2009年全国高考天津数学试题(文数)

天津文数

2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘

贴考试用条形码．

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3. 本卷共10小题，每小题5分，共50分．

参考公式：

·如果事件A,B互斥，那么P(A B) P(A) P(B)．

·棱柱的体积公式V Sh，其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

5i

=（ ） 2 i

A．1+2i B． 1 2i C．1 2i D． 1 2i

1．i是虚数单位，

x y≥3,

2．设变量x，y满足约束条件 x y≥ 1,则目标函数z 2x 3y的最小值为（ ）

2x y≤3,

A．6 B．7 C．8 D．23 3．设x R，则“x 1”是“x x”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3

x2y2

4．设双曲线2 2 1（a 0，b 0）的虚轴长为2

，焦距为ab

方程为（ ） A

．y

B．y 2x

C

．y

x 2

D．y

1x 2

天津文数

1 1

5．设a log12，b log1，c ，则（ ）

2 233

A．a b c B．a c b

C．b c a D．b a c

6．阅读右面的程序框图，则输出的S （ ） A．14 B．20 C．30 D．55

7．已知函数f(x) sin x

0.3

π

(x R， >0)的最小 4

正周期为π．将y f(x)的图象向左平移| |个单位长度， 所得图象关于y轴对称，则 的一个值是（ ） A．

π3πππ B． C． D． 2848

x2 4x 6，x≥0，8．设函数f(x) 则不等式f(x) f(1)的解集是（ ）

x 6，x 0，

， (3， ) B．( 31)， (2， ) A．( 31)

， (3， ) D．( ， 3) (1，3) C．( 11)

，b 1．

若a b 3，a b 则9．设x，y R，a 1

A．2 B．

x

y

11

的最大值为（ ） xy

31 C． 1 D． 22

2

x) x10．设函数f(x)在R上的导函数为f (x)，且2f(x) xf(

恒成立的是（ ）

，下面的不等式在R上

A．f(x) 0 B．f(x) 0 C． f(x) x D．f(x) x

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2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（文史类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．

11．如图，AA

1与BB1

相交于点

O，AB∥A1B1且AB 径为1，则△AOB11的外接圆的直径为．

A

B1

A1

B

1

A1B1．若△AOB的外接圆的直2

正视图

侧视图

俯视图

12．如图是一个几何体的三视图．若它的体积是a=_______．

*

2 1，n 01234，，，，，13．设全集U A B x Nlgx 1，若A ðUB m n

则集合B _______．

2222

14．若圆x y 4与圆x y 2ay 6 0（a>0）的公共弦的长为，则

1 2

15．若等边△ABC的边长为，若平面内一点M满足CM CB CA，则

63

MA·MB ．

16．若关于的不等式(2x 1) ax的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围

2

2

a=___________．

天津文数

是 ．

6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分） 在△ABC中，BC AC =3

，sinC 2sinA． （Ⅰ）求AB的值： （Ⅱ） 求sin 2A

π

的值． 4

18

．（本小题满分12分）

为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18，27，18个工厂． （Ⅰ）求从

A，B，C区中应分别抽取的工厂个数； （Ⅱ）若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD中，PD 平面ABCD，AD CD，DB平分 ADC，E为

