《测试技术》（第二版）课后习题答案- - 要点

解：

（1） 瞬变信号－指数衰减振荡信号，其频谱具有连续性和衰减性。 （2） 准周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱仍具有离散

性。

（3） 周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱具有离散性、

谐波性和收敛性。

解：x(t)=sin2?f0t的有效值（均方根值）：

xrms???12T012T01T0?T00x(t)dt?21T0?T00sin22?f0t　dt1(T0?14?f0sin4?f0tT00?T00(1?cos4?f0t)　dt?14?f02T0)

(T0?sin4?f0T0)?1/2

解：周期三角波的时域数学描述如下：

x(t) 1 . . .

-T0/2 0 ?T0/2 T0?t?020?t?T02. . . t 2A?A?t?T0??2Atx(t)??A?T0????x(t?nT0)（1）傅里叶级数的三角函数展开： 1T0/22T0/221a0??x(t)dt??(1?t)dt??T/20T0T00T02

2T0/2a? nT??T0/2x(t)cosn?0tdt04T0/22 ??(1?t)cosn?0tdtT00T0 ?4n?1,3,5,?4?222n??22sin??n?2?n?

n?2,4,6,??0T0/2 bn ? 2 ? ，式中由于x(t)是偶函数，sinn?0t是奇函数，x( t)sinn? 0tdtT0?T0/2则x(t)sinn?0t也是奇函数，而奇函数在上下限对称区间上的积分等于0。故

bn?0。

因此，其三角函数展开式如下：

14x(t)??22?1cosn?0t?2n?1n?14??22?1sin(n?0t??2)?2n?1n?(n=1, 3, 5, …）

其频谱如下图所示：

1

A(?) 1 24? (?) ?249?2 ? 242 25?0

?0 3?0 5?0 ? 0 ?0 3?0 5?0 ?

单边幅频谱 单边相频谱

（2）复指数展开式

复指数与三角函数展开式之间的关系如下： C0 =a0 CN =(an-jbn)/2 C-N =(an+jbn)/2 故有

?22?222n??sin??n?ReCN =an/2 2?n2?2?0n?1,3,5,?n?2,4,6,?C0?A0?a0ReCN =an/2 ImCN =-bn/2 1122an?bn?An 22ICb?n?arctgmn?arctg(?n)ReCnanCn? ImCN =-bn/2 ＝0 C0?A0?a0?Cn?1212112an?bn?An=an 222ICb?n?arctgmn?arctg(?n)?0ReCnan 2

实频谱 1 2229? 25?2ReCn 2 22 ?2 ?2 9? 2 222 25?-5?0 -3?0 -?0 0 ?0 ImCn

虚频谱

3?0 5?0 ?

-5?0 -3?0 -?0 0 ?0 3?0 5?0 ?

双边幅频谱 21 2Cn2 29? 25?2 2 2 ?2?2 9? 2 222 25?-5?0 -3?0 -?0 0 ?0 3?0 5?0 ?

?n

双边相频谱

-5?0 -3?0 -?0 0 ?0 3?0 5?0 ?

3

解：该三角形窗函数是一非周期函数，其时域数学描述如下：

x(t) 1 -T0/2 0 T0/2 t 2?1??Tt?0x(t)???1?2t??T0?T0?t?02T00?t?2

用傅里叶变换求频谱。 X(f)?

?????x(t)e?j2?ftdt??T0/2?T0/2x(t)e?j2?ftdt?T0/20022?j2?ft(1?t)edt??(1?t)e?j2?ftdt?T0/2T0T00?1T0/222?j2?ft?[?(1?t)de??(1?t)de?j2?ft]?T0/2j2?f0T0T0?12?{[(1?t)e?j2?ftj2?fT02?[(1?t)e?j2?ftT0?12?{[?1?j2?fT00?T0/2T0/2T0/200??T0/20e?j2?ft2d(1?t)]T0??e?T0/2e?j2?ftd(1?2t)]}T00?T0/2??j2?ft02dt]?[1?T00?T0/2?]e?j2?ftdt]}?2?1??[e?j2?ftj2?fT0j2?fT0/20?e?j2?ft1?j?fT0j?fT0??[e?1?1?e]222?fT0?112?fT0[1?cos?fT]??2sin0?2f2T0?2f2T022sinT02?T0?sinc2?fT0??2(?fT0)2224

