高中新课标数学选修(2-1)空间向量与立体几何测试题

高中新课标数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题

一、选择题

1．空间的一个基底 a，b，c 所确定平面的个数为（ ） Ａ．1个 答案：Ｃ

，2， 1)关于面xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则BC （ ） 2．已知A(14，2) Ａ．(0，

4， 2) Ｂ．(0，

Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个以上

4，0) Ｃ．(0，0， 2) Ｄ．(2，

答案：Ｂ

3．已知向量a (x1，y1，z1)，b (x2，y2，z2)，若a b，设a b R，则a b与x轴夹角的余弦值为（ ）

x1 x2

R

答案：Ｄ Ａ．

Ｂ．

x2 x1

R

Ｃ．

x1 x2

R

Ｄ．

(x1 x2)

R

，MB，MC的起点与终点M，A，B，C互不重合且无三点共线，O是空间任一点，则4．若向量MA

，MB，MC成为空间一组基底的关系是（ ） 能使MA

1 1 1

Ａ．OM OA OB OC

333 Ｂ．MA MB MC 1 2 Ｃ．OM OA OB OC

33

Ｄ．MA 2MB MC 答案：Ｃ

5．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则E是平面ABC1D1的距离是（ ）

Ｃ．

1 2

答案：Ｂ

6．一条长为a的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是45°和30°，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是（ ）

a 2答案：Ａ Ａ．

Ｂ．

a

3

7．若向量a与b的夹角为60°，b 4，(a 2b)(a 3b) 72，则a （ ） Ａ．2 答案：Ｃ

Ｂ．4

Ｃ．6

Ｄ．12

8．设P是60°的二面角 l 内一点，PA 平面 ，PB 平面 ，A，B为垂足，PA 4，PB 2，则AB的长为（ ）

Ａ．答案：Ｄ

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

ABCD为正方形，PD AD，PD AD 2，9．二面角P AD C为60°，P为平面ABCD外一点，则P到AB的距离为（ ）

Ａ．答案：Ｄ 10

．

已

知

p (x，，y，q)z ，，(

a

，b) (c

x， y若z有

a等

bc式

Ｃ．2

(x2 y2 z2)(a2 b2 c2) (ax by cz)2成立，则p，q之间的关系是（ ）

Ａ．平行

答案：Ａ

Ｂ．垂直 Ｃ．相交 Ｄ．以上都可能

11．已知平面 与 所成二面角为80°，P为 ， 外一定点，过点P一条直线与 ， 所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（ ） Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．4条 答案：Ｄ

12．如图1，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB 平面 ，AB 2BC 2CD 4，点P为 内一动点，且 APB DPC，则P点的轨迹为（ ） Ａ．直线 Ｂ．圆 Ｃ．椭圆 Ｄ．双曲线 答案：Ｂ

二、填空题

1 t，t)，b (2，t，t)，则b a的最小值是

13．已知a (1 t，

14．在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，向量BA1与向量AC所成的角为 ．

答案：120°

，D在棱BB1上，且15．如图2，在正三棱柱ABC A1B1C1中，已知AB 1

BD 1，若AD与平面AA1C1C所成的角为 ，则sin

16．已知m，l是异面直线，那么： ①必存在平面 过m且与l平行； ②必存在平面 过m且与l垂直； ③必存在平面 与m，l都垂直； ④必存在平面 与m，l距离都相等． 其中正确命题的序号是 ． 答案：①④

三、解答题

0)b (x2，y2，0)与向量c (111)，，的夹角都等于17．设空间两个不同的单位向量a (x，y1，，

π

． 4

解：（1

）由ac accos∴x1 y1

．

π ·c x1 y1，

，且a4又a 1，

∴(x1 y1)2 x12 y12 2x1y1 1 2x1y1 ∴x1y1

1

． 4

3． 2

（4

）同理可得x2 y2 ∴

x1，y1是方程x21x2y2 ， 4

1

0的两根，同理x2，y2也是． 4

又∵a b，∴x1 y2，x2 y1．

∴cosa，b

a·b1

a·b x1x2 y1y2 x1y1 x2y2 ， ab2

∴a，b 60°．

18．如图3，已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1 2，底面ABCD是直角梯形， ADC是直角，AB∥CD，AB 4，AD 2，DC 1，求异面直线BC1与DC成角的大小． 解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴立空间直角坐标系D xyz，

