对数指数函数优质讲义

分模块讲了高中 对数和指数非常常见的题型及解法

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讲义编号

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4. 重要公式： log a 1 = 0 , log a a = 1 。对数恒等式 a5. 对数的运算法则

log a N

=N。

如果 a > 0, a ≠ 1, N > 0, M > 0 ,有log a ( MN ) = log a M + log a Nlog a M = log a M log a N N m log a M n

log a n M m =

6. 对数换底公式：

log a N =

log m N log m a

( a > 0 ,a ≠ 1 ,m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 。

7. 两个常用的推论：

① log a b log b a = 1 , log a b log b c log c a = 1 。log a m b n = n log a b m ( a,b > 0 且均不为 1) 。

②

8. 对数函数的性质： a>1 0<a<1

y图 象

yx

o

1

o

1

x

(1)定义域： 0,+∞) ( (2)值域：R 性 质 (4) x ∈ (0,1) 时 y < 0x ∈ (1,+∞ ) 时 y > 0

(3)过点(1,0) ,即当 x = 1 时， y = 0 (4) x ∈ (0,1) 时x ∈ (1,+∞ ) 时 y < 0 y>0

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(5)在(0,+∞)上是增 在(0,+∞)上是减函数 函数 (6)y 轴为渐近线

9. 指数不等式与对数不等式的类型： (1)af(x)>b 讨论 a 是否大于 1 (2)af(x)

>ag

(x) )

讨论 a 是否大于 1。新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 王kc新王oc王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新

(3)af(x)>bg(x) f(x)logma>g(x)logmb (取对数法 m>1) (4)logaf(x)>logbg(x) logaf(x)>logag(x)/logab(换底法)

0:热身训练 Part 0:热身训练 @ -@ 1. 指数函数必过定点_____________,对数函数必过定点___________. 2.函数 f

(x)=|log2x|的图象是y 1 O 1 x y 1 -1 O 1 x

Ay 1 O 1 x

By 1 O 1 x

C3. 函数 y = log a

D

2x + 1 (a 0, a ≠ 1) 的图象过定点 P,则 P 的坐标为___________ x 1

4. (1) (lg 2)2 + lg 2 lg 50 + lg 25 ;

(2) (log 3 2 + log 9 2) (log 4 3 + log 8 3)

,则函数 y=f[log 1 (3-x) ]的定义域是__________. 5. 已知 f(x)的定义域为[0,1]2

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.已知 1<m<n,令 a=(lognm) ,b=lognm ,c=logn(lognm) ,则 A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b

2

2

Part 1: 定义域 & 值域 例 1 求下列函数的定义域、值域： (1) y = log 1 ( x 2 + 4 x + 5) ;3

(2) y = log a ( x 2 x) (0 < a < 1)(3) y =

lg x + lg(5 3x) 的定义域为_______;1 x 3

(4) y = 2 巩固练习： 巩固练习：

的值域为_________;

1. 函数 f ( x) = lg( x 2) 的定义域是___________________.2. 函数 f ( x) = lg(2 x 2 ) 的定义域是___________________. 3. 函数 f ( x) = lg

x 2 的定义域是___________________. 1 x

4. 函数 y = log 1 ( x 2 1) 的定义域是___________________.2

5. 函数 y = lg( x 2 ax + 1) 的定义域为 R ,则实数 a 的取值范围是_____________. 6. 函数 y = lg(ax 2 ax + 1) 的定义域为 R ,则实数 a 的取值范围是_____________.

Part 2: 单调性质 例 2、求函数 y= log 1 ( x 2 2 x 3 )的单调减区间2

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例 3、 若函数 y = log 2 ( x 2 ax a ) 在区间 ( ∞,1 3) 上是增函数， a 的取值范围________________ 则

例 4、若函数 y = log 2 ( x 2 (m + 1) x + 3) 的值域为 R,求 m 的取值范围。

例 5、已知 y= log a (2- a x )在[0,1]上是 x 的减函数，求 a 的取值范围。

巩固练习： 巩固练习： 1 不等式 log2(3 x) ≤ 1 的解集是___________________.2. y = lg( x 2 + x) 的递增区间为 ___________ ,值域为 ___________ . 3.已知 y=loga(3-ax)在[0,2]上是 x 的减函数，求 a 的取值范围. 4.若函数 f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍，则 a 等于( A.2 4

)

B.

