地大概率论与数理统计练习册第四章随机变量的数字特征答案

第四章随机变量的数字特征

§4.1数学期望§4.2方差

二、计算下列各题

1.设球直径的测量值在 a,b 上服从均匀分布,求球体积V的数学期望。

1

,a x b

解设球的直径为X,其概率密度为f(x) b a

0，

其它 x3

则球的体积Y g(x) ,

6

b 1 1

E(Y) E g(x) x3 x4

a6b a6b a4

b

a

a b a2 b224

11

2.设随机变量X服从 , 上的均匀分布，y g x

22

lnx,x 0

,求

0, x 0

Y g(x)的数学期望和方差。

11

1, x

X的概率密度f(x) 22，

0, 其它

解

E(Y) E g x lnxdx

12

1 ln2

,2

ln2 1, D Y

1

ln2 2 1ln2 3。424

EY

2

1

2

ln

2

2

ln2 xdx

2

3.在长度为a的线段上任意取两个点M与N，试求线段MN长度的数学期望。

解:

以线段起点为原点，X，Y分别表示点M与N的位置，

∴X,Y U(0,a)，

1

,x (0,a)

，fX(x) a

0, 其它 1 1

,y (0,a) ,x,y (0,a)

，f(x,y) a2，fY(y) a

0, 其它 0, 其它

令Z X Y,则Z取值于(0,a)，

这时

FZ(z) P z X Y z

1212

dxdy z z22 aaa z x y z

∴

22

z,0 z a

fZ(z) aa2

0, 其它

a

E(Z)

2121113

z( 2z)dz 2(z2 z)aaa2a3

a0

2a2a

。a63

4.某射手每次命中目标的概率为0.8,连续射击一个目标,直至命中目标一次为止。求射击次数的期望和方差。

解Ak “第K次命中目标”,K 1,2…

P x k P(A1A2…Ak 1Ak)=P(A1)P(A2)…P(Ak 1)P(Ak) (1 0.8)k 1 0.8

k 1

E(x) k 0.2

k 1

0.8 0.8 k 0.2k 1,

k 1

取S(x) kx

k 1

k 1

k x 1 x , 2

1 x1 x k 1

x 1,

0.8122k 1

所以E(x) 1.25,E(x) k 0.2 0.8 0.8 k2 0.2k 1,2

0.8(1 0.2)k 1k 1

取g(x) k2xk 1

k 1

x k 1

xkx 2 k 1 1 x 1.875,

1 x ,3 1 x

x＜1

故Ex2 0.8

1 0.2

1 0.23

从而D x Ex2 Ex 0.3125。

2

x2

2 2

,x 05.设轮船横向摇摆的振幅X的概率密度为f x Axe

0, x 0

， 为常数

试确定常数A,并求E(X)、D(X)和P X E(X) 。

x22

解

f x dx A 0

xedx A e

2

x22 0

A 2 1,A

1

2

1

E(X) 2

EX2

x2e

x22

dx xde

x22

xe

x22

0

e

x22 dx

2

2 2

1 2

x3e

x22 dx

2

x2

令t

2 2

2 2 te tdt 2 2 tde t 2 2

D X EX2 E X 2 2

2 2 222

2

P X E(X) 1 P X E(X) 1 6.设 X、Y 的联合分布为右表

f(x)dx 1

2

12 24xedx e2

x2

Y

(1)求E X 、E Y (2)设Z Y/X、求E Z (3)设W X Y 、求E W 。

2

10.20.10.1

20.100.1

300.30.1

01

解E(Y) 0.2 0.1 0 1 0.1 0 0.3 0 0.1 0.1 0.1 1 0

E(X) 0.2 0.1 0.1 1 0.1 0 0.1 2 0 0.3 0.1 3 2ZPWP

-1

0.200.1

-

120.110.2

13040.3

0.4

90.4

1

0.1

130.1160

120.1

11 1

E(Z) 0.2 1 0.1 0.1 1 0.1 0.1 0.0667

32 2 E(W) 0.1 0 0.2 1 0.3 4 0.4 9 0 16 5。

7.设随机变量X与Y相互独立,且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量X Y的方差。

令Z X Y,则

Z N(0,1) fZ(z)