2?fT0

X(f ) T0/2 6 T0 4 T0 2 T0 0 2 T0 4 T0 6 T0 f ?(f ) ? 6 T0

4 T0 2 0 T0 2 T0 4 T0 6 T0 f

解：

方法一，直接根据傅里叶变换定义来求。

5

X(?)??????0???x(t)e?j?tdte?atsin?0t?e?j?tdtje?(a?j?)t?(e?j?0t?ej?0t)dt2??0j??(a?j??j?0)t??[e?e?(a?j??j?0)t)dt20je?(a?j??j?0)te?(a?j??j?0)t??[0?2?(a?j??j?0)(a?j??j?0)j11?[?]2a?j(???0)a?j(???0)?0]?0?22a??0??2?j2a?方法二，根据傅里叶变换的频移特性来求。 单边指数衰减函数：

t?0?0f(t)???ata?0,?e其傅里叶变换为

t?0F(?)????????f(t)e?j?tdte?at?e?j?tdt0e?at?e?j?t???(a?j?)0

1?(a?j?)

a?j??2a??2

6

F(?)?1a2??2?(?)??arctg?

a根据频移特性可求得该指数衰减振荡函数的频谱如下：

1X(?)?FT[f(t)sin?0t]?[F(???0)?F(???0)]2j111?[?]2ja?j(???0)a?j(???0)?0?22a??0??2?j2a?F(?)1/a 0根据频移特性得下列频谱

?1 2aX(?)1 2a??0

01[F(???0)?F(???0)]2?0? 7

解：利用频移特性来求，具体思路如下：

A/2

A/2

当f0

?f00f0f

8

解：

x(t)?w(t)cos?0tw(t) 1 w0 T cos?0t 1 0 --T t FT[w(t)]FT[cos?0t]1212W(?)2T012T?卷积 ??00?0?FT[w(t)cos?0t]TX(?)T??0

09

?0?

由于窗函数的频谱 W(?)?2Tsinc(?T)，所以

1[W(???0)?W(???0)]2?T[sinc(???0)T?sinc(???0)T]X(?)?其频谱图如上图所示。

解：

x?1?T0?T00x(t)dtT01T0/2?[?sin2?f0dt??(?sin2?f0)dt]T0/2T001?[?cos2?f0tT0?2/?

T0/20?cos2?f0tT0T0/2]1??(xrms)?T02x2?T00x2(t)dt1?T0?T00sin22?f0t　dtT01?2T0?0(1?cos4?f0t)　dt

110?(T0?sin4?f0tT0)2T04?f0?1/2

10

第二章 习 题（P68）

=

60sin50?解： ?x2?Rx(0)?lim()sin(50?)?lim3000()?3000??0

???050?-

解：

Rx(?)?lim?lim2T??0T???T?Tx(t)x(t??)dt?TAe?at?Ae?a(t??)dt?Alim?A2(?T??0?Te?2at?e?a?dt?01?a??2at)ee2aA2?a??e2a

解：

对于周期信号可用一个周期代替其整体，故有1TRx(?)??x(t)x(t??)dtT01T2＝?Acos(?t??)cos[?(t??)??]dtT0式中，T是余弦函数的周期，T＝2?/?

令?t??＝?代入上式，则得A2Rx(?)＝2??2?01cos?cos[?＋??]d?　＝A2cos??

2若x(t)为正弦信号时，Rx(?)结果相同。

11

2.4 求指数衰减函数

性画出信号及其频谱图形。 解：（1）求单边指数函数

的频谱函数 ，（

）。并定

的傅里叶变换及频谱

（2）求余弦振荡信号

的频谱。

利用 函数的卷积特性,可求出信号

的频谱为

其幅值频谱为

12

a a`

b b`

c c`

2.5 一线性系统，其传递函数为

求：（1）

；（2）

；（3）

，当输入信号为 ；（4）

。

时，

解：(1) 线性系统的输入、输出关系为：

13

已知

，则

由此可得：

(2) 求

有两种方法。其一是利用

的傅立叶逆变换；

其二是先求出

，再求

，其三是直接利用公式

求。

下面用第一种方法。

（3）由

可得：

14

(4)

可以由

的傅立叶逆变换求得，也可以直接由 、

积

分求得：

2.6 已知限带白噪声的功率谱密度为

求其自相关函数 解：

。

可由功率谱密度函数的逆变换求得：

2.7 对三个余弦信号 样，采样频率为 解释混迭现象。 解：(1)求采样序列

分别做理想采

,求三个采样输出序列，画出信号波形和采样点的位置并

15

采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，…

采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，…

采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，…

(2)由计算结果及采样脉冲图形可以看出，虽然三个信号频率不同，但采样后输出的三个脉冲序列却是相同的，产生了频率混迭，这个脉冲序列反映不出三个信号的频率特征。原因是对于

