《线性代数》样卷A及答案

《线性代数》样卷A

一、选择题（本题共10小题,每小题2分，共20分)

(从下列备选答案中选择一个正确答案) 1、排 列134782695的逆序数为（ ） （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 2、已知D?0?10则D>0的充要条件是（ ）

4aaa11（A）a<2 (B)a>-2 (C)a?2 (D) a?2

3、设A、B为n阶可逆矩阵，??0，则下列命题不正确的是（ ） （A）(A?1)?1?A （B）(?A)?1??A?1 （C）(AB)?1?B?1A?1 （D）(AT)?1?(A?1)T

01??00?相当于对A施行初等变换为（ ） 10???0?001?4、以初等矩阵?010?左乘矩阵A??1????0?100????（A）r2?r3 （B）C2?C3 （C）r1?r3 （D）C1?C3 5、齐次线性方程组Ax?0有非零解的充分必要条件是（ ）

（A）A的行向量组线性无关； （B）A的列向量组线性无关； （C）A的行向量组线性相关； （D）A的列向量组线性相关； 6、已知方程有AX?b,Amxn,m?n，且A的行向量线性无关，则（ ） （A）A的列向量组线性无关 （B）增广矩阵的行向量组线性无关

（C）方程组有唯一解 （D）无法判断增广矩阵到向量组的线性相关性 7、 如果3阶方阵A?(aij)3?3的特征值为?1,??3,??4，那么a11?a22?a33及A分别等于（ ） （A）6，12

（B）-6，12 （C）6，-12 （D）-6，-12

102131?1?18、 关于x的一次多项式f(x)?，则式中一次项的系数为（ ）

x2?54?3?1?11（A）2 （B）—2 （C）5 （D）—5

?1?2?3???，则xTx?（ ） T469、已知x是3维列向量，且xx??2???9???36?（A）1 （B）4 （C）9 （D）14 10、设向量组?1,?2,...,?s的秩为r，则（ ）

（A）必有r

二、填空题（本题共10空，每空2分，共20分） （请将正确答案填入括号内）

1、 四阶行列式展开项中a12a23a34a41的符号是 （填正或负）

62、已知3D?57?7?2233453，则5A21?2A22?12?21?A23?2A24= . 3、设A为三阶可逆矩阵，A?3，则

3A?1? 4、已知向量aT?(1,?1,2)，bT?(7,6,4)，cT?(0,0,0)，则向量组a，b，c线性 （填相关或无关）

?25?5、 ??=

?13??410???6、A??253?的行最简形为：

?020???17、设a,b,c是互不相同的三个数，则行列式a?11bb21c? c2a28、 若向量组?1?(?,1,1),?2?(1,?,1),a3?(1,1,?)线性相关，则?? 9、已知x?(6,?3,2),y?(1,4,?3)，则?x,y?? .

TTTT10、已知??(1,?2,3),??(2,?1,0)，且????与?正交则??

三、计算题（本题共2小题,每小题6分，共12分） （要求写出主要计算步骤及结果）

73?37?3333?1?20?1、计算 2、已知f(x)?x2?2x?1，A??210?，求f(A).

Dn????????002?33?73??33?37

四、综合应用题（本题共4小题，共48分） （要求写出主要计算步骤及结果）

1、（8分）已知向量组?1??1,?2,?3,2?,?2??2,?1,3,1?,?3??5,?7,?6,7?,， （1）求该向量组的秩. （2）求该向量组的一个最大无关组.

（3）将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示. 2、（8分）验证?1?(2,1,?1)T,?2?(3,2,2)T,?3?(?1,0,?2)T为R3的一个基 并求?1?(2,?1,3)T,TTT?2?(?4,0,?2)T在这个基下的坐标。

a3?(1,?,?2)T

3、（14分）设有向量组A:a1?(1,?2,?3)T,a2?(?1,1,2)T,及向量b?(2,?2,?),问?,?取何值时。 （1）向量b不能由A向量组线性表示？

（2）向量b能由A向量组线性表示，且表示式唯一？ （3）向量b能由A向量组线性表示，且表示式不唯一？ 4、（18分）已知二次型

T?=-2x1x2+2x1x3+2x2x3,

（1）写出二次型对应的矩阵A.(3分) （2）求矩阵A的特征值. (3分)

（3）求矩阵A的特征值对应的特征向量(6分) （4）求一个正交变换x?Py,把二次型

?=-2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准型. (6分)

《线性代数》A答案及评分标准

一、选择题（本题共10小题,每小题2分，共20分)

1-5: B D B C D 6-10: B C B D D 二、填空题（本题共10空，每空2分，共20分）

?100?3?5????0101、 负 2、 0 3、 9 4、相关 5、? 6、??? ?12???001??? 7、(b?a)(c?a)(c?b) 8、1或-2 9、—12 10、???

三、计算题（本题共2小题,每小题6分，共12分）

4 573?31、Dn??3333?? 731137333?333?331034003?30?04?0

???0?47??3?3?3337解：

D???(3n?4)?1C1?(3n?4)11C1?Ci??ri?r1(3n?4)03?73i?2,?n?3?370?(3n?4)4n?1 （6分）

?1?20?2、已知f(x)?x2?2x?1，A??210?，求f(A).

???002?????240???3?40?解：2? （2分） ??4?20? （2分）

?2A?A??4?30?????00?4??004?????

??400?? （2分）

???f?A??A2?2A?E??0?40???001???

四、综合应用题（本题共4小题，共48分）（要求写出主要计算步骤及结果） 1、（8分）已知向量组?1??1,?2,?3,2?,?2??2,?1,3,1?,?3??5,?7,?6,7?,， （1）求该向量组的秩. （2）求该向量组的一个最大无关组. （3）将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.

TTT?125??1??r??2?1?70???解： A???33?6???0???217???001003??1? （2分） 0??0?（1）该向量组的秩R(?1,?2,?3)?2， （2分）

（2）该向量组的一个最大无关组为?1,?2 （2分） （3）?3?3?1??2 （2分） 2、（8分）验证?1?(2,1,?1)T,?2?(3,2,2)T,?3?(?1,0,?2)T为R3的一个基 并求?1?(2,?1,3)T,?2?(?4,0,?2)T在这个基下的坐标。

B?(?1,?2)

解：证A?(?1,?2,?3)?23?121??1001?2?????(A,B)??120?10???010?11? （4分）

??12?231??001?33??????A?E即?1,?2,?3为R3,的一个基。 （2分）

且?1??1??2?3?3?2??2?1??2?3?3

即?1,?2在这个基中的坐标分别为(1,?1,?3)和(?2,1,3)（2分）