变形牛顿环装置干涉条纹特点的研究及应用

变形牛顿环装置干涉条纹特点的研究及应用

摘要：牛顿环是典型的用分振幅方法实现的等厚干涉现象，一般采用平凸透镜加双凸透镜的模式实现，而牛顿环仪则往往采用平凸透镜加玻璃平板的模式实现。本文通过对牛顿环仪的变形，利用平凸透镜加平凸透镜的模式实现了牛顿环现象，分析了单色点光源下牛顿环干涉条纹的半径公式、分布规律以及中心斑明暗等特点，讨论了变形牛顿环装置在测量透镜曲率半径、介质折射率以及检验精密光学元件质量等方面的应用。

关键词: 牛顿环仪；变形牛顿环装置；干涉图样

Deformation Newton rings device the interference fringes

characteristics of the research and application

Abstract:Newton rings is a typical interference phenomenon with equal thickness ,which is the realized by the method of sub-amplitude, generally using flat with double convex lens to achieve, and Newton rings apparatus tends to use flat add glass plate to be achieved. Based on the Newton rings apparatus deformation, the article realizes the Newton rings phenomenon with the model of using two plano-convex lens added, analyses the formula of the radius, distribution and lightness and darkness of the center spot and other features under monochromatic light source of the Newton rings interference fringes ,and discusses the deformation Newton rings device in measuring lens radius, refractive index, and test the quality of precision optical components and other applications.

Keywords: Newton rings apparatus; Deformation Newton rings installation; Interference pattern

0引言

“牛顿环”是牛顿在1675年为研究薄膜的颜色而首先观察到的，一种用分振幅方法实现的等厚干涉现象。 牛顿深入研究了这种实验现象，并进行了精确测量，找出了环的直径分布规律；可以说已经走到了光的波动说的边缘，但由于他过分偏爱微粒说，始终无法正确解释这个现象。事实上，这个实验倒可以成为光的波动说的有力证据之一。直到19世纪托马斯·杨才用光的干涉原理解释了牛顿环现象。他参考牛顿的测量结果计算了不同颜色的光波对应的波长和频率，并验证了位相跃变[1]。尽管牛顿环实验大家都十分熟悉，其内容也十分简单，但在物理学发展史上却发挥了重要作用。不少著名物理学家从不同角度对它进行过大量深入细致的研究工作，推动了光学波动理论的确立和发展。经过前人的研究，已经对牛顿环的形成原理有了比较系统深入的理解，总结出了牛顿环干涉条纹的半径公式、分布规律等特点，同时牛顿环也被广泛应用。比如测量光波波长，精确的测量长度、厚度和角度，检验试件表面的光洁度，研究机械零件内应力的分布以及在半导体技术中测量硅片氧化层厚度等。

本文采用平凸透镜+平凸透镜的模式对牛顿环仪进行变形。通过几种不同装置的对比分析，加深对牛顿环物理意义的理解，从而借鉴牛顿环仪的研究方法，来探究单色点光源下变形牛顿环(平凸透镜+平凸透镜)所产生的干涉条纹的半径公式、分布规律等特点，以及如何通过变形牛顿环(平凸透镜+平凸透镜)测透镜的曲率半径、介质的折射率等问题。

1 牛顿环仪及变形牛顿环装置

时至今日针对牛顿环的研究已逐渐趋于成熟，同时专家们对牛顿环的实现装置不断完善。现在的牛顿环仪多采用平凸透镜+玻璃平板的模式。而变形牛顿环仪则通过对牛顿环仪进行变形，采用平凸透镜+平凸透镜的模式，来研究单色点光源下牛顿环的干涉条纹的半径公式、分布规律等特点。 1.1 牛顿环仪装置

牛顿环仪是由一块曲率半径较大的平凸玻璃透镜，将其凸面放在一块平面玻璃板上构成的。如图1所示A为平凸透镜，B为光学玻璃平板，二者在O点接触构成牛顿环仪。

RABro图1 牛顿环仪

1

d

1.2 变形牛顿环装置

本文提到的变形牛顿环装置主要有两种，均是由两块曲率半径较大的平凸玻璃透镜组成。如图2（a）顶平式牛顿环装置所示，将曲率半径为R的平凸玻璃透镜A的凸面放在曲率半径为R?的平凸玻璃透镜B的平面上构成顶平式牛顿环装置；如图2(b）对顶式牛顿环装置所示，将曲率半径为R的平凸玻璃透镜A的凸面放在曲率半径为R?的平凸玻璃透镜B的凸面上，二者对顶而立，构成对顶式牛顿环装置。