解

z2

2

E(Z)

zfZ(z)dz zfZ(z)dz

zfZ(z)dz

E(Z) E(Z2)

2

z2

z2

dz 12

2

D(X Y) D(Z) E(Z) E2(Z) 1

2

。

8.箱内有4个白球和5个红球，不放回地接连从箱中2次取球，第1次取出3只球，第2次取出5只球．设X和Y分别表示这2次取出球中的白球数，则E(X|Y 1)为多少？解：条件期望E(X|Y 1)的含义是：在已知第二次取出的5只球中有1个白球的情况下，第一次取出3只球中平均白球数是多少？为求得条件期望E(X|Y 1)，先要求得Y 1条件下X的条件分布，即第二次抽取5只球中只有1只白球，其余4只是红球，因此第一次抽球只能在3只白球和1只红球中随机抽3只球，这时X至少为2，因为红球只有1个，故

P{X 0|Y 1} P{X 1|Y 1} 0，

21

C C3

，P{X 2|Y 1} 3

4C4

3

C31

P{X 3|Y 1} ，

C44

由此可算得Y 1下的条件期望E(X|Y 1) 2 3

3419 。44

9.某大楼共有10层，某次有25人在一楼搭乘电梯上楼，假设每人都等可能的在2~10层中的任一层出电梯，且出电梯与否相互独立，同时在2~10层中没有人上电梯。又知电梯只有在有人要出电梯时才停，求该电梯停的总次数的数学期望。解：由题设，每人在第i层下电梯的概率均为层下电梯，则有P Ak

1

i 2,3, ,10 ，设Ak表示第k人在第i9

18

,P k (k 1,2, ,25)，99

又 A1, ,A25相互独立，因此第i层无人下电梯（电梯不停）的概率为

25 25 8 P k P k

9 k 1 k 1

设Xi

25

1,第i层有人下

，i 2, ,10，则

0,第i层无人下

8 8

P Xi 0 ,P Xi 1 1 ,i 2,3, ,10

9 9

因此，电梯停的总次数为X

2525

X

i 2

10

i

，

8 25 10 10

EX E Xi E Xi 9 P Xi 1 1 9 1 。

i 2 i 2 9

10.设随机变量X的概率密度为

ax2 bx c,0 x 1

f(x)

0,其他.

已知:E（X）=0.5,

D（X）=0.15,求系数a、b、c。

解：由密度函数性质及已给条件，知有

1

ab

c， 2a 3b 6c 6，

032

11abc

E(X) xf(x)dx xax2 bx cdx ， 3a 4b 6c 6，

02432 1abc

E(X2) x2f(x)dx x2ax2 bx cdx ，

0543

abc1

0.15 D(X) E(X2) E2(X) ， 12a 15b 20c 24，

5434

f(x)dx ax2 bx cdx

1

三个方程，三个变量，解之可得：a 12,b 12,c 3。

2

11.设随机变量X，Y相互独立，且都服从N

, ，设Z max X,Y ，求E Z 。

解：设U

X

,V

Y

，则X U ,Y V ，由于X与Y相互独立

U,V相互独立，且U~N 0,1 ,V~N 0,1

Z max X,Y max U , V max U,V

U,V相互独立，且U~N 0,1 ,V~N 0,1 ，则有T U V~N 0,2 E

T

t 2 2

dt 2

而max U,V

1

U V U V ，则有2

1。EU EV EU V

2E max U,V

因此E max X,Y E max

U,V 四、证明题

设随机变量X和Y相互独立，试证明

。D(X Y) D(X)D(Y) E2(X)D(Y) E2(Y)D(X)．

证明：D(X Y) E (XY) E(XY) 2 E(XY)2 2XYE(XY) E2(XY)

