2014数学中考压轴题 因动点产生的线段和差问题 有详细答案

2014数学中考压轴题 因动点产生的线段和差问题

例1 在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE

＝∠OBA．

（1）如图1，求点E的坐标；

（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．

①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2

取得最小值时点E′的坐标；

②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．

图1 图2

思路点拨

1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m． 2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．

3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．

满分解答

（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA． 所以

24AOBO

．因此 ．

OE2OEOA

解得OE＝1．所以E(0,1)．

（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2． 在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2． 所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27． 所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27．

此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)． ②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为(,1)．

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图3 图4

考点伸展

第（2）②题这样解：如图4，过点B作y轴的垂线l，作点E′关于直线l的对称点E′′， 所以A′B＋BE′＝A′B＋BE′′．

当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′′取得最小值，最小值为线段A′E′′．

在Rt△A′O′E′′中，A′O′＝2，O′E′′＝7，所以A′E′′

当A′、B、E′′三点共线时，解得m

m2A'OA'O'

．所以 ．

47BOE''O'

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．此时E'(,1)．

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例2 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、

B(2, 0)三点．

（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；

（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．

图1

答案 （1）y 1x2 x。 （2）AM＋OM

的最小值为2

图2 图3

例3 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，

与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．

（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；

（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．

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