，不符合采样定理。脉冲图见下图。

2.8. 利用矩形窗函数求积分解：

(1)根据Paseval定理，时域能量与频域能量相等，而时域 窗。

对应于频域的矩形

的值。

16

即 (2)

=

=

=

=

2.9什么是窗函数, 描述窗函数的各项频域指标能说明什么问题? 解：

(1)窗函数就是时域有限宽的信号。其在时域有限区间内有值，频谱延伸至无限频率。 (2)描述窗函数的频域指标主要有最大旁瓣峰值与主瓣峰值之比、最大旁瓣10倍频程衰减率、主瓣宽度。

(3)主瓣宽度窄可以提高频率分辨力，小的旁瓣可以减少泄漏。 2.10 什么是泄漏？为什么产生泄漏？窗函数为什么能减少泄漏？ 解：

(1)信号的能量在频率轴分布扩展的现象叫泄漏。

(2)由于窗函数的频谱是一个无限带宽的函数，即是x(t)是带限信号，在截断后也必然成为无限带宽的信号，所以会产生泄漏现象。

17

(3)尽可能减小旁瓣幅度，使频谱集中于主瓣附近，可以减少泄漏。

2.11. 什么是 “栅栏效应”？如何减少“栅栏效应”的影响？ 解：

(1)对一函数实行采样，实质就是“摘取”采样点上对应的函数值。其效果有如透过栅栏的缝隙观看外景一样，只有落在缝隙前的少量景象被看到，其余景象都被栅栏挡住，称这种现象为栅栏效应。

(2)时域采样时满足采样定理要求，栅栏效应不会有什么影响。频率采样时提高频率

分辨力，减小频率采样间隔可以减小栅栏效应。

2.12.数字信号处理的一般步骤是什么？有哪些问题值得注意？ 答：

(1)数字信号处理的一般步骤如下图所示：

其中预处理包括

1)电压幅值调理，以便适宜于采样；2)必要的滤波；3)隔离信号的直流分量；4)如原信号经过调制，则先进行解调。

(2)数字信号处理器或计算机对离散的时间序列进行运算处理。运算结果可以直接显示或打印。要注意以下一些问题：要适当的选取采样间隔，采样间隔太小，则对定长的时间记录来说其数字序列就很长，计算工作量迅速增大；如果数字序列长度一定，则只能处理很短的时间历程，可能产生较大的误差；若采样间隔大（采样频率低），则可能造成频率混叠，丢掉有用的信息；应视信号的具体情况和量化的精度要求适当选取Ａ／Ｄ转换器；在数字信号处理的过程中，要适当的选取窗函数，以减小截断误差的影响。

18

2.14 频率混叠是怎样产生的，有什么解决办法？ 答：

(1)当采用过大的采样间隔Ｔｓ对两个不同频率的正弦波采样时，将会得到一组相同的采

样值，造成无法辩识两者的差别，将其中的高频信号误认为低频信号，于是就出现了所谓的混叠现象。

(2)为了避免频率混叠，应使被采样的模拟信号ｘ（ｔ）成为有限带宽的信号，同时应使采样频率ｆｓ大于带限信号的最高频率ｆｈ的２倍。

2.15 相关函数和相关系数有什么区别？相关分析有什么用途，举例说明。 答：

(1)通常，两个变量之间若存在着一一对应关系，则称两者存在着函数关系,相关函数又分为自相关函

数和互相关函数。当两个随机变量之间具有某种关系时，随着某一个变量数值的确定，另一变量却可能取许多不同的值，但取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变量存在相关关系，对于变量Ｘ和Ｙ之间的相关程度通常用相关系数ρ来表示。

(2)在测试技术技术领域中，无论分析两个随机变量之间的关系，还是分析两个信号或一个信号在一定时移前后的关系，都需要应用相关分析。例如在振动测试分析、雷达测距、声发射探伤等都用到相关分析。

3.1说明线性系统的频率保持性在测量中的作用。 答：

（1）线性系统的频率保持性，在测试工作中具有非常重要的作用。因为在实际测试中，测试得到的信号常常会受到其他信号或噪声的干扰，这时依据频率保持特性可以认定测得信号中只有与输入信号相同的频率成分才是真正由输入引起的输出。