E(XY)2 2E(XY)E(XY) E2(XY) E(X2Y2) E2(XY)，

因为X和Y相互独立，所以有E(X Y) E(X) E(Y)，又

E(X2Y2) 从而有

22

xyf

(x,y)dxdy

2 xfX(x)dx

y2fY(y)dy E(X2)E(Y2)，

D(XY) E(X2)E(Y2) E2(X)E2(Y)

2222222 E(X) E(X) E(Y) E(X)E(Y) E(X)E(Y)22

D(X)E(Y2) E2(X) E(Y) E(Y)

22 D(X)E2(Y) E2(X)D(Y) D(X) E(Y) E(Y)

D(X)D(Y) E2(X)D(Y) E2(Y)D(X)。

§4.3协方差和相关系数§4.4原点矩与中心矩

.

三、计算下列各题

1.若随机变量 X,Y 在区域D上服从均匀分布D x,y 0 x 1,0 y x ,求随机变量X,Y的相关系数。

解A dxdy dx dy

D

1

x

1x

1,2

2,(x,y) D

f(x,y)

0,(x,y) D

E(x) 2 xdx dy

1

x

1x2112

,Ex2 2 x2dx dy ,D(x) Ex2 E(x)

003218

1x111 1 12

E(y) 2 dx ydy ,Ey 2 dx y2dy ,D(y) ,

0000366 3 181x11211

E xy 2 xdx ydy ,Cov(x,y) E(xy) E(x)E(y) .

00443336

1

cov(x,y)136 XY 。

/18/182D(x)D(y)

2

2.设随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y) Asin(x y)0 x

,2

0 y

2

求：（1）系数A;(2)E(x),E(y),D(x),D(y);（3）协方差及相关系数。

解(1)

f x,y dxdy A

2

dx sin(x y)dy 2A 1,

0

2

A 0.5；

11

(2)E(x) 2dx 2xsin x y dy 2x cosx sinx dx

020204 12122 2 222

E(x) dx xsin x y dy x cosx sinx dx 2

0202082

2 22

D(x) E(x) E x 2;

162 2

由X与Y的对称关系,知E(Y) ,D(Y) 2.

41621

(3)E xy 2dx 2xysin x y dy 1

0202

2

于是cov x,y E xy E x E y 1 , xy

2163.设随机变量X的概率密度为f x

cov x,y Dx 2 8 16

2.

8 32Dy1 x

e, x .求：2

（1）E X ,D X ；（2）X与X的协方差，并问X与X是否不相关；（3）问X与X是否独立？为什么？解：（1）E X

11x x

xedx xe 2 02dx 0， 1x2

E X x2 edx 2,DX 2 0 2.

2

（2）令Y X,则EY

E XY E XX 0

x

1 x

edx 1.2

Cov X,Y 0 0 0 X与Y不相关.

1a x

（3）对于任意实数a 0，0 P X a edx 1有

2 P X a,X a P X a P X a P X a X与X不相互独立.

4.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y) 相关系数。

解 E(X) dx x(2 x y)dy

01

1

1151

, E(X2) dx x2(2 x y)dy

00124

2 x y, 0 x 1, 0 y 1

,求X,Y的

0, 其它

1 5 11511

D(X) , 由对称性 E(Y) , D(Y) ,

4 12 144121441111

E(XY) dx xy(2 x y)dy , Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y)

006144

2

所以 X和Y的相关系数为: XY

Cov(X,Y)DXDY

1

11。

5.设随机变量X服从[ , ]上的均匀分布，令Y sinX,Z cosX，求 YZ。

1

, x

解 X的密度函数为 fX(x) 2

0, 其它

11

sinxdx 0, E(Z) cosxdx 0, 2 2 1

E(YZ) sinxcosxdx 0, cov(Y,Z) E(YZ) E(Y)E(Z) 0,

2

covY,Z)

所以 YZ 0.