PC的中点，AD CD 1，DB

P

（Ⅰ）证明：PA//平面BDE； （Ⅱ）证明：AC

平面PBD；

E

C

（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成角的正切值． （本小题满分12分） 20．

已知等差数列 an 的公差d不为0，设Sn a1 a2q anqn 1，

Tn a1 a2q 1

n 1

anqn 1，q 0，n N*．

（Ⅰ）若q 1，a1 1，S3 15，求数列 an 的通项公式； （Ⅱ）若a1 d，且S1，S2，S3成等比数列，求q的值；

天津文数

（Ⅲ）若q 1，证明 1 q S2n 1 q T2n

21．（本小题满分14分）

2dq 1 q2n 1 q2

，n N．

*

设函数f x

13

x x2 m2 1 x x R ，其中m 0． 3

（Ⅰ）当m 1时，求曲线y f x 在点1，f 1 处的切线的斜率； （Ⅱ）求函数f x 的单调区间与极值；

（Ⅲ）已知函数f x 有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1 x2，若对任意的

x x1，x2 ，f x f 1 恒成立，求m的取值范围．

22．（本小题满分14分）

x2y2

已知椭圆2 2 1(a>b>0)的两个焦点分别为F，和0)F2(c，0)(c 0)，过点1( c

ab a2

E ，0 的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2BF1A 2F2B． c

（Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）求直线AB的斜率；

（Ⅲ）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H(m，n)(m 0)在△AFC的1外接圆上，求

n

的值． m

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2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（文史类）参考解答

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． （1）D （2）B （3）A （4）C （5）B （6）C （7）D （8）A （9）C （10）A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． （11）2 （12

（13）{2，4，6，8} （14）1 （15） 2 （16）

2549

916

三、解答题

17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，于是AB

ABBC

．

sinCsinA

sinC

BC 2BC sinA

AB2 AC2 BC2（Ⅱ）解：在△

ABC中，根据余弦定理，得cosA

2AB·AC于是sinA

． 5

43,cos2A cos2A sin2A ．

55

从而sin2A 2sinAcosA

所以sin 2A

π ππ sin2Acos cos2Asin

4 4418．本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概

率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决简单的实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：工厂总数为18 27 18 63，样本容量与总体中的个体数的比为以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2．

71

，所639

A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工（Ⅱ）解：设A1，A2为在

厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂．在这7个工厂中随机地抽取2个，全部可能的结果有：（A，（A，（A，（A，（A，（A，（A2，B1），1，A2）1，B1）1，B2）1，B3）1，C1）1，C2）

天津文数

（A2，B2），（A2B3），（A2C1），（A2C2），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B1，，（B2，B3），（B2，C1），（B2，C2），（B3，C1），（B3，C2），（C1，C2），共有C2）

21种．

随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果（记为事件X）有：

（A，（A，（A，（A，（A，（A，（A2，B1），1，A2）1，B1）1，B2）1，B3）1，C1）1，C2）（A2，B2），（A2B3），（A2C1），（A2C2），共有11种．所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)

11

． 21

19．本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．满分12分．

（Ⅰ）证明：设AC BD H，连结EH．在△ADC中，因为AD CD，且DB平分

ADC，所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA．又EH 平面BDE且PA /平面BDE，所以PA∥平面BDE．

（Ⅱ）证明：因为PD 平面ABCD，AC 平面ABCD，所以PD AC．由（Ⅰ）可得，BD⊥AC．又PD DB D，故AC⊥平面PBD．

（Ⅲ）解：由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以 CBH为直线BC与平面PBD所成的角．

P

由AD⊥CD，AD CD

1，DB

可得DH CH

，BH ．

22CH1

． 在Rt△BHC中，tan CBH

BH31

所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为．

3

B

C

20．本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）解：由题设知：S3 a1 (a1 d)q (a1 2d)q2．

*

将q 1，a1 1，S3 15代入上式，解得d 4．所以an 4n 3，n N．

（Ⅱ）解：当a1 d时，S1 d，S2 d 2dq，S3 d 2dq 3dq2．

因为S1，S2，S3成等比数列，所以S2 S1S3，即(d 2dq) d(d 2dq 3dq)．

2

注意到d 0，整理得q 2q 0．因为q 0，解得q 2．

222

（Ⅲ）证明：由题设知，

S2n a1 a2q a3q2 a4q3 a2nq2n 1， ①

天津文数

T2n a1 a2q a3q2 a4q3 a2nq2n 1． ②

①式减去②式，得

S2n T2n 2(a2q a4q3 a2nq2n 1)． ①式加上②式，得

S2n T2n 2(a1 a3q2 a2n 1q2n 2)． ③ ③式两边同乘q，得

q(S2n T2n) 2(a1q a3q3 a2n 1q2n 1)． 所以，

(1 q)S2n (1 q)T2n (S2n T2n) q(S2n T2n) 2d(q q3 q2n 1)