（2）同样，在故障诊断中，根据测试信号的主要频率成分，在排除干扰的基础上，依据频率保持特性推出输入信号也应包含该频率成分，通过寻找产生该频率成分的原因，就可以诊断出故障的原因。

19

解：

S＝S1S2S3=80nc/MPa×0.005V/nc×25mm/V=10 mm/ MPa △P=△x/S=30mm/10(mm/ MPa)=3 MPa

解：

S＝S1S2=404×10-4Pc/Pa×0.226mV/Pc=9.13×10-3mV/Pa

10?106mV/Pa8

S2=S/S1== 2.48×10mV/Pc -4404?10Pc/Pa

解: ?=2s, T=150s, ?=2π/T

300－0.9965×100=200.35℃ 300＋0.9965×100=399.65℃ 故温度变化范围在200.35~399.65℃.

A(?)?11?(??)2?11?(4?/150)2?0.9965

20

解: ?=15s, T=30/5=6s, ?=2π/T

A(?)?11?(??)2?11?(15?2?/6)2?0.0635h高度处的实际温度t=t0-h*0.15/30

而在h高度处温度计所记录的温度t‘＝A(?)t＝A(?)（t0-h*0.15/30） 由于在3000m高度温度计所记录的温度为－1℃，所以有

－1= A(?)（t0-3000*0.15/30） 求得 t0=－0.75℃

当实际温度为t＝－1℃时，其真实高度可由下式求得：

t=t0-h*0.15/30，h=(t0- t)/0.005=(-0.75+1)/0.005=50m

解： (1)

?A(?)?1?A(?)?1?11?(??)2?1?11?(100?2??)2?10%

则 ?≤7.71×10－4 S (2)

?A(?)?1?A(?)?1?11?(??)2?1?11?(50?2??7.71?10)?42?2.81%?(?)= ?arctg?? = -arctg（50?2??7.71?10?4）= －13.62°

21

解：?＝0.04 S，

?A(?)?1?A(?)?1?11?(??)2?1?11?(2?f?)2（1）当f=0.5Hz时，

?A(?)?1?A(?)?1?11?(??)11?(??)11?(??)222?1?11?(2??0.5?0.04)11?(2??1?0.04)11?(2??2?0.04)222?0.78%（2）当f=1Hz时，

?A(?)?1?A(?)?1??1??3.02%（3）当f=2Hz时，

?A(?)?1?A(?)?1??1??10.65%

解：?＝0.0025 S

?A(?)?1?A(?)?1?11?(??)2?1?11?(0.0025?)2?5%则 ?＜131.5（弧度/s） 或 f＜?/2π＝20.9 Hz 相位差：?(?)= ?arctg?? = -arctg(131.5?0.0025) = －18.20°

解：fn=800Hz, ?=0.14, f=400 ??n?f/fn?400/800?0.5

?A(?)?H(?)?11?1??????2n2?4?2???n??1.312?1?0.5?22?4?0.142??0.5?2?(?)??arctg2???n2?0.14?0.5???arctg??10.5721?0.521????n? 22

3.10对一个二阶系统输入单位阶跃信号后，测得响应中产生的第一个过冲量

的数

值为1.5，同时测得其周期为6.28s。设已知装置的静态增益为3，试求该装值的传递函数和装置在无阻尼固有频率处的频率响应。

解：（1）求解阻尼比、固有频率。

（2）求解传递函数。 传递函数为：将

，

，

将

，

和

代，可得该装置在无阻尼固有频率处的频率响应

23

第四章 习 题（P127）

解： 由 得

S??CC0??0A??2???0?0?C????0A?122?62????1?8.85?10???4?(?1?10)/0.3?02??4.94?10?15(F)??4.94?10?3(PF)变化格数　　S1S2?C?100?5?(?4.94?10?3)??2.47(格)

第五章 习 题（P162）

解： (1）半桥单臂

uo??R01ui?S?ui4R04 24

1?2?2?10－6?2＝2?v4 1当?＝2000??时，u0??2?2000?10－6?2＝2mv4当?＝2??时，u0?（2）半桥双臂 uo当?＝2??时，u0??R01?ui?S?ui2R021?2?2?10－6?2＝4?v2 1当?＝2000??时，u0??2?2000?10－6?2＝4mv2S单?u01?ui?0.5(V)，S?R0/R04?u01?ui?1(V)

