高三理科数学小题狂做14

高三理科数学小题狂做（14）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知复数()2

1z i =-，则z =（ ） A ．4B ．2C ．2D ．1

2、已知向量

()1,2a =，()//a b b +，则向量b 可以为（ ） A ．()1,2B ．()1,2-C ．()2,1D ．()2,1-

3、某大学共有学生5400人，其中专科生有1500人，本科生有3000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取（ ）

A ．55人，80人，45人

B ．40人，100人，40人

C ．60人，60人，60人

D ．50人，100人，30人

4、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2

580a a +=，则52S S =（ ） A ．11B ．5C ．8-D ．11-

5、当3n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）

A ．30

B ．14

C ．8

D ．6

6、函数2ln x y x =

的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

7、若,4παπ??∈ ???，且3cos 24sin 4παα??=- ???，则sin 2α的值为（ ）

A ．79

B ．79-

C ．19-

D ．19

8、已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，现给出下列命题： ①若m α?，n α?，//m β，//n β，则//αβ；②若αβ⊥，m α?，则m β⊥；

③若m α⊥，//m β，则αβ⊥；④若//m n ，m α?，则//n α．

其中正确命题的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

9、如图，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个纸巢，将体积为43π的球放在纸巢上方，则球的最高点与纸巢底面的距离为（ ） A 6322+B ．32C 2322+D 3322+ 10、对于使()f x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做

()f x 的上确界，若a ，R b +∈且1a b +=，则122a b -

-的上确界为（ ） A ．92-

B ．92

C ．1

4D ．4- 11、已知双曲线22

221x y a b -=（0a >，0b >）与抛物线

28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若F 5P =，则双曲线的离心率e 为（ ）

A ．5

B ．2

C 23

3．3

12、已知函数()()231132mx m n x f x x +++=+的两个极值点分别为1x ，2x ，且

()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，点(),m n P 表示的平面区域为D ，若函数

()log 4a y x =+（1a >）的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(]1,3

B ．()3,+∞

C ．()1,3

D ．[)3,+∞

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、设集合{}R 24x x M =∈≥，{}3R log 1x x N =∈≤，则M N =．

14、直线2y x =+被圆

:M 224410x y x y +---=所截得的弦长为． 15、一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的

和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）．若a ，b ，

{}

1,2,3,4c ∈，且a ，

b ，

c 互不相同，任取一个三位自然数，则它为“有缘数”的概率是． 16、如图，椭圆C :22

2

14x y a +=（2a >），圆

:O 222

4x y a +=+，椭圆C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过椭

圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于M 、N 两点，若

12F F 6

P ?P =，则

PM ?PN

的值为．

高三理科数学小题狂做（14）参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

C

A

D

D

B

D

C

B

D

A

B

C

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）

13、

{}23x x ≤≤ 14、27 15、1

2 16、6

高考理科数学试题及答案 （考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。 1.31i i

+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -

2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（）

A ．{}1,3-

B ．{}1,0

C ．{}1,3

D ．{}1,5

3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百

八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某

几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部

分所得，则该几何体的体积为（）

A ．90π

B ．63π

C ．42π

D ．36π

5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤??-+≥??+≥?

，则2z x y =+的最小值是（）

A ．15-

B ．9-

C ．1

D ．9

6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共

有（）

A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．36种

7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，

2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家

说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）

A ．乙可以知道四人的成绩

B ．丁可以知道四人的成绩

C ．乙、丁可以知道对方的成绩

D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的

S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

9. 若双曲线C:22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐 近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的

离心率为（）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．

23 10. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）

A.1-

B.32e --

C.35e -

D.1

11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB

与1C B 所成角的余弦值为（）

A ．

32 B ．155 C ．105

D ．33 12. 已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+的最小值是（）

A.2-

B.32-

C. 43-

D.1-

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽

到的二等品件数，则D X =．

14. 函数()23sin 3cos 4

f x x x =+-（0,2x π??∈????

