1数学基础知识与典型例题复习-集合建议逻辑

数学基础知识与典型例题

不 等 式

1.绝对值不等式的解法： x a ( a 0 ) 的解集是 x ax a (a 0)

x a , a 0

; .

的解集是 x

x a 或 x a , a 0

⑴公式法: (2)几何法

f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )或 f ( x ) g ( x ) , f ( x ) g ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )

(3)定义法(利用定义打开绝对值)2

(4)两边平方2

2、一元二次不等式 ax bx c 0 ( a 0 ) 或 ax bx c 0 ( a . 0 ) 的求解原理：利用二次函数的图象通 过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。 0

0

0

二次函数y ax bx c2

y ax

2

bx c

y ax

2

bx c

y ax

2

bx c

(a 图象

0

)的

一元二次方 程ax bx c 02

有 两 相 异 实 根x1 , x 2 ( x1 x 2 )

有 两 相 等 实 根x1 x 2 b 2a

无实根

a2

0 的 根

ax bx c 0 ( a 0 )的解集ax2

x x x x1

x1或 x x 2

b x x 2a

R

bx c 0

( a 0 )的解集

x x2

注:分式、高次不等式的解法：标根法

不 等 式 不 等 式

14.不等式 x a x b 0 的解集是 x 2 x 3 ,则 a _ _ _ _ , b _ _ _ _ .2

15.分式不等式 x 3x 7

0

的解集为：___________________.

16.求使

3 x 2x 1 4

有意义的 取值范围.

17.解不等式：|4x-3|>2x+1. 18.解不等式：|x-3|-|x+1|<1. 19.解不等式：2 4x x 3x 22

≥ x 1.

20.已知方程 2(k+1) x +4kx+3k-2=0 有两个负实根，求实数 k 的取值范围.2

命 题

1.命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题； 2.复合命题的形式： p 且 q,p 或 q,非 p; (“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有 、 、 逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联 结词“或”“且” 、 、 “非”构成的命题是复合命题。) ①“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真，其 他情况时为假即当 q、p 为真时，p 且 q 为真；当 p、q 中有一个为假时，p 且 q 为假。 ②“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其 他情况时为真即当 p、q 均为假时，p 或 q 为假；当 p、 q 中有一个为真时，p 或 q 为真； ③“非 p” 形式复合命题的真假与 p 的真假相反即当 p 为真时，非 p 为假；当 p 为假时，非 p 为真。

例 21 写出命题： “若 x + y = 5 则 x = 3 且 y = 2”的逆 命题否命题逆否命题，并判

断它们的真假。

例 22:“若 a b 5,则 a 2 或 b 3 ” 是____命题.(填 真、假) 例 23 命题“若 ab=0,则 a、b 中至少有一个为零”的逆 否命题为____________。 例 24:用反证法证明：已知 x、y∈R,x+y≥2,求 证 x、y 中至少有一个不小于 1。

命 题

3.四种命题：记“若 q 则 p”为原命题，则否命题为“若 非 p 则非 q”,逆命题为“若 q 则 p“,逆否命题为”若非 q 则非 p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即 。

x 例 25 已知 c 0 . 设 P: 函数 y c 在 R 上单调递减. Q :

不等式 x | x 2 c | 1 的 解集为 R,如果 P 和 Q 有且 仅有一个正确，求 c 的取值范围.

充 分 条 件 与 必 要 条 件

①一个命题的否命题为真， 它的逆命题一定为真. (否 命题 逆命题.)②一个命题为真，则它的逆否命题 一定为真.( 原命题 逆否命题.) 4.反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一 些代数命题。 充分条件与必要条件 1.定义：①当“若 p 则 q”是真命题时，p 是 q 的充分条 件，q 是 p 的必要条件;②当“若 p 则 q”的逆命题为真 时，q 是 p 的充分条件，p 是 q 的必要条件;③当“若 p 则 q”, “若 q 则 p”均为真时，称 p 是 q 的充要条件； 2.在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命 题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情 况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且 必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看， 若记满足条件 p 的所有对象组成集合 A,满足条件 q 的所有对象组成集合 q,则①当 A B 时，p 是 q 的充 分条件;②B A 时，p 是 q 的充分条件;③A=B 时，p 是 q 的充要条件； 注：⑴当 p 和 q 互为充要时，体现了命题等价转换的 思想。 ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.

例 26: x 5 _ _ _ _ x 5 或 x 2 .(填 , ¿ , ) 例 27:条件甲: x 1且 y 2 ;条件乙: x y 3 , 则乙 是甲的_____条件. 例 28“α≠β”是 cosα≠cosβ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 例 29 已知 p:方程 x2+ax+b=0 有且仅有整数解，q:a, b 是整数，则 p 是 q 的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件

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