C C R r O （a） 顶平式牛顿环装置 （b） 对顶式牛顿环装置装置 A d B R r r O A B 图2 变形牛顿环装置 2 干涉原理及条纹特点

2.1 牛顿环仪干涉原理

平凸透镜和平面玻璃板，形成一层空气薄膜，其厚度从接触中心到边缘逐渐增加。由于它是一种用分振幅方法实现的等厚干涉现象，故平行单色光垂直照射到平凸透镜上后，经过空气层上下表面反射后的两光束存在光程差。它们在平凸透镜的凸面相遇后将发生干涉,形成以玻璃接触点O为中心的一系列明暗相间的同心圆环，且同一干涉条纹上条纹对应空气厚度是相等的，这就是牛顿环，如图3所示。

图3 牛顿环

2.2 变形牛顿环仪干涉原理

同牛顿环仪相似，无论是顶平式组合还是对顶式组合，两块平凸透镜之间都形成了劈尖式空气介质薄膜。若将点光源经过凸透镜处理后形成的平行光束垂直射向变形牛顿环装置，进入透镜的光束部分先被透镜凸面反射回去，另一部分透入空气层后，

2

遇到第二块透镜的表面被反射，上下空气表面反射的两光束必然存在光程差，在平凸透镜的表面相遇后会形成稳定的干涉条纹，即牛顿环。 2.3 条纹半径

2.3.1 牛顿环仪条纹半径

如图1所示 R为平凸透镜的曲率半径，在以O为圆心，任意r为半径的圆周上各点的空气厚度d相同。由几何知识得[2]：

R2??R?d??r22

(1)

即

d?r2?2R?d?又因为 R??d，故可以略去分母中的d得：

(2)

d?r22R (3)

进入透镜的光束，部分被透镜凸面反射回去，另一部分透入空气层后，遇到平面玻璃板后反射。这两束反射光光程差为[3]：

??2d??2?r2R??2 (4)

其中?2是额外光程差，半波损失。故图3中亮环半径r可由下式计算：

??2j.?2?j??r2R??2 (j=0,1,2,3 ? ?) (5)

即

r?R?2j?1??2 (j=0,1,2,3 ? ?) (6)

同理，图3中暗环的半径r?可由下式算出：

???2j?1???2?j??r?2R??2 (j=0,1,2,3 ? ?) (7) 即

r??j?R (j=1,2,3 ? ?) (8)

2.3.2 顶平式牛顿环装置条纹半径

如图2(a)所示顶平式组合R为平凸透镜A的曲率半径, R?为平凸透镜B的曲率半径。以O为圆心，任意r为半径的圆周上，各点的空气厚度d相同。由于两块平凸透镜之间形成的劈尖式空气介质薄膜与牛顿环仪相同，故顶平式牛顿环装置可以得到与牛顿环仪相同的半径公式：

亮环半径 r?R?2j?1??2 (j=0,1,2,3 ? ?) (9)

暗环半径 r??2.3.3 对顶式牛顿环装置条纹半径

j?R (j=1,2,3 ? ?) (10)

3

如图2（b）所示对顶式组合R为平凸透镜A的曲率半径, R?为平凸透镜B的曲率半径。以O为圆心，任意r为半径的圆周上，各点的空气厚度d相同。由几何知识得[4]：

d?d1?d2R2??R?d1??r2R?2??R??d2??r222

(11)

综上可得：

r2r2d?d1?d2?? 2R?d12R??d2 (12)

又因为R??d 且R???d，则：

r2r2d??2R2R? (13)

空气上下表面两束反射光的光程差为：

??2nd??2?n?1?所以

(14)

?r2r2???2d??2??????2 (15)

?RR??那么对顶式牛顿环装置干涉条纹中亮环半径r可如下计算：

?r2r2???2j??2?j???????2(j=0,1,2,3 ? ?) (16)

?RR??

即

r?2jRR???RR???2?R?R??2j?1RR???2(j=0,1,2,3 ? ?) (17) R?R? 暗环半径r?可如下计算 ：

?r?2r?2????2j?1???2??????2 (j=0,1,2,3 ? ?) (18)

?RR??

则

r??