）的最大值是． 15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则

11n k k S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为

F N 的中点，则F N =．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2

sin()8sin 2

B A

C +=． (1)求cos B

(2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b

18.（12分） 淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：

1. 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖

法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；

2. 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法

新养殖法

3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P （

） 0.050 0.010 0.001 k 3.841

6.635 10.828 2

2

()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++

19.（12分）

如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，

o 1,90,2

AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点.

（1）证明：直线//CE 平面PAB

（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD

所

成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值

20. （12分） 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2

212

x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.

（1） 求点P 的轨迹方程；

（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ?=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.

21.（12分）

已知函数3()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.

（1）求a ；

（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且230()2e f x --<<.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计

分。

22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．

（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；

（2）设点A 的极坐标为(2,)3π

，点B 在曲线2C 上，求OAB ?面积的最大值．

23.[选修45：不等式选讲]（10分）

已知33

0,0,2a b a b >>+=，证明：

（1）33()()4a b a b ++≥；

（2）2a b +≤．

参考答案

1．D

2．C

【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =

∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，

3．B

【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112-=

=-a S ，解得13a =．

4．B

【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．

2211π310π3663π22=-=??-???=V V V 总上

5．A 【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．

6．D

【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．

由此把4份工作分成3份再全排得2

343C A 36?=

7．D

【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．

甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．

8．B

【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =．

9．A 【解析】取渐近线b y x a =，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，

= 得224c a =，24e =，2e =．

10．C

【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角（异面线所成角为π02?? ??

?，）

可知112MN AB =

，1122

NP BC ==， 作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形．

1=PQ ，12

MQ AC = ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-??∠

14122172??=+-???-= ???

，=AC

则MQ =

MQP △

中，MP = 则PMN △中，222

cos 2MN NP PM PNM MH NP +-∠=??

222

+-== 又异面线所成角为π02?? ???，

．

11．A 【解析】()()2121x f x x a x a e -'??=+++-???，

则()()32422101f a a e a -'-=-++-?=?=-????，

则()()211x f x x x e -=--?，()()212x f x x x e -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<，

则()f x 极小值为()11f =-．

12．B

【解析】几何法：

如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()2PA PB PC PD PA ?+=?， 要使PA PD ?最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上， 则min 22PD PA PA PD ?=-?， 即求PD PA ?最大值，

又323PA PD AD +==?=， 则223324PA PD PA PD ??+?? ??== ? ? ??

???≤， 则min 332242

PD PA ?=-?

=-． 解析法： 建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点， P D C B A

∴()03A ，，()10B -，，()10C ，．

设()P x y ，，

()3PA x y =--，，()1PB x y =---，，()1PC x y =--，，

∴()

222222PA PB PC x y y ?+=-+

223324x y ??????=+-- ? ??????? 则其最小值为33242???-=- ???

，此时0x =，3y =． 13．1.96

【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =

则()11000.020.98 1.96x D np p =-=??= 14．1

【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ????=+-∈ ????

???， ()231cos 3cos 4

f x x x =-+- 令cos x t =且[]01t ∈，

2134

y t t =-++ 2

31t ??=--+ ? ??? 则当3t =

时，()f x 取最大值1． 15．2+1

n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．

则3123a a d =+=

414610S a d =+=

求得11a =，1d =，则n a n =，()12n n n S +=

()()112222122311n k k S n n n n ==++++??-+∑ 111111121223

11n n n n ??=-+-++-+- ?-+?? 122111n n n ??=-= ?++??

16．6

【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，

，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，

故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线，

∵2CN =，4AF =，

∴3ME =

又由定义ME MF =，

且MN NF =，

∴6

NF NM MF =+= 17.

【解析】（1）依题得：21cos sin 8sin 84(1cos )22

B B B B -==?=-． ∵22sin cos 1B B +=，

∴2216(1cos )cos 1B B -+=，

∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=，

∴15cos 17

B =， （2）由⑴可知8sin 17B =

． ∵2ABC S =△，

∴1sin 22

ac B ?=， ∴182217

ac ?=， ∴172

ac =， ∵15cos 17B =， l F N M C B A O y x

∴22215217a c b ac +-=， ∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．

18． 【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B

“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C

而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =?+?+?+?+?

0.62=

()0.06850.04650.01050.0085P C =?+?+?+?