?R0/R02双半桥双臂是半桥单臂灵敏度的两倍。

解：均不能提高灵敏度，因为半桥双臂灵敏度S?u0/(与桥臂上应变片数无关。

?R1)?ui，与供桥电压成正比，R2

解：

由已知：?(t)?Acos10t?Bcos100t，u0?Esin10000t得全桥输出电压：

uy??Ru0?S?u0?SE?(t)sin10000tR 　＝SE(Acos10t?Bcos100t)sin10000t根据　x(t)y(t)?X(f)*Y(f)jsin2?f0t?[?(f?f0)??(f?f0)]2 j　　　x(t)sin2?f0t?[X(f)??(f?f0)?X(f)??(f?f0)]2 25

得电桥输入和输出信号的傅里叶变换：

?(f)?AB[?(f?f01)??(f?f01)]?[?(f?f02)??(f?f02)]22

A1010B100100　　　?[?(f?)??(f?)]?[?(f?)??(f?)]22?2?22?2?0电桥输出信号的频谱，可以看成是?(t)的频谱移动到±f0处。

电桥输入与输出信号的频谱图如下图所示。

Reε(ω) A/2 B/2 －100 －10 10 100 ω SEA/4 ImUy(ω) SEB/4 -ω0 -(ω0+100) -(ω0+10) -(ω0-10) -(ω0-100) 0 ω0-100 ω0-10 ω0 ω0+10 ω0+100 ω ω0=10000 －SEB/4 －SEA/4 本量题也可用三角函数的积化和差公式来计算：

由已知：?(t)?Acos10t?Bcos100t，u0?Esin10000t得全桥输出电压：?Ruy?u0?S?u0?SE?(t)sin10000tR　＝SE(Acos10t?Bcos100t)sin10000t　　?SEAsin10000tcos10t?SEBsin10000tcos100t11　　?SEA[sin(10000?10)t?sin(10000?10)t]?SEB[sin(10000?100)t?sin(10000?100)t]2211sin?cos??[sin(???)?sin(???)],　　cos?cos??[cos(???)?cos(???)][注： 22cos(???)＝cos?cos??sin?sin?,　　　sin(???)＝sin?cos??cos?sin?

26

解：调幅波中所包含的各分量的频率及幅值大小：

xa(t)?(100?30cos2?f1t?20cos6?f1t)cos2?fct　　　?100cos2?fct?30cos2?f1cos2?fct?20cos6?f1tcos2?fct　　　?100cos2?fct?15[cos2?(fc?f1)t?cos2?(fc?f1)t]　　　　　　　　　?10[cos2?(fc?3f1)t?cos2?(fc?3f1)t]调制信号与调幅波的频谱分别如下图所示。

ReX(f) 10 －1.5

15

0

100

15

10 1.5

f (kHz)

－0.5 0.5

ReUy(f) 50 5 -11.5 7.5 -10.5 7.5 -10 -9.5 5 -8.5 0 5 8.5 7.5 9.5 10 50 7.5 10.5 5 11.5 f (kHz)

解：

1）各环节输出信号的时域波形图如下：

27

x(t)0xm(t)x’m(t)x‘’m(t)x'(t)0t0x(t)电桥放大器t相敏检波y(t)0tt0t低通滤波显示记录电阻应变片载波振荡器t动态电阻应变仪方框图2）各环节输出信号的频谱图 jsin2?ft?[?(f?f0)??(f?f0)]信号的调制： 02jx(t)sin2?f0t?[X(f)??(f?f0)?X(f)??(f?f0)]2j?[X(f?f0)?X(f?f0)]2信号的解调： x(t)sin2?f0t?sin2?f0t?1x(t)?1x(t)cos4?f0t22x(t)sin2?f0t?sin2?f0t?F[x(t)sin2?f0t]?F[sin2?f0t]jj?[X(f?f0)?X(f?f0)]?[?(f?f0)??(f?f0)]221?[2X(f)?X(f?2f0)?X(f?2f0)]4

x(t)调制器y(t)xm(t)= x(t) sin2?f0tY(f)01/21/2f0f?f0X(f)1?fm0fm1/2f0fXm(f)= X(f) ?Y(f)1/2?f调幅过程频谱图0028 f xm(t)调幅波乘法器载波y(t)Xm(f)1/2低通滤波同步解调1/2x’(t)?f1/200Y(f)1/2f0f?f同步解调1/400f01/2fmfXm(f) ?Y(f)1/42 f0?2 f0?fm0X’(f)低通滤波1/2fmfc2 f0?2 f0x(t)调制器y(t)?fc?fm0xm(t)= x(t) sin2?f0tImY(f)f001/2?f0X(f)1-1/2f?f1/2m0fmfImXm(f)f0?f调幅过程频谱图0029 -1/2f

