2009年浙江省普通高校专升本《高等数学一，二》解答

2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》

参考答案及评分标准

一. 选择题(每小题4分,共20分)

1.D , 2.A , 3.B , 4.B , 5.C . 二. 填空题(每小题4分,共40分) 1.

5 , 2.1 , 3.2 , 4.0 , 5.?sin????1?x?c , 4?4?6.0 , 7.af?a? , 8.3 , 9.2 , 10.2 . 三. 计算题(每小题6分,共60分) x?xx1. 解.lime?ex?lime?e?x x?0x?01 ?2. 21?x2?x22.解.y'?1?x1?x2?1 ?3, 1?x2?2故 dy?dx3. ? 1+x2?2d?1?ex3.解.原式=??1?ex ?ln?1?ex??c. dy4.解法1.

dydx?dtdx dt??2tsint2sint2??2t. 解法2.因为dx?sint2dt,dy??2tsint2dt， 故

dydx??2t. 5.解.原式????d?1?x???1?? 1?x?2=arctan?1?x????? =?. 6.解. 由条件推得f'?0??0,f?1??1. 1???f??2?2??f?0??于是limn??nf?2????lim??n???n?n??2 ?2???0?n??（第1页，共3页）

????5分

????6分 ????5分

????6分

????3分

????6分

????3分

????6分

????4分

????6分

????3分 ????5分

????6分

????2分 ????5分

=2f'?0??注：若按下述方法：

12. ????6分

1?f?x??2?f'?x??2 原式?2lim????2lim????2.

x?0x?0?x??1?解答者，只给4分. 7.解法1.分离变量,得到

dy ??cotxdx , ????2分

3?y积分得到ln3?y??lnsinx?c 或 y?csinx?3 ? c ?R? . 代入初值条件y??????0,得到c?3.于是特解为 ?2? y?3sinx?3. 解法2.由y?e??p?x?dx????q?x?e?px?dx?dx?c???, 其中p?x??1tanx,q?x???3tanx，得到

y?csinx?3 ?c?R?. 代入初值条件y??????0,得到c?3.于是特解为 ?2?y?3sinx?3. 8.解.方程两边对x求偏导数,得到

2x?2z?z?x?4?z?x , 故?z?x?x2?z. 9.解.原式?? 2?? 0d?? 2 ?rsinrdr =2?????rcosr2???? 2? ?cosrdr??? =?6?2. a12n?110.解.由limn?1a?n?112n??lim3xnn??1x2n?1?3n3x,可知

收敛半径R?3, 又当x??3时,对应数项级数的一般项为?1,级数均发散,

3 故该级数的收敛域为??3,3?. （第2页，共3页）

????4分

????6分 ????4分

????6分

????4分 ????6分 ????3分

????5分

????6分

????4分

????6分

四. 综合题(第1小题14分,第2小题8分, 第3小题8分，共30分) 1.解.定义域???,0???0,???, y'??x?23xx 令y'?0得驻点x1??2, ????5分 ,,y\?2?x?3?4,

令y\?0得,x2??3, ????6分 x y' y\ y ???,?3? ? ? ?3 ??3,?2? ? ?2 ??2,0? ? ? 0 ?0,??? ? 0 ?290 ? ?14? ????10分 函数的单调增加区间为??2,0?,单调减少区间为???,?2?及?0,???, 在x??2处,有极小值?14.

其图形的凹区间为???,?2?及?0,???,凸区间为???,?3?. ????14分 2.证明.由于f?x?不恒等于x,故存在x0??0,1?,使得f?x0??x0. ????2分 如果f?x0??x0,根据拉格朗日定理,存在???0,x0?,使得 f'????f?x0??f?0?x0?0?x0x?1， ????5分

若f?x0??x0,根据拉格朗日定理,存在???x0,1?,使得 f'????f?1??f1?x0?x0??1?x01?x0?1. ????8分

注：在“??2分”后，即写“利用微分中值定理可证得，必存在?，使得f'????1”者共得3分.

3.解.P点处该曲线的切线方程为y?x?2,

且与x轴的交于点A??2,0? ????2分 曲线与x轴的交点B??1,0?和C?2,0?,因此区域由直线PA和AB及曲线弧

?所围成. ????4分 PB该区域绕x旋转生成的旋转体的体积

028292?. ????8分 V???????x?x?2?dx? ?1330?所围成??，从而 注：若计算由直线PA与AC及曲线弧PCV?83???? 2 0??x?x?2?dx?2213615?