2 2

C.

1 4

D.

1 2

Part 3: 大？小？ 例 1. log 0.1 0.4log 1 0.42

log 3 0.4

lg 0.4

例2. 求函数 y = log 2 x 2 log 2 x 2 + 6 在 x ∈ [1,4] 上的最大和最小值。2

例 3. 若 log a (a + 2) > log a (a + 1) ,求 a 的取值范围。

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1 1 的大小关系为___________________ 例 4. 已知 f ( x) = lg x , 则f( ),f( ),f(2) 4 3

例 5.若抛物线 y = x 2 log 2 a + 2 x log a 2 + 8 的图象在 x 轴上方，求实数 a 的取值范围。

巩固练习： 巩固练习：1. 不

等式 log 1 ( x 2 3x) ≤ 1 的解集是___________________.2

2.

若 log a 2 < log b 2 < 0 ,则 A. 0 < a < b < 1

(

) C. a > b > 1 D. b > a > 1

B. 0 < b < a < 1

3.

log a

3 <1,则 a 的取值范围是______________. 5

4. 若 log a (a 2 + 1) < log a 2a < 0 ,求 a 的取值范围。

5.函数 y = log a x ,当 log a ( x 2 x + 1) ≤ log a

3 成立时， a 的取值范围是_________. 4

6.求函数 y = log 2 x 2 log 2 x 2 + 6 在 x ∈ [1, a ] 上的最大和最小值。2

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Part 3: 图像 @-@ 例题 6. 如图，指出函数①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx 的图象，则 a,b,c,d 的大小关系是 A. a<b<1<c<d C. 1<a<b<c<d B. b<a<1<d<c D. a<b<1<d<c

例题 7. 如图是对数函数 y=logax 的图象，已知 a 取值 3 ,4/3,3/5,1/10,则相应于①,②,③, ④的 a 值依次是

课堂练习： 课堂练习：1. log 2 1 x 2

1 ≤ 0 ,则 x ∈ ________ 4

2.函数 f ( x) = log a x(2 ≤ x ≤ π ) 的最大值比最小值大 1 ,则 a ∈ __________ 3.若 log a (a 2 + 1) < log a 2a < 0 ,则 a 的取值范围是 ( ) 1 1 (A) (0,1) (B) (0, ) (C) ( ,1) (D) (1,+∞) 2 2 4.若 log a 2 < log b 2 < 0 ,则

(

)

(A) 0 < a < b < 1

(B) 0 < b < a < 1

(C ) a > b > 1

(D) b > a > 1 ( )

5.函数 y = log 2 ax 1 (a ≠ 0) 图象的对称轴为 x = 2 ,则 a 为

(A )

1 2

(B)

1 2

(C ) 2

(D ) 2

6. x ∈ (1,2] 时，不等式 ( x 1) 2 ≤ log a x 恒成立，则 a 的取值范围是

(

)

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(A) (0,1)

(B) (1,2)

(C) (1,2]

1 (D) ,2 2 )

7.已知函数 y = 4 x 3 2 x + 3 的值域为 [1,7] ,则 x 的范围是 ( (A) [2,4] (B) ( ∞,0) (C) (0,1) ∪ [2,4] (D) ( ∞,0] ∪ [1,2] 1 x 1 , 若f ( a ) = , 则f ( a ) = ( ) 8.已知函数 f ( x) = lg 1+ x 2 1 1 A. B.- C.2 D.-2 2 2a ,则 a = _________ 2 10.函数 f ( x) = lg(2 x b) ( b 为常数) ,若 x ∈ [1,+∞ ) 时， f ( x) ≥ 0 恒成立，则( ( A) b ≤ 1 (B) b < 1 (C ) b ≥ 1 (D ) b = 1 9.函数 y = log a x(a > 0, a ≠ 1) 在 [1,2] 上最大值比最小值大