0.66=

()()()0.4092P A P B P C ==

（2）

由计算可得2K 的观测值为

()

2

22006266383415.70510010096104k ??-?==???

∵15.705 6.635>

∴()2 6.6350.001P K ≈≥

∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．

（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=

80.0320.06817÷=，8

5 2.3517?≈

50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．

19．【解析】 z

y

x

M 'M

O F P

A

B C D E

（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．

∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴12

EF AD ∥． 又∵90BAD ABC ∠=∠=?，∴BC AD ∥．

又∵12AB BC AD ==，∴12

BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ?面，∴CE PAB 面∥

（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．

设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，

，，(010)D ，，， (00P ，．

M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=?， ∴MBM '△

为等腰直角三角形．

∵POC △为直角三角形，OC =

，∴60PCO ∠=?．

设MM a '=，

CM '=

，

1OM '=．∴100M ??' ? ???，

，．

BM a a '==?

=

．∴11OM

'==． ∴100M ??'

? ??

?，，10M ? ??

2611AM ??=- ? ???，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 1160y z +=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，， (001)n =，，．

∴10cos ,m n

m n m n ?<>==?． ∴二面角M AB D --的余弦值为10． 20．

【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ， (0)NP y =，又1022NM NP ?== ??

?， ∴1

2M x y ?? ???

，，又M 在椭圆上． ∴22122x += ???

，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，

由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ?=?---=，，， ()21OP OQ OP OP OQ OP ?-=?-=， ∴2

13OP OQ OP ?=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ?+=-+=．

设直线OQ ：3Q

y y x =?-， 因为直线l 与OQ l 垂直． ∴3l Q

k y = 故直线l 方程为3()P P Q y x x y y =

-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-，

13P Q P y y x x -?=-， ∴13P Q P x y y x =-?+， ∵33P Q P y y x =+，

∴1(33)13

P P x x x =-++=-， 若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±，

直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-，

直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．

21．

【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．

令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11ax g x a x x

-'=-=， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1x a =

． 当10x a <<时，()0g x '<，()g x 单调减；当1x a

>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ?? ???，上单调减，()110g g a ??<= ???

； 若1a >，则()g x 在11a ?? ???，上单调增，()110g g a ??<= ???

； 若1a =，则()()min 110g x g g a ??=== ???

，()0g x ≥． 综上，1a =．

⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．

令()22ln h x x x =--，则()1212x h x x x -'=-

=，0x >． 令()0h x '=得12x =

， 当102x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当12

x >时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以，()min 112ln 202h x h ??==-+< ???

． 因为()22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-??∈ ???，，122??∈+∞ ???，，

所以在102?? ???，和12??+∞ ???

，上，()h x 即()f x '各有一个零点． 设()f x '在102?? ???，和12??+∞ ???，上的零点分别为02x x ，，因为()f x '在102?? ???，上单调减，

所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当012

x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点． 因为，()f x '在12??+∞ ???

，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点． 所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．

由前面的证明可知，201e 2x -??∈ ???，，则()()

24220e e e e f x f ---->=+>． 因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<

，所以()014f x <． 因此，()201e 4

f x -<<

． 22． 【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，

，， 则0||OM OP ρρ==，．

000016cos 4ρρρθθθ=??=??=?

解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为

()2224x y -+=．()0x ≠

⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．

||OA 为定值．

∴当高最大时，AOB S △面积最大，

如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点

交圆C 于B 点，

此时AOB S △最大

max 1||||2S AO HB =

? ()1||||||2

AO HC BC =+

2=

23．

【解析】⑴由柯西不等式得：()()()2255334a b a b a b ++=+=≥

1a b ==时取等号．

⑵∵332a b +=

∴()()

222a b a ab b +-+=

∴()()232a b b ab α??++-=?? ∴()()3

32a b ab a b +-+= ∴()()

3

23a b ab a b +-=+ 由均值不等式可得：()()32

232a b a b ab a b +-+??= ?+??≤ ∴()()3

2

232a b a b a b +-+?? ?+??

≤ ∴()()33324a b a b ++-≤ ∴()3124

a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．

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