途径提高高考数学复习效率的若干

途径提高高考数学复习效率的若干

提高高考数学复习效率的若干途径

浙江省杭州高级中学 周顺钿

如何提高高三数学复习的效率，是高三数学复习研讨的一个重要话题。

一、题组串联，提高概念复习的容量

在进行高三数学复习教学时，前面二年的学习已使学生积累了大量的数学概念、定理、解题方法、数学思想等，这些知识象珍珠般散落在学生的脑海中，需要在高三复习时引导学生将这些知识“联珠成线”，“织线成网”。

以函数的奇偶性为例，它涉及函数的定义域、对应法则、图象特征等，内涵丰富，概念性强，若能以题组的形式予以串联，可大大提高复习效率。

1、奇偶函数的定义域必须关于原点中心对称

（1）判断函数的奇偶性，须优先考虑定义域

例1、判断下列函数的奇偶性

①f x x,x 0, ； 2

②f x x,x 1,1 ；

③f x

1 x ④f

x ⑤f

x

（2）已知函数的奇偶性，求参变量的值

1bb a,x 2 2,4x 为奇函数，求a,b的值。 2 1

1 ax例3、设a,b R，且a 2，定义在区间 b,b 内的函数f x lg是奇函数。 1 2x例2、已知函数f x

①求b的取值范围；②讨论函数f x 的单调性。（2003年安徽春季高考）

2、活用奇偶函数的对应法则

（1）奇偶函数的分拆

例4、函数f x ax bx c为奇函数的充要条件是 2

件是 。

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一般地，定义域关于原点对称的函数f x 一定可以表示为一个奇函数g x 与一个偶函数h x 之和，则g x ；h x 。

应用：

① 定义在 , 上的任意函数都可以表示成一个奇函数g x 和一个偶函数h x

x之和，如果f x lg10 1,x , ，那么（ ）

x xA、g x x,h x lg10 10 2；

11 lg 10x 1 x ,h x lg 10x 1 x ； 2 2

xxxC、g x ,h x lg 10 1 ； 22

xxxD、g x ,h x lg 10 1 ；（全国高考） 22B、g x

2②已知f x ax bx 3a b,x a 1,2a 是偶函数，则a b 。

③若函数f x sin

x x 为奇函数，求 的值。若为偶函数呢？ ④已知f x ax bx cx x，且f 2 3，求f 2 的值。 532

（2）抽象函数的奇偶性

例5、设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是（ ）

(A)f(x)f( x)是奇函数 (B)f(x)f( x)是奇函数

(C) f(x) f( x)是偶函数 (D) f(x) f( x)是偶函数（2006年辽宁高考） 例6、已知函数y f 2x 1 是定义在R上的奇函数，函数y g x 的图象与函数 y f x 的图象关于直线y x对称，则g x g x 的值为（ ）

A、2 B、1 C、0 D、不能确定

3、奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称 例7、定义在R上的奇函数f x ，当x 0时，f x x 1。

①求f x 的表达式；②解不等式f x 0；③解不等式f x

④求f x 1 的表达式；⑤解不等式x f x 1 0。

注：特别地，当x 0时，f x 0。 1； 2

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例8、已知f x 是定义在 6,6 上的奇函数，且在 0,3 上为一次函数，在 3,6 上为 二次函数，并且当x 3,6 时，f x f 5 3,f 6 2，求f x 的解析式。

4、奇偶函数的性质

（1）奇偶函数的和差积商的奇偶性

例9、设f x ,g x 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x 0时，

f x g x f x g x 0，且g 3 0，则不等式f x g x 0的解集是（ ）

A、 3,0 3, B、 3,0 0,3

C、 , 3 3, D、 , 3 0,3

（2）奇偶函数的复合函数的奇偶性

例10、定义在 2,2 上的偶函数f x 在 0,2 上为减函数，试解不等式

f m f 1 m 。 评注：若分类讨论去做，较繁！若用偶函数性质f x f x ，则立得

2 m m，从而避开分类讨论。

5、关于奇偶函数的综合问题

例11、已知f x 在 1,1 上有定义，f 1，且满足x,y 1,1 有 1

2

x y 2xn1，对数列。 x ,x f x f y f 1n 1 221 xn 1 xy ①证明：f x 在 1,1 上为奇函数；

②求f xn 的表达式；

③是否存在自然数m，使得对于任意n N，有 111m 8 fx1fx2fxn4成立？若存在，求出m的最小值。（2005年湖北省八校联考）

引申：你能求出通项xn的表达式吗？

6、奇偶函数对称性的推广

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①若函数f x 满足f x f x （偶函数），则f x 的图像关于直线x 0（y轴）对称；