2dq(1 q2n)*

n N ， ． 2

1 q

21．本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性与极值、函数的零点与方程的根的关系、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解：当m 1时，f(x)

13

x x2，f (x) x2 2x，故f (1) 1． 3

所以曲线y f(x)在点（1，f(1)）处的切线的斜率为1． （Ⅱ）解：f (x) x 2x m 1． 令f (x) 0，解得x 1 m或x 1 m．

因为m 0，所以1 m 1 m．当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：

2

2

1 m)，(1 m， )内是减函数，在(1 m，1 m)内是增函数． 所以f(x)在( ，

231

m m2 ． 332312

函数f(x)在x 1 m处取得极大值f(1 m)，且f(1 m) m m ．

33

函数f(x)在x 1 m处取得极小值f(1 m)，且f(1 m)

天津文数

（Ⅲ）解：由题设，f(x) x

1 12

x x m2 1 x(x x1)(x x2)，所以方程

3 3

．

142

x2 x m2 1 0有两个相异的实根x1，x2， m 1) 0故x1 x2 3，且 133

11

解得m （舍），或m ．

22

3

因为x1 x2，所以2x2 x1 x2 3，故x2 1．

2

1

若x1≤1 x2，则f(1) (1 x1)(1 x2)≥0，而f(x1) 0，不合题意．

3

若1 x1 x2，对任意的x [x1，x2]，有x 0，x x1≥0，x x2≤0，则

1

f(x) x(x x1)(x x2)≥0．又f(x1) 0，所以f(x)在[x1，x2]上的最小值为0．于

3

12

是对任意的x [x1，x2]，f(x) f(1)恒成立的充要条件是f(1) m 0，

3

解得 m

1

2

．

综上，m

的取值范围是 22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考

查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力．满分14分．

a2

c

|EF2||F2B|11（Ⅰ）解：由F1A∥F2B且|F，得，从而． A|=2|FB| 122

a|EF1||F1A|22 cc

整理，得a

3c.故离心率e

2

2

2

2

c．

a3

2

2

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得b a c 2c． 所以椭圆的方程可写为2x 3y 6c．

2

2

2

a2

设直线AB的方程为y k x 即y k(x 3c)． ，

c

由已知设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则它们的坐标满足方程组

2

2

2

22

2

y k(x 3c)， 2x 3y 6c.

2

2

2

消去y并整理，得(2 3k)x 18kcx 27kc 6c 0．

天津文数

依题意， 48c2(1 3k2)

0，得 而

． k

33

18k2c

x1 x2 ， ①

2 3k2

222

27kc 6cx1x2=. ②2

2 3k

由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1 3c 2x2. ③

9k2c 2c9k2c 2c

，x2 联立①③解得x1 ． 22

2 3k2 3k

将x1，

x2代入②中，解得k 3c．

2

（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）可知x1 0,x2 当k

时，得A(0

)，由已知得C(0)． 线段AF1的垂直平分线l

的方程为yc x ，直线l与x轴的交点 2

2

2

c c c 2

是的外接圆的圆心．因此外接圆的方程为． ,0△AFCx y c1

2 2 2

直线F2B

的方程为yx c)，

2

c 9c22

， m n

于是点H(m，

n)的坐标满足方程组 2 4

n m c).

5 m c，

n3

由m

0，解得 故 ．

5 n c.m

3

当k

n时，同理可得 ．

m3c

． 2

解法二：由（Ⅱ）可知x1 0，x2

天津文数

当k

时，得A(0

)，由已知得C(0)． 3

由椭圆的对称性知B，F2，C三点共线．

因为点H(m，n)在△AFC的外接圆上，且F1A∥F2B，所以四边形AFCH为等腰11

梯形．

由直线F2B

的方程为yx c)，知点H

的坐标为()． 因为|AH| |CF1|，

所以m2 )2 a2，解得m c（舍），或m

5c．则n

．3所以

nn．当k

时，同理可得 ．

m5m53

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