2?j?1?RR???2 (j=0,1,2,3 ? ?) (19) R?R?即

r??2.4 条纹特点

通过牛顿环仪得出的牛顿环，干涉条纹半径越大越紧密，即牛顿环条纹内疏外密，内粗外细。在接触点d=0。即凸透镜的凸面中心和平板玻璃完全接触。这里的光程差仅

4

2jRR??2 (j=1,2,3 ? ?) (20) ?R?R

等于额外光程差?2，所以在反射光中看到的牛顿环中心是暗斑，如图3所示[5]。 2.4.1 顶平式牛顿环装置条纹疏密变化

由相干加强条件得：

??2k??2 （k=0,1,2,3 ? ?） (21) k?k?1?2?k?1???2 （k=0，1，2,3 ? ?） (22)

则

?k?1??k?? (23)

引入????k?1??k??又 ??2nd??2（其中n=1已知）是关于λ的函数。即??d，

如图4所示d随着r从O点向外不断延伸变化，它的变化率越大，即增大的越快。那么???2dk?1?2dk??在越短的水平距离中越易满足，故顶平式牛顿环变形装置的牛顿环 干涉条纹内疏外密，越向外越密越细。

d r dk O 图4 d随x变化曲线 x 2.4.2 对顶式牛顿环装置条纹疏密变化

同上法，得：

?k?1??k?? (24)

如图5所示d随着r的增大向x负轴延伸，它的变化率越来越大。又因为??d，所以

???2dk?1?2dk??在越短的水平距离中越易满足，故对顶式牛顿环变形装置的牛顿环

d r dk O r x 图5 d随x变化曲线

干涉条纹内疏外密，越向外越密越细。

5

2.4.3 中心斑

从图2(a)、2（b）看出两个O点d为零。即接触点d=0，平凸透镜的相接面玻璃完全接触，在正人射情况下， 这里的光程差仅等于额外光程差?2，所以在反射光中看到的牛顿环中心是暗斑。

3 牛顿环应用

3.1 测透镜曲率半径

3.1.1 牛顿环仪测透镜曲率半径

由牛顿环仪的亮环半径公式(6)和暗环半径公式(8)知，若已知形成的牛顿环的第j级干涉暗条纹的半径或第j级干涉亮条纹的半径公式。在λ已知时，只要实验测出rj?或

rj都可求得曲率半径R[6]。

但由于实际操作中两接触面之间难免存在尘埃或发生弹性形变，因此两光学元件接触处不可能是一个几何点，而是一个圆斑。所以牛顿环圆心处环纹粗且模糊难以确定环纹干涉级数j故直接应用公式计算曲率半径已不太实际[7]。为了避免这一困难并减少误差，我们可以测出环序数分别为j1、j2的暗（亮）环的条纹半径rj?1、rj?2。j1、j2不一定是环级数，假设j?m是环级数，其中m是环级数修正值；则：

r?j2??j?m?R? (25)

将j1、j2分别代入(25)式，求差得：

2?r?j2?rj1??j2?j1?R? (26) 2由上式可以看出任意两暗（亮）干涉环的半径平方差与环序数无关而只与两环序数只差相关，则可求得透镜曲率半径R。

R?2r?j2?r?j12?j2?j1?? (27)

3.1.2 顶平式牛顿环装置测透镜曲率半径

顶平式变形牛顿环测未知透镜曲率半径与牛顿环仪测透镜曲率半径存在相同的困难，可用同样的方法进行修正。我们可以测出序数分别为j1和j2的暗环的条纹半径，j1和j2为环序数。引入修正值m，假设j?m为环对应级数，则：

rj?2??j?m?R?

(28)

由上式可看出rj?2与m成直线关系，斜率为Rλ。因此也可以测出一组暗(亮)环的对

22应半径rj?和它们相应的环序数j，作rj?-j关系曲线[8]如图6所示。由直线斜率K?R?，

6

可求出：

R?K O j 图6 -j关系曲线rj?22?rj?12? (29)

3.1.3 对顶式牛顿环装置测透镜曲率半径

已知

球上平凸透镜曲率半径R，与顶平式牛顿环变形装置存在相同的问题，可用

同样的方法进行修正。修正后，得出：

rj?2?R?R???2?j?m?RR???2 (30)

我们可以测出环序数分别为j1、j2的暗（亮）环的条纹半径。但j1、j2不一定是环级数将j1、j2分别代入上式，求差得：

?r?2j2?rj?12??R?R???2?j?j?RR???2 (31)

21则

R?3.2 测均匀透光介质折射率

?r??r??R?2j22j1?j2?j1???rj?2?rj?2 (32)

