高斯投影坐标正反算公式

§8.3高斯投影坐标正反算公式

任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R偏微分方程），还有它本身的特殊条件。 8.3.1高斯投影坐标正算公式： B,l x,y

高斯投影必须满足以下三个条件：

①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。

由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x为l的偶函数，y为l的奇函数；l 30

30 ，即l /

1/20，如展开为l的级数，收敛。

x m24

6

0 m2l m4l m6l y m3

5

（8-33）

1l m3l m5l

式中

m0,m1, 是待定系数，它们都是纬度B的函数。

由第三个条件知：

xx y

q

y l, l q

(8-33)式分别对l和q求偏导数并代入上式

m1 3m24

dm0dm22

dm44

3l 5m5l

dq

dql dql 2ml3

6m5

6l

dm1 (8-34)

dq

l

dm355

2l 4m4dq

l3

dmdq

l

上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂l前的系数应相等，即

mdm01

dq

m 1dm1

22

dq

(8-35)

m1dm2

3 3

dq

(8-35)是一种递推公式，只要确定了

m0就可依次确定其余各系数。

由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X，即(8-33)式第一式中，当

l 0时有：

x X m0 (8-36)

dXdBdBdq

顾及(对于中央子午线)

M

NcosBM

rM

V

2

cosB

得：

m1

dm0dq

dXdq

dXdB

dBdq

r NcosB

cV

cosB

(8-37,38)

1dm11dm1dBN

m2 sinBcosB

2dq2dBdq2

依次求得

(8-39)

m3,m4,m5,m6并代入(8-33)式，得到高斯投影正算公式

N2

6

2

2

sinBcosB l

x X

N720

N

N24

44

simBcosB(5 t 9 4 )l

6

32244

sinBcosB(61 58t t)l

N6

3

52

y

N

cosB l

5

cosB(1 t )l

2

4

2

2

3223

120

5

cosB(5 18t t 14 58 t)l

25

(8-42)

8.3.2高斯投影坐标反算公式

x,y B,l

投影方程：

B 1(x,y)l 2(x,y)

(8-43)

满足以下三个条件：

①x坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；② x坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。

高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。 ①由x求底点纬度(垂足纬度)关系式，仿照(8-10)式有，

Bf

,对应的有底点处的等量纬度

qf

，求x,y与

q qf,l

的

q q(x,y)

l l(x,y)

由于y和椭球半径相比较小(1/16.37)，可将y的偶函数，l必是y的奇函数。

q,l

展开为y的幂级数；又由于是对称投影，q必是

q n0 n2y n4y

24

l n1y n3y

3

(8-45)

n0,n1,n2, 是待定系数，它们都是x的函数.

由第三条件知：

q x l x

l y

，

q y

， (8-21)

(8-45)式分别对x和y求偏导数并代入上式

dn0dx

dn2dx

y

3

2

dn4dx

y n1 3n3y 5n5y

5

424

dn33dn55 dn1 2n2y 4n4y 6n6y y y y

dxdx dx

上式相等必要充分条件，是同次幂y前的系数相等，

n1

dn0dx

,n2

1dn12dx

,n3

1dn23dx

,n4

1dn34dx

,

Bf

，

第二条件，当y=0时，点在中央子午线上，即x=X，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度也就是x=X时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为

qf

。也就是在底点展开为y

的幂级数。 由(8-45)1式

n0 qf

依次求得其它各系数

1 11 dq dqdB M

n1

dXdX dX f dBdX f NcosBM fNfcosBfrf

(8-51)

dn0

dqf

tf1 dn1 1 dn1dB n 2 2

2 dX f2 dBdX f2NfcosBf

将n0,n2,n4,n6代入(8-45)1式得

(8-51)1

…………

q qf

tf

2N

2

f

cosBftf

6f

y

2

tf

24N

4f

cosBf

2f

5 6t

4f

2f

2f

4

4f

y y

4

720N

cosBf

61 180t

2

120t 46

2f

48 t

2f2f

6

(8-55)1

q q

f

2

tfy

4f

242

4NcosBf

3f

63

tf(5 6tf f 4 f)y

24NfcosBf

6

2

2246

q q

f

3

ty8N

6f

cos

Bf

(8-55)

将

n1,n3,n5代入(8-45)2式得(8-56)2式。(最后表达式)

x,y

的关系。

②求B Bf与

由(8-7)式

dq

MNcosB

dB

知：

B f(q),Bf f(qf) (8-47)

B f(qf q qf) f(qf dq) (8-48)

按台劳级数在qf展开

2

dB 1 dB

B f(qf) dq dq2dq2 f

dq f

2

3

1 dB 3

6 dq

dq3 (8-49) f

3

dB

B Bf

dq

2

1 dB

q qf 2 q qf 2 dq f f

2

1 dB

q qf 3 6 dq f

(8-50)

3

由(8-7)式可求出各阶导数：

dB 2

VcosBf

f dq

f

d2B

dq2 d3B

dq3

(8-53)

4 sinBfcosBf(1 4 2 3 )ff f

(8-54)1

222442 cos3Bf(1 t2 5 13 t 7 27 t)(8-54)2 fffffff f

…………………

将式(8-55)1,(8-55),(8-53),(8-54)代入(8-50)式并按y幂集合得高斯投影坐标反算公式(8-56)1,

(8-56)

，将底点f

归纳由

p(x,y)求P(B,l)的基本思想：由点p(x,y)得到底点f(x,0)

q qf Q1(x,y)

作为过渡，也就是说将坐标原点o移到f点，先求

l Q2(x,y)

关系式，再将

q qf Q1(x,y)

关系式代入

B Bf Q3(q qf)

关系式得

B Bf Q4(x,y)关系式，最后将坐标原点移回到o点,从而求得P(B,l)点。

8.3.3高斯投影坐标正反算公式的几何解释

①当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为y轴。当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴，其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。②当l=常数时(经线),随着B值增加，x值增大，y值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因cos(

B) cosB

，即当用-B代替B

时，y值不变，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。③当B=常数时(纬线)，随着的l增加，x值和y值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。又当用-l代替l时，x值不变，而y值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。④距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。

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