D(Y)D(Z)

E(Y)

6.二维随机变量(X,Y)的分布律为

Y

-101

-11/81/81/8

01/80a

11/81/8b

问a,b取何值时，X与Y不相关？此时X与Y是否独立？

解（1）

621 a b 1 a b ，884

3212E(Y) 1 0 a b a b ，

8888

3121

E(X) 1 0 ( a) 1 ( b) b ，

8888121

E(XY) b b

888

若X与Y不相关，则b

，

112

(b a b 888

b

11

,a ;88

（2）P X 1,Y 1

19

P X 1 P Y 1 不独立。864

2

2

7.已知随机变量X与Y分别服从正态分布N(1,3),N(0,4),

且X与Y的相关系数

XY ．设Z

1

2XY

（２）X与Z ，求（１）Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；

32

的相关系数 XZ；（３）问X与Z是否相互独立？为什么？

解：(1)E(Z) E(

XYE(X)E(Y)101

，3232323XYXYD(X)D(Y)1

D(Z) D() D( 2cov(,)

cov(X,Y)

3232943

324211 1

XY 1 4 3 4 3，94332

由于X与Y分别服从正态分布，所以Z也服从正态分布N(,3)；

1

3

1X2XY

(2)因为E(X) 1,E(Z) ,E(XZ) E( )，注意到

332

E(X2) D(X) E2(X) 32 12

10，且

cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) XY

E(XY) XY E(X)E(Y)

3 4

1 0 6，2

111061

E(XZ) E(X2) E(XY) ，

32323

11

由协方差定义：cov(X,Z) E(XZ) E(X)E(Z) 1 0, XZ 0；

3312

(3)由于X与Z均服从正态分布N(1,3),N(,3)，故“相关系数为零”等价于“相

3

所以

互独立”，因此X与Z相互独立。

8.设E(X) E(Y) 1,E(Z) 1,D(X) D(Y) D(Z) 1， XY=求E(X Y Z)和D(X Y Z)。

解：E(X Y Z) E(X) E(Y) E(Z) 1 1 1 1；

111

， XZ= ， YZ=，222

D(X Y Z) E (X Y Z) E(X Y Z)

2

E X E(X) Y E(Y) Z E(Z)

222

2 X E(X) Y E(Y) 2 Y E(Y) Z E(Z) 2 X E(X) Z E(Z)

D(X) D(Y) D(Z) 2cov(X,Y)

2cov(Y,Z) 2cov(Z,X)

3 1 2 4。 29.若随机变量X、Y相互独立同分布，均服从N( , 2)，令 X Y，（ , X Y为不相等的常数），求随机变量 与 的相关系数 ，并说明当 , 满足什么条件时， , 不相关。

解：（1）依题意，有因为而

E(X) E(Y) ,D(X) D(Y) 2，且Cov(X,Y) 0．

E( ) E( X Y) E(X) E(Y) ( ) ，E( ) E( X Y) E(X) E(Y) ( ) ．

E( ) E( X Y)( X Y) E( 2X2 2Y2) 2E(X2) 2E(Y2)，

由方差公式可求出

E(X2) D(X) E2(X) 2 2，同理可得

所以又

E(Y2) 2 2，

E( ) 2( 2 2) 2( 2 2) ( 2 2)( 2 2)．

D( ) D( X Y) 2D(X) 2D(Y) ( 2 2) 2，同理有D( ) ( 2 2) 2，

综合上述结果，可得

22222

2

( 2 2) 2 2 2

( ) （2）若 , 不相关，则 0，因此 0，又

，则 时 , 不相关。

UV

四、证明题

设X,Y是随机变量，U aX b,V cY d.其中a,b,c,d为常数，且a,c同号.证明： XY

证 UV

XY.

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