若函数f x 满足f a x f a x ，则f x 的图像关于直线x a对称；

若函数f x 满足f a x f b x ，则f x 的图像关于直线x a b对称。 2

②若函数f x 满足f x f x 0（奇函数），则f x 的图像关于原点 0,0 对称； 若函数f x 满足f a x f a x 0，则f x 的图像关于点 a,0 对称； 若函数f x 满足f a x f a x 2b，则f x 的图像关于点 a,b 对称；

③若函数f x 的图像有两条对称轴x a,x b a b ，则f x 是周期函数，且T 2a b是它的一个周期；

若函数f x 的图像有两个对称中心 a,0 , b,0 a b ，则f x 是周期函数，且T 2a b是它的一个周期；

若函数f x 的图像有一条对称轴x a，一个对称中心 b,0 a b ，则f x 是周期函数，且T 4a b是它的一个周期；

例12、例6、已知f x 是定义在 , 上的增函数，g x f x f a x ①用函数单调性的定义证明函数y g x 是 , 上的增函数；

②当a=0时，试解不等式g 1 g 2 0； m

③若a=2，（i）请指出函数y g x 图像的对称中心点的坐标（无须证明）；（ii）试求满足g 1 g 2 的m的取值范围。 m

在高考复习中，要重视对概念、法则、性质、公式、公理、定理等基础知识的全面梳理与回顾，弄清各知识的内部结构和内在联系。

二、精选范例，通过引申、拓展、探究，提高复习的深广度

“问渠哪得清如许，为有源头活水来”。纵观近三年的高考，数学试题越来越“朴素”，既没有艰深的知识，也没有冷僻的技巧，许多题目取材于课本，由若干基础知识经组合、加工、改造而成，因此，在高三复习时要排除各种复习资料的干扰，抓住主干知识强化复习，

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精选范例，通过引申、拓展、探究，做到解一题通一片，跳出题海，提高效率。

以下例题取材于人教社高中数学第一册（上）第三章《数列》。

1、探究逆命题

我们知道，等差数列的前n项和的公式有三种形式：Sn n a1 an 2

na1 n n 1 d＝An2 Bn。引导学生逆向探究 2

2探究1：若数列 an 的前n项和Sn An Bn，问数列 an 是不是等差数列？

分析：当n 2时，an Sn Sn 1 A 2n 1 B，

；又a1 S1 A B，知a2 a1 2A也适合。 an 1 an 2A（常数）

故数列 an 是等差数列。

探究2：若数列 an 的前n项和Sn n a1 an ，问数列 an 是不是等差数列？ 2

分析1：由an Sn Sn 1 n a1 an n 1 a1 an 1 得 22

n 2 an n 1 an 1 a1 0，因而 n 3 an 1 n 2 an 2 a1 0，

相减得an 2an 1 an 2 0，变形并递推，有

，故 an 是等差数列。 an an 1 an 1 an 2 a2 a1（常数）

分析2：由 n 2 an n 1 an 1 a1 0得

n 2 an a1 n 1 an 1 a1 ，变形并递推，有

an a1an 1 a1a a1，易知数列 an 是等差数列。 2n 1 1n 12 1

评注：探究2是1994年全国高考文科试题，有较强的抽象度，较难找到问题的突破口，与2005年江苏省高考题有异曲同工之妙。

2005年江苏省高考题：设数列 an 的前n项和为Sn，已知a1 1,a2 6,a3 11，且

(5n 8)Sn 1 (5n 2)Sn An B,n 1,2,3, ，其中A.B⑴求A与B的值；

⑵证明：数列 an 为等差数列；

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⑶证明：不等式amn aman 1对任何正整数m,n

2、探寻最优解

P117例4：已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？

教材突出基本量思想，采用第二个求和公式解答，复习时鼓励学生尝试一题多解。 方法1 设Sn An2 Bn，则

解得A 3,B 1。

评注：公式3比公式2简洁，因此运算也更简便。受公式3启发，有

方法2 令bn 100A 10B 310 400A 20B 1220Sn An B，则数列 bn 仍为等差数列，结合公差的两点式n

d bm bnb b10bn b10 ，有20，在这里，除bn外，其余都是已知的，一步到位，直m n20 10n 10

接得到了答案。

进一步探寻更一般的规律，可以得到

（1）若Sn是等差数列前n项和，则点 n,

Sn

n 在同一直线上。

Sp/p Sq/qp n（2）若Sp,Sq,Sn满足 ，则Sn/n 。 1 n q

数学探究性问题在培养思维的灵活性和发散性方面有其独特的作用，可以使学生对数学的本质产生一种新的领悟，使学生的认知结构得到有效的发展。

3、归纳、引申、拓展

P125第11题：已知a,b是互异的正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的等比中项，A与G有无确定的大小关系？