，，，2)B(2，4，，0)A(01，，0)． 则C1(01 ∴BC1 ( 2， 3，2)，CD (0， 10)，．

所建

设BC1与CD所成角为 ，

BC1·CD则cos

BC1CD∴ ． ∴异面直线BC1与DC

所成角的大小为 19．如图4，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD AA1 1，AB 2，点E在棱AB上移动，问AE等于何值时，二面角D1 EC D的大小为

π

． 4

分别

解：设AE x，以D为原点，直线DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，，0)A(1，0，，0)C(0，2，0)． 则A1(1 ∴CE (1，x 2，，0)D1C (0，2， 1)，DD1 (0，01)，． 设平面D1EC的法向量为n (a，b，c)，

·D1C 0， 2b c 0， n由

·CE 0 a b(x 2) 0， n

令b 1，∴c 2，a 2 x． ∴n (2 x，1，2)．

·DD1

πn 依题意cos ．

4nDD1∴

x 2x 2

∴AE 2．

20．如图5所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB 4，BC 2，CC，BE 1．

1 3

（1）求BF；

（2）求点C到平面AEC1F的距离．

解：（1）以D为原点，DAF，DC，DF所在直线为x轴， y轴，z轴建立空间直角坐标系D xyz， D(0，0，，0)B(2，4，，0)A(2，0，，0)C(0，4，，0)E(2，4，1)，C1(0，4，3)，

0，z)． 设F(0，

0，z) ( 2，0，2)， 由AF EC1，得( 2，

∴z 2．

∴F(0，0，，2)BF ( 2， 4，2)．

∴BF

n·AE 0，

1)，由 1 （2）设n1为平面AEC1F的法向量，n1 (x，y，

·AF 0， n1， x 1

4y 1 0， 得 ∴ 1

2x 2 0．y ． 4

又CC1 (0，0，3)，设CC1与n1的夹角为 ，

CC1·n则cos ． 1

CC1n

∴C到平面AEC1F

的距离d CC1cos ．

21．如图6，在三棱锥P ABC中，AB BC，AB BC kPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP 底面ABC．

（1）求证：OD∥平面PAB；

1

（2）当k 时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

2

（3）当k为何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？ 解：（1）证明：∵OP 平面ABC，OA OC，AB BC， ∴OA OB，OA OP，OB OP．

以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系O xyz．

设AB

a，则A，0，0，B0，0，C，0，0 ．

0，h)．

设OP h，则P(0，

1

，0h ∵D为PC

的中点，∴OD ．

2 1

PA 0， h ， ，∴OD 2PA．

∴OD∥PA，∴OD∥平面PAB．

（2）k

1

，即PA

2a，∴h 2

∴PA ，0，

可求得平面PBC

的法向量n 1， 1， ．

PA·n ∴cosPA，n PAn设PA与平面PBC所成的角为 ，

，n 则sin cosPA．

∴PA与平面PBC

所成的角为 1 1

△

PBC（3）的重心G ，

h∴OG h ， 33 ∵OG 平面PBC，∴OG PB．

1212 又PB h ·PB a h 0．

0， ，∴OG63 ∴h

．

∴PA a，即k 1．

反之，当k 1时，三棱锥O PBC为正三棱锥． ∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心．

OB b，OC c，可构成空间向量的一个22．如图7，已知向量OA a，

基

底，若a

(a1，a2，a3)，

b (b1，b2，b3)，c (c1，c2，c3)，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算a b (a2b3 a3b2，a3b1 a1b3，a1b2 a2b1)，显然a b的结果仍为一向量，记作p．

（1） 求证：向量p为平面OAB的法向量；

（2） 求证：以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积等于a b；

（3） 将四边形OADB按向量OC c平移，得到一个平行六面体OADB CA1D1B1，试判断平

行六面体的体积V与(a b·)c的大小．

·a (a2b3 a3b2)a1 (a3b1 a1b3)a2 (a1b2 a2b1)a3 0， 解：（1）p

∴p a，同理p b． ∴p是平面OAB的法向量．

（2）设平行四边形OADB的面积为S，OA与OB的夹角为 ，

则S OA

OBsin a

a b．

∴结论成立．

COABhOC（3）设点到平面的距离为，与平面OAB所成的角为 ，

则V Sh a bcsin ，

)c a bccosa b，c a bcsin ， 又(a b·∴V (a b·)c．

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