河北辛集中学高三数学一轮复习专题

河北辛集中学高三数学一轮复习专题 平面向量中三角形“四心”问题

编者：张朵

一、“四心”的概念与性质

(1)重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.

在向量表达形式中，设点G是△ABC所在平面内的一点，则当点G是△ABC的重心时， 1

有GA＋GB＋GC＝0或PG＝(PA＋PB＋PC)(其中P为平面内任意一点)．

3

反之，若GA＋GB＋GC＝0，则点G是△ABC的重心．在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，

则有x＝

x1＋x2＋x3

3

，y＝

y1＋y2＋y3

3

.

(2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边．

在向量表达形式中，若H是△ABC的垂心，则HA·HB＝HB·HC＝HC·HA或HA＋BC2

2

＝HB＋CA＝HC＋AB.

2

2

2

2

反之，若HA·HB＝HB·HC＝HC·HA，则H是△ABC的垂心．

(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．

在向量表达形式中，若点I是△ABC的内心，则有|BC|·IA＋|CA|·IB＋|AB|·IC＝0.反之，若|BC|·IA＋|CA|·IB＋|AB|·IC＝0，则点I是△ABC的内心．

(4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．

在向量表达形式中，若点O是△ABC的外心，则(OA＋OB)·BA＝(OB＋OC)·CB＝(OC＋OA)·AC＝0或|OA|＝|OB|＝|OC|.

反之，若|OA|＝|OB|＝|OC|，则点O是△ABC的外心． 二、关于“四心”的典型例题

1.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________心．

2. 已知△ABC内一点O满足关系OA＋2OB＋3OC＝0，试求S△BOC∶S△COA∶S△AOB 的值为__________

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