)

11.已知 f ( x) = 1 + log x 3 , g ( x) = 2 log x 2 ,其中 x > 0, x ≠ 1 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小关系。

12.求 y = log a (a a x )

(a > 0, a ≠ 1) 的定义域。

x x 13.设集合 A = x 2(log 1 x) 2 14 log 4 x + 3 ≤ 0 ,若函数 f ( x) = log a a log a a 2 ,其中 a > 0, a ≠ 1 ,当 x ∈ A 2 1 时，其值域为 B = y ≤ y ≤ 2 ,求实数 a 的值。 4

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课后练习 1.log8 9 的值是 log 2 3 A.

(

)

2 3 C. B.1 D.2 3 2 2.若 log2 [log 1 (log 2 x)] = log 3 [log 1 (log 3 y )] = log 5 [log 1 (log 5 z )] =0,则 x、y、z 的大小关系是2 3 5

(

)

A.z<x<y

B.x<y<z

C.y<z<x

D.z<y<x

3.已知 x= 2 +1,则 log4(x3-x-6)等于 A. 3 2 B. 5 4 lg 12 等于 lg 15 C.0 D. 1 2

(

)

4.已知 lg2=a,lg3=b,则 A. 2a + b 1+ a + b

(2a + b 1 a + b

)

B.

a + 2b 1+ a + by

C.

D.

a + 2b 1 a + b

5.已知 2 lg(x-2y)=lgx+lgy,则 x 的值为 A.1 B.4 6.函数 y= log 1 (2 x 1) 的定义域为2

(D.4 或 ( )

)

C .1 或 4

1 1 ,+∞) B. 1,+∞ ) C.( [ ,1 ] D.(-∞,1) 2 2 7.已知函数 y=log 1 (ax2+2x+1)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是 ( A.(2

)D. 0 ≤ a ≤ 1 )

A. a > 1 B.0≤a< 1 8.已知 f(ex)=x,则 f(5)等于 A.e5 B.5e

C .0 <a <1

( C.ln5 D.log5e (

9.设集合 A = {x | x 2 1 > 0}, B = {x | log 2 x > 0 |}, 则A ∩ B 等于 A. {x | x > 1} B. {x | x > 0} C. {x | x < 1}

)

D. {x | x < 1或x > 1}

10.若 y = log 2 ( x 2 ax a ) 在区间 ( ∞,1 3) 上是增函数，则 a 的取值范围是(

)

A. [2 2 3, 2]

B. 2 2 3, 2

)

C. 2 2 3, 2

(

D. 2 2 3, 2

(

). .

11.计算：log2.56.25+lg

1 +ln e + 21+log 2 3 = 100

12.已知 m>1,试比较(lgm)0.9 与(lgm)0.8 的大小

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13.函数 y =(log 1 x) -log 1 x +5 在 2≤x≤4 时的值域为_____4 4

2

2

_

.

三、解答题： 14.已知 y=loga(2-ax)在区间{0,1}上是 x 的减函数，求 a 的取值范围.

15.已知函数 f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围.

16.已知 f(x)=x2+(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,当 x∈R 时 f(x)≥2x 恒成立，求实数 a 的值，并求此时 f(x)的最小值？

17.设 0<x<1,a>0 且 a≠1,试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.

18.已知函数 f ( x) = 2 x

1 . 2| x|

(1)若 f ( x) = 2 ,求 x 的值； (2)若 2t f (2t ) + mf (t ) ≥ 0 对于 t ∈ [1, 恒成立，求实数 m 的取值范围. 2]

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19.若 f(x)=x2-x+b,且 f(log2a)=b,log2[f(a) ]=2(a≠1). (1)求 f(log2x)的最小值及对应的 x 值； (2)x 取何值时，f(log2x)>f(1)且 log2[f(x) ]<f(1)?

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