高考数学一轮复习第六章第4讲数列求和文（含解析）

第4讲 数列求和

一、选择题

1.在等差数列{an}中，a2?1,a4?5,则{an}的前5项和S5=( ) A.7 B.15 C.20 D.25

解析

a2?1,a4?5?S5?a1?a5a?a4?5?2?5?1522.

n答案 B

2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )． A．15

B．12

C．－12

D．－15

解析 设bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15. 答案 A

3．在数列{an}中，an＝A．2 011 解析 ∵an＝答案 C

4．数列{an}满足an＋1＋(－1)an＝2n－1，则{an}的前60项和为( )． A．3 690

B．3 660

C．1 845

D．1 830

nn1

n＋2 013

，若{an}的前n项和为，则项数n为( )．

2 014

C．2 013

D．2 014

B．2 012 1n＋

n111n2 013＝－，∴Sn＝1－＝＝，解得n＝2 013. nn＋1n＋1n＋12 014

解析 当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1， 当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3， ∴a2k＋1＋a2k－1＝2，∴a2k＋1＋a2k＋3＝2， ∴a2k－1＝a2k＋3，∴a1＝a5＝…＝a61.

∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝答案 D

1

5. 已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，令bn＝(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}的前10项

＋2

＝30×61＝1 830.

n和T10＝( )

A．70 B．75 C．80 D．85

1

解析 由已知an＝2n＋1，得a1＝3，a1＋a2＋…＋an＝则bn＝n＋2，T10＝答案 B

＋2

＝75，故选B.

＋2n＋2

＝n(n＋2)，

1*

6．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝( )．

221A. 2

B．6

C．10

D．11

1

解析 依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，则an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项、偶数项分

2别相等，则a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a211

＝10×＋1＝6，故选B.

2答案 B 二、填空题

1

7．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝

2________.

解析 设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q，代入数据解得q＝－8，所以q＝－2；11n－1

等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝×2，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝

22(1＋2＋2＋…＋2答案 －2 2

n－1

2

3

3

n－1

1n1n－1

)＝(2－1)＝2－. 22

1

－ 2

n2

2

2

8．等比数列{an}的前n项和Sn＝2－1，则a1＋a2＋…＋an＝________. 解析 当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2－1－(2又∵a1＝1适合上式．∴an＝2

2

2

nn－1

－1)＝2

n－1

n－1

，

n－1

，∴an＝4

2

.

∴数列{an}是以a1＝1为首项，以4为公比的等比数列． ∴a＋a＋…＋an＝1n答案 (4－1)

3

9．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列?

项和Sn＝________.

??bnbn＋1?

21

22

2

－41－4

n1n＝(4－1)． 3

1?

?的前n 2

解析 设等比数列{an}的公比为q，则＝q＝27，解得q＝3.所以an＝a1q＝3，故bn＝log3an＝n， 所以

1

na4a1

3n－1

＝3×3

n－1

bnbn＋1n＝

1n＋11＝－. nn＋1

111111n则Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 223nn＋1n＋1n＋1答案

nn＋1

x4?1??2??10?10．设f(x)＝x，利用倒序相加法，可求得f??＋f??＋…＋f??的值为________． 4＋2?11??11??11?

4x14x22×4x1＋x2＋x1＋4x2

解析 当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝＋＝＝

4x1＋24x2＋24x1＋x2＋x1＋4x2＋41.

?1??2??10?倒序相加有2S＝?f?1?＋f?10??＋?f?2?＋f?9??＋…

设S＝f??＋f??＋…＋f??，??11??11????11??11??

?11??11??11??????????????10??1?＋f??＋f??＝10，即S＝5. ?11??11?

答案 5 三、解答题

11．等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2

＝64，b3S3＝960.

(1)求an与bn； 111(2)求＋＋…＋.

S1S2Sn解 (1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝q??S2b2＝

依题意有?

??S3b3＝

n－1

.

＋dq＝64，

2

＋3dq＝960，

??d＝2，

解得?

??q＝8

??

或?40

q＝.??3

d＝－，6

5

(舍去)

故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8

n－1

.

(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)， 111111所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋

S1S2Sn1×32×43×5n

1

n＋

3

＝1?2??1－13＋1111

112－4＋3－5＋…＋n－n＋2???

＝1?2??1＋1

2－1n＋1－1n＋2???

＝32n＋34

－n＋n＋

. 12．已知数列{a}的前n项和为S＝1

nn，且a1＝1，an＋12Sn(n＝1,2,3，…)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设b3

?1?n＝log2(3an＋1)时，求数列?

?b?的前n项和Tn. nbn＋1?

??an＋1

＝1

2

Sn，解 (1)由已知得?

??an＝1

2Sn－1

n，

得到a3

n＋1＝2

an(n≥2)．

∴数列{a3

n}是以a2为首项，以2为公比的等比数列．

又a111

2＝2S1＝2a1＝2

，

∴a＝a?3?2?n－21?

?32×??＝2??2??n－2

n?(n≥2)．

?1，n＝1，又a＝1不适合上式，∴a?

1n＝??1??2?3?2??n－2

?，n≥2.

(2)b＝log33n?3?3?n－1?

2(3an＋1)＝log2??2·??2????＝n.

∴

1

b＝1＋n＝1n－1

nbn＋1n1＋n. ∴T1＋1

＋1n＝

b＋…＋1

1b2b2b3b3b4bnbn＋1

＝??11?1－2???＋??11?2－3???＋??111?3－4???＋…＋??1

?n－1＋n??? ＝1－1n1＋n＝n＋1

. 13．设数列{an}满足a1＋3a2

n－1

2＋3a3＋…＋3a＝nn3

，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项；

4

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