低通滤波同步解调1/2xm(t)调幅波乘法器载波y(t)ImXm(f)低通滤波同步解调x’(t)?f1/200ImY(f)0f0f0-1/2f?f0-1/2-1/2fRe[Xm(f) ?Y(f)]2 f0-1/4?2 f0-1/4?fm0fmReX’(f)1/2fmfc2 f0?f?2 f0m?fc0

解：

uy(t)??R1u0?cos2?ftsin2?f0t 4R04根据　x(t)y(t)?X(f)*Y(f)jsin2?f0t?[?(f?f0)??(f?f0)]2 j　　　x(t)sin2?f0t?[X(f)??(f?f0)?X(f)??(f?f0)] 2得电桥输出电压的傅里叶变换：

30

Uy(f)?1FT[?R(t)sin2?f0t]4R0j　　　?[?R(t)?(f?f0)??R(t))?(f?f0)]　8R0

电桥输出信号的频谱，可以看成是?R(t)的频谱移动到±f0处。 电桥输入与输出信号的频谱图如下图所示。

Re?R(f) R0/2 -f 0 f f

ImUy(f) 1/16 f0-f -(f0+f) -(f0-f) 0 -1/16 f0+f f

附 注：常用公式

常用三角函数公式：

11sin?cos??[sin(???)?sin(???)],　　cos?cos??[cos(???)?cos(???)] 22cos(???)＝cos?cos??sin?sin?,　　　sin(???)＝sin?cos??cos?sin?（1）傅里叶级数的三角函数展开：

x(t)?a0??(ancosn?0t?bnsinn?0t)?A0??Ansin(n?0t??n)n?1n?1??1a0?T0

31 ?T0/2?T0/2x(t)dt an?2T0?T0/2?T0/2x(t)cosn?0tdtAn?22an?bn?n?arctg(an)bn

（2）三角函数是正交函数

?t0?T1t0cosn?1t.sinm?1t.dt?0??t0?T1t0?T21sinn?1tsinm?1tdt???0?T21cosn?1tcosm?1tdt???0(m?n)(m?n)(m?n)(m?n)

t0?T1t0（3）欧拉公式

e?jn?0t?cosn?0t?jsinn?0tcosn?0t?1?jn?0tjn?0t(e?e) 2j?jn?0t sinn?0t?(e?ejn?0t)2（4）傅里叶级数的复指数展开：

x(t)?C0??(C?nen?1??jn?0t?Cnejn?0t)?n?????Cne?jn?0t

Cn?ReCn?jImCn?Cnej?nCn?(ReCn)2?(ImCn)2?n?arctgImCnReCn

（5）复指数与三角函数展开式之间的关系如下： C0 =a0 ReCN =an/2 CN =(an-jbn)/2 C-N =(an+jbn)/2 ImCN =-bn/2 32 C0?A0?a01122an?bn?An 22ICb?n?arctgmn?arctg(?n)ReCnanCn?

（6）δ函数的部分性质：

x(t)??(t)?x(t)x(t)??(t?t0)?x(t?t0)X(f)??(f)?X(f)X(f)??(f?f0)?X(f?f0)

?(t?t0)?e?j2?fte?j2?f0t0??(f?f0) （7）正余弦信号的频谱 　　　x(t)y(t)?X(f)*Y(f)

j[?(f?f0)??(f?f0)]21cos2?f0t?[?(f?f0)??(f?f0)]2sin2?f0t?jj　　　 x(t)sin2?f0t?[X(f)??(f?f0)?X(f)??(f?f0)]?[X(f?f0)?X(f?f0)]2211　　　x(t)cos2?f0t?[X(f)??(f?f0)?X(f)??(f?f0)]?[X(f?f0)?X(f?f0)]2211　　　[1?x(t)]cos2?f0t?[?(f?f0)??(f?f0)]?[X(f?f0)?X(f?f0)]22 33

1 0 1/2 -?0 0 x(t)=cos?0t 1 t cnR 1/2 x(t)=sin?0t 0 cnR t ?0 cnI ? -?0 1/2 0 cnI 0 |cn| 0 ?0 ? ?0 ? -1/2 1/2 -?0 1/2 -?0 0 |cn| 0 ?0 1/2 ? -?0 1/2 ?0 ? -?0 ?0 ? 双边幅频谱 An 1 双边幅频谱 An 1 0 ?