P136第9题：（1）在a与b中间插入10个数，使这12个数成等差数列，求这个数列的第6项；

（2）已知b a 0，在a与b中间插入10个数，使这12个数成等比数列，求这个数列的第10项。

如将上述两个问题并联，并进行推广，可以得到

已知b a 0，在a与b中间插入n个正数ai i 1,2, ,n ，使这n 2个数成等差数列；再在a与b中间插入n个正数bi(i 1,2, ,n)，使这n 2个数成等比数列。试比较这两个数列的对应项ai与bi的大小。

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分析：容易求得ai a id，d b ab；bi aqi，q n 1。 n 1a

qn 1 1qi 1 aqn 1 aiai bi a i aq＝ia n 1 i ， n 1

qk 1kqk q 1 qk 1令f k ，则f k 1 f k kkk 1 q 1kqk 1 q q2 qk 1 kk 1

q 1qk 1 qk q qk qk 1 0 kk 1

从而知f k 为自然数集上的增函数，由不等式的传递性有

f n 1 f n f i f 1 ，故ai bi。

事实上，在直角坐标平面内，点E i,ai 落在A 1,a 与B n 2,b 的连线上，点F i,bi 落在经过点A,B的指数型函数的图像上，因为指数型函数的图像是下凸的，故点E必在点F的上方，即ai bi。

这样的材料还有很多，如P115第10题、P125第10题要求学生拓展等差（比）中项的概念，进一步还可以引导学生拓展为：已知 an 是等差（比）数列，若m n l k，则

。 am an al ak（或aman alak）

又如P114第3题：已知一个无穷等差数列的首项为a1，公差为d，

（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

（3）取出数列中所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

这实际上是等差数列的一组性质，它以探究的形式要求学生自己去得到结论。由后两小题还可得到更一般结论：取出等差数列中的所有等距项，组成一个新的数列，则这个新数列仍是等差数列。

4、推广一般问题

P110第3题，写出数列 an 的前5项：a1 1,an 4an 1 1 n 2 。此题可要求学2

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生求出它的通项公式，并进一步归纳为一阶线性递推关系：an 1 pan q p 1,0,q 0 求通项的通法。

数列作为主干知识具有很大的交融性，常与函数、三角、方程、不等式、二项式定理、解析几何等知识综合在一起。尤其是浙江省自主命题的3年，压轴题均为有解析几何背景的递推数列题，因此在复习时应作适当的延伸拓展。

三、关注新教材，提高数学复习的针对性和有效性

根的分布定理是高等数学中数学分析的一个定理：如果连续函数y f x 在闭区间 a,b 上满足f a f b 0，那么方程f x 0在开区间 a,b 上至少有一个实根。上述定理在高等数学中利用极限思想，结合区间套定理进行证明。

1993年全国高考压轴题：

已知关于x的实系数二次方程x ax b 0有两个实根 , 。证明

（1）如果 2,2 2，那么2a 4 b且b 4；

2。 （1）如果2a 4 b且b 4，那么 2,

2004年高考数学广东卷理科21题：

x In（x m），设函数f（x）其中常数m为整数.

0； (1) 当m为何值时,f（x）

(2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),

使g(x0)=0.

-ｍ2ｍ 试用上述定理证明:当整数m>1时,方程f(x)= 0,在[e-m ,e-m ]内有两个实根.

2006年高考数学浙江卷理16题：

设f(x)=3ax 2bx c.若a b c 0,f(0)＞0，f(1)＞0，求证： 2

(Ⅰ)a＞0且-2＜a＜-1； b

(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.

如果函数y f x 在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f a f b 0，那么，函数y f x 在区间 a,b 内有零点，即存在c a,b ，使得

（见人民教育出版社普通高中数学课程标准f c 0，这个c也就是方程f x 0的根。

实验教科书《数学（1）》第96页）。这里没有给出连续函数的定义，但以通俗易懂的图象语言表述了根的存在性定理，降低了定理的抽象程度，是数形结合的典范，必将成为高考命题

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的一个热点，2006年高考数学浙江卷就是一个明确的信号。又如幂函数、算法语言等也是新增的内容，也应引起注意。

希望大家关注新教材，以提高数学复习的针对性和有效性

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/u214.html