213.2.1 牛顿环仪测均匀透光介质折射率

图7 充满均匀透光介质的牛顿环仪

设透镜的半径为R，入射光波长为λ。则牛顿环半径为：

r2??2j?1?R?2(j=0,1,2,3 ? ?) 明环 (33)

r?j?R (j=1,2,3 ? ?) 暗环 (34)

若在平凸透镜与平面玻璃之间充满某种均匀透光介质(如图 7所示)，其折射率为

7

2n。则牛顿环的半径[9]为：

r?2?n?2j?1?R?2（j=0,1,2,3 ? ?） 明环 (35)

r?2?jn?R （j=1,2,3 ? ?） 暗环 (36)

为了消除误差，我们具体测量两个暗（明）环M，N的直径，于是有：

22DM?DN?4?M?N??R（未充满均匀透光介质） (37)

?2?DN?2?4?M?N?n?RDM

（充满某种均匀透光介质） (38)

则由(37)和(38)得：

?2?DN?2DMn?22 (39) DM?DN

3.2.2 变形牛顿环装置测均匀透光介质折射率

顶平式牛顿环变形装置和对顶式牛顿环变形装置测均匀透光介质折射率的情况与牛顿环仪相同。设入射光波长为λ。则它们的牛顿环半径可表示为：

r2?Q?2j?1?R?2（j=0,1,2,3 ? ?） 明环 (40)

r2?Qj?R （j=1,2,3 ? ?） 暗环 (41)

R?Q?对顶平式牛顿环变形装置而言Q?1，对对顶式牛顿环变形装置而言R?R?。

若在两光学元件之间充满某种均匀透光介质[10]，其折射率为n。则牛顿环的半径为：

r?2?Q?2j?1?nR?2（j=0,1,2,3 ? ?） 明环 (42)

r?2?Qjn?R （j=1,2,3 ? ?） 暗环 (43)

为了消除误差，我们具体测量两个暗（明）环M，N的直径，于是有：

22DM?DN?4?M?N??R?M?N? 未充满均匀透光介质 (44)

D??D??4?M?N?n?R?M?N?充满某种均匀透光介质 (45)

2M2N

则可由上面两式可得：

?2?DN?2DMn?22 (46) DM?DN3.3 精确检测光学元件表面的质量

3.3.1 牛顿环仪精确检测光学元件表面的质量

当光学元件不平滑时或有杂质时，实验室中观察牛顿环时，有时会发现本该圆形的牛顿环有局部变形的现象，且一般是牛顿环局部内凹。原因何在？下面给出这一实验现象的定性的理论分析。在单色光垂直入射的情况下，牛顿环明、暗纹的干涉条件分别是：

??2d??2?j? （j =0,1,2? ?） 明纹 (47)

??2d??2?2j??2 （j =0,1,2? ?） 暗纹 (48)

8

其特点是同一厚度d处，光程差相等，形成同一级干涉条纹。如图8所示，但当光学元

R A B O P r d 图8存在杂质的牛顿环干涉条纹

件表面不平滑时中间介质厚度将发生微小变化；而当表面有杂质时，由于杂质折射率一般大于空气折射率，引起了附加光程差。两种情况都会使得干涉条纹产生扭曲。设平玻璃板B上某点P处微小邻域不规范（有杂质或不圆滑），其折射率为n，沿光线投射方向线度为a ，则点P 处对应的两反射光光程差为[11]：

??2? (49) ?d??n?1?a????2

其中d为P点处平凸透镜凸面与平玻璃B上表面的距离。若在此处满足j级明条纹条件，则有：

?j?2??d??n?1?a????2?j? (50)

而在无杂质存在处，同一j级明条纹对应的空气层厚度设为d?，有：

??? (51) j?2d??2?j?

所以

d??d??n?1?a?d

(52)

即在无杂质存在处，同一j级条纹对应的空气层厚度d?比有杂质存在的地方的d为大， 因此形成条纹内凹现象。若d?小于d时，则形成条纹外凸的现象。 3.3.2 变形牛顿环装置精确检测光学元件表面的质量

在顶平式牛顿环变形装置或对顶式牛顿环变形装置中，在单色光垂直入射的情况下，牛顿环明、暗纹的干涉条件分别是：

??2d??2?j?（j = 0，1,2, ? ?） 明纹 (53)

??2d??2?2j??2 (j=0,1,2,3 ? ?) 暗纹 (54)

其特点是同一厚度d处，光程差相等，形成同一级干涉条纹。但当光学元件表面不

9

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