周世勋量子力学教案5

§5.1 非简并定态微扰理论

如何分？假设 把微扰

本征值及本征函数较容易解出或已有现成解， 是小量能看成微扰，在已知解的基础上，

的影响逐级考虑进去。

代入方程

同次幂相等

（

（1）

(2)

(3)

① 求能量的一级修正

(2)式左乘

并对整个空间积分

1

能量的一级修正 等于 在

态中的平均值。

②求对波函数一级修正

将

仍是方程 (2) 的解，选取 a 使展开式不含

将上时代入式 (2)

左乘上式，对整个空间积分

以

令

上式化简为：

2

③求能量二级修正

把 代入(3)式，

左乘方程（3）式，对整个空间积分

左边为零

讨论：（1）微扰论成立的条件：

(a) 可分成 ，

是问题主要部分，精确解已知或易求

(b)

（2）可以证明

<<1

例：一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场

作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。

【解】

3

是 的偶函数

利用递推公式

波函数的一级修正

4

利用能级移动可以直接准确求出

令：

§5.2 简并情况下的微扰理论

是简并的

假设

k 度简并

已正交归一化

代入上式

5

以

左乘上式两边，对整个空间积分

左边

右边

不全为零解的条件是

由久期方程可得到能量一级修正 的k个根

由于 具有某种对称性，因此不考虑 时，能级是k度简并的,考虑 后,哈密顿量的对称性破坏，使

能级的简并度降低或完全消除。

要确定 ，需求出 ，将 代入上式，可求出

。

6

§5.3 氢原子的一级斯塔克效应

斯塔克（stark）效应：氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象。

(

是均匀的，沿z轴)

下面研究n=2时的能级分裂现象： n=2,有4个简并度

求

矩阵元才不为零

只有两个态角量子数差 , 时,

和 不为零

为实的厄密算符

7

带入久期方程

没有外电场时，原来简并的能及在一级修正中分裂为三个，兼并部分消除

① 当 时

8

② 当 时

③ 当 时， 和

为不同时为零的常数。

§5.4 变分法

应用微扰论

应很小，否则微扰论不能应用，本节所介绍的变分法不受上述条件限制。

对任意一个归一波函数

能量平均值

9

即

用任意波函数 时，

算出 的平均值总是大于体系基态能量，而只有当 。

恰好是体系的基态波函数

的平均值才等于

变分法求基态能量的步骤：

（1）.选取含有参量 的尝试波函数

。

根据具体问题的特点，选数学形式上较简单，物理上也较合理的试探波函数。

（2）.算出平均能量 ，然后由 ，求出 的最小值，所得结果就是

近似值。

例：设氢原子的基态试探解取为 确解比较。

，N 为归一化常数， 为变分参数，求基态能量并与精

【解】 由归一化条件

10

由

得：

严格解为

§5.5 氦原子基态

氦原子：原子核带正电2e，核外两个电子

核固定

将z看作参量

11

实验 微扰论 变分法

§5.6 与时间有关的微扰论

一般形式的薛定谔方程

与时间有关

如 有分离的能量本征值

通过分离变量

对任意一态

12

设在t=0时刻，体系处于能量的某个本征态

即 即

如果t>0时，

（不含时间）

则体系一直保持

）状态将发生变化，这时

如t>0时，哈密顿量加上一微扰，（通常是含时间的

将不再是 能量本征态

。

能量本征态为

求

？

出现的几率，也就是原来 状态跃迁到 的跃迁几率。考虑 后，如何

将

代入方程

利用

13

上式简化为

以

左乘上式，对整个空间积分

上式是薛定谔方程在

能量表象中的形式

零阶:

一阶:

14

考虑到一级修正

几率：

讨论：（1）利用 的厄密性,

在一级近似下,

（2）对简并情况下，不能由此得出从能级

的跃迁几率。

的跃迁几率等于从能级 的几率。计算

如

有简并

如初态有简并

即对末态求和，初态求平均。

§5.7 跃迁几率

一． 常微扰

t=0, 状态为 ， ，

与时间无关。

15

利用

性质:

x=0

令：

再利用

16

跃迁速率

讨论：（1）对常微扰，当作用时间相当长情况下，跃迁几率与时间无关。

（2）只在末态能量 的范围中才有显著跃迁几率，可看出只有当

表示

连续变化时才有意义。用

表示体系末态的态密度，则

范围的末态数目。

因此从初态到末态跃迁几率是各种可能跃迁几率之和

（黄金规则）

末态是自由粒子动量的本征函数时的态密度：

箱归一化

17

每一组

的值确定一个态

动量在

范围内态的数目

不变 ，

不变

为能量为

二． 周期性微扰

（或动量为

）单位立体角的态密度。

在光的照射下，原子可能吸收光子而从低能级跃迁到较高能级或从较高能级跃迁到较低能级而放出光子。这种现象分别称为光的吸收与受激辐射。

光为电磁场，场强是周期变化的，原子在光的照射下，实际上是受到一周期性微扰。

体系在t=0时,受

与时间无关

本征函数:

18

讨论：当

,

即第二项正比于时间t，第一项不随时间增加，因此 项

，第一项起主要作用。

第二项起主要作用。同样 时，第一

时，跃迁几率很小，因此只有

时，体系才能从

或 态跃迁到

时，才能出现明显跃迁。也就是

态，体系吸收或发射的能量是

，

说，只有当外界微扰含有频率 这是共振现象 。

时，利用

令

19

讨论：

函数是能量守恒条件的体现。

当 的光子。

，只有 时，跃迁几率才不为零，即体系由 态跃迁到 态，发射出能量

当 时 跃迁几率不为零，体系吸收能量 ，由 态跃迁到

态。

能量时间测不准关系

确定，

不确定

t测量时间间隔

一般情况:

。

§5.8 光的发射与吸收

光的吸收

自发跃迁

不受外界影响，

20

受激辐射

在外界作用下

当无外界作用时，原子中的电子处于定态按量子力学的观点它应永远处在这个定态，不可能自发跃迁至较低能级并辐射出光子。而要想达到辐射平衡必须有自发跃迁，只因为我们把光子看成了经典的电磁场，只有用量子电动力学才能彻底解释这一现象。 一． 自发辐射和爱因斯坦理论

爱因斯坦建立了一套理论，他先假设同时存在自发辐射和受激辐射，当体系和辐射场达到热平衡后，用平衡条件来建立自发辐射与受激辐射之间的关系，利用量子力学含时微扰论求出受激辐射系数，再利用平衡条件给出原子体系的自发辐射系数。 三个系数：

, 的自发发射系数，单位时间内由

的几率。

, 受激发射系数， 度。

为单位时间由 的跃迁几率， 为外加电磁场的能量密

吸收系数， 为单位时间原子由

的跃迁几率。

单位时间 的几率，

单位时间 的几率，

对多个原子的体系，

当这些原子与电磁辐射在绝对温度T下处于平衡时,

由麦克斯韦－玻尔兹曼分布律,

K: 玻尔兹曼常数

21

由热平衡时，黑体辐射时的普朗克公式

其中

比较上式两边：

由麦克斯韦－玻尔兹曼分布律可知

而

, 如果没有自发辐射，不可能达到热平衡。

二． 用微扰论计算发射和吸收系数

22

这里我们把光波看成经典理论中的电磁波

因此只考虑电场对电子的作用， 1. 沿 轴传播的平面单色偏振光

( 米，

米)

单位时间内原子由 态跃迁到

态的几率

光波的能量密度

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2实际光源

连续分布，各向同性

， 对光的频率分布范围积分

原子在单位时间内由

的几率

再考虑各向同性，对所有偏振方向求平均

§5.9

禁戒跃迁

选择定则

24

（1）

利用

不为零的条件： ，

(2)

不同时为零的条件:

最后的出不为零的条件

,

(选择定则)

第五章 小结

内容总结】 微扰论

1． 微扰论的基本思想:

25

将复杂的体系的哈密顿量 分成 与 两部分。 是可求出精确解的，而 可看成 的微扰。只

时，

需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代，逐级逼近，就可得到接近问题真实的近似解。确定 先确定

，再用

确定

。

2． 定态微扰 （1） 非简并

条件

（2） 简并 兼并情况的不同之处是，若按微扰论的基本特点，仍让的精确解作为定态解的零级近似的话，那么需先要解决的问题是如何从个简并态中挑选出正确的零级近似波函数，正确的零级近似波函数应是使 化的基矢。

对角化后对角上的元素为对能量的一级修正。为此令

对角

久期方程

求出能量一级修正

，将每个

解代入方程

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可求出每个解对应的零级近似波函数

注意： （i） 简并非简并的区别是对我们所考虑的能及来说的，与其他能级是否兼并无关。

（ii） 新的零级近似的波函数是彼此正交的

。

（iii） 在以新的正确地零级近似波函数

为基矢的之空间

即 、 与

在该空间都是对角化的

3． 含时微扰 （1） 物理图象

(不含时)

的作用是使体系由原来的一定态 ，跃迁到了一系列的可能态 ，体系由 跃迁到 态的几率为

（2） 跃迁几率

（a） 常微扰

只有在

的很小范围才有明显的跃迁，态密度

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(b)周期性微扰

表明了跃迁过程必须遵守能量守恒。

4． 光的发射与吸收，爱因斯坦几率系数

用量子力学处理原子体系，用经典电磁理论处理光波，把光的吸收与发射问题（光子的产生与湮灭）转换成在电磁场作用下原子在不同能级间的跃迁问题。 三个系数

：自发发射系数， ：受激发射系数，

：吸收系数

5． 选择定则

，

二．变分法： 不受微扰论条件的限制处理基态问题比较方便

基本思路：引入试探波函数 求 求极值 ，得

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