者得6分.

（第3页，共3页）

2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》

参考答案及评分标准

一.选择题 (每小题4分,共20分)

1.D, 2.B, 3.C, 4.A, 5.D. 二.填空题(每小题4分,共40分) 1.k, 2.1, 3.6.2xln2, 7.?sin?12, 4.2, 5.0,

??2?1?x?c, 8.0, 9.af?a?, 10.?x?c?sinx. ?4?三.计算题(每小题6分,共60分) x?x1.解.原式=lime?e2x x?0=limex?e?x2?1. x?02.解.由条件推得f'?0??0,f?1??1， 1???2?2?f???f?于是limn??nf?2????lim??n?0??? ?n?n??2?2??0??n?? =2f'?0??2. 注：若按下述方法：

11?f?x??22 原式?2lim2lim?f'?x??x?0???x???????2.

x?0?1?解答者，只给4分.

1?x2?x2?x23.解. y'?111?x2??3， 1?x2?2 dy?dx3. ? 1+x2?24.解.取对数 1ln?x2?y2??arctany2x， 两边求导数

1?2x?2yy1x2?2?'2?y?'x2，yy 1??yx2???x??整理得 y'?x?yx?y. （第1页，共3页）

????3分 ????6分

????2分

????5分 ????6分

????5分

????6分

????2分

????5分

????6分

5.解. 原式=?d?1?e1?exxx? ????3分

?ln?1?e??c. ????6分

dy6.解法1. 解法1.

dy?dt ????3分dxdxdt??2tsintsint22??2t. ????6分

解法2.因为dx?sint2dt,dy??2tsint2dt ????4分

故

7.解.原式?dydx??2t. ????6分

?????d?1?x?1??1?x?2 ????3分 ????5分

x ?1?t=arctan?1?x?????=?. ????6分

8解. 当?1?x?0时,??x??当0?x?1时,??x???edt?e?e; ????2分

?t?x? 0 ?1edt?? 0?1?t?dt x?12?x?1?2?e?32. ????5分

?x?1?x?0?e?e,? 故??x???1 ????6分 3 2??1?x??e?,0?x?1.?229.解法1. 分离变量,得到

dy ??cotxdx . ????2分

3?y积分得到ln3?y??lnsinx?c 或 y?csinx?3 ? c ?R?， ????4分

代入初值条件y??????0,得到c?3.于是特解为 2??3?3. ????6分 y?sinx?p?x?dx??13??px?dxqxedx?c,px?,qx??解法2. 解法2.由y?e?其中，?????????tanxtanx??得到y?csinx?3 ?c?R? ????4分

代入初值条件y?

3???c?3y??3. ????6分 ,得到.于是特解为?0?sinx?2?（第2页，共3页）

10. 解.由liman?1an1n???lim3n?1xx2n?1n??13n2n?1?13x,可知

2 收敛半径R?3, ????4分

又当x??3时,对应数项级数的一般项为? 故该级数的收敛域为?3,1.解.定义域???,0?及?0,??? y'??x?2313,级数均发散,

?3. ????6分

?四.综合题(第1小题14分,第2、3小题各8分, 共30分)

2?x?3?4xx 令y'?0得驻点x1??2, ????5分 ,,y\?,

令y\?0得,x2??3, ????6分 x y' y\ y ???,?3? ? ? ?3 ??3,?2? ? ?2 ??2,0? ? ? 0 ?0,??? ? 0 ?290 ? ?14? ????10分

函数的单调增加区间为??2,0?,单调减少区间为???,?2?与?0,???.在x??2处,有极小值?14.其图形的凹区间为??3,0?及?0,???,凸区间为???,?3?. ????14分

x 02.证明.两边对x求导,得

?f?t?dt?sinx, ????4分

再对x求导，得f 从而证得

?x??cosx , ????6分

f?t?dt?? ?2 0? ?2 0cosxdx?1. ????8分

3.解.P点处该曲线的切线方程为y?x?2,

且与x轴的交于点A??2,0? ????2分 曲线与x轴交点B??1,0?和C?2,0?,因此区域由直线PA和AB及曲线弧

?所围成. ????4分 PB该区域绕x旋转生成的旋转体的体积

028292?. ????8分 V???????x?x?2?dx? ?1330?所围成??，从而 注：若计算由直线PA与AC及曲线弧PCV?83??????x 0 22?x?2?dx?213615?

者得6分.

（第3页，共3页）

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