (Ⅱ)BC?平面AAC11C,BC?平面BCC1B1,
故平面AAC11C?平面BCC1B1
作A1E?CC1,E为垂足,则A1E?平面BCC1B1
又直线AA1//平面BCC1B1,因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,A1E?3 因为AC?AE1为?ACC1的平分线,故AD11?3………………8分 作DF?AB,F为垂足,连结A1F,由三垂线定理得A1F?AB, 故?A1FD为二面角A1?AB?C的平面角 由AD?AA12?A1D2?1得D为AC中点,
AD1AC?BC5,tan?A1FD?1?15 DF???DF2AB5所以二面角A1?AB?C的大小为arctan15………………12分
解法二:以C为坐标原点,射线CA为x轴的正半轴,以CB的长为单位长,建立如图所示
的空间直角坐标系C?xyz,由题设知A1D与z轴平行,x轴在平面AAC11C内
全国新课标卷 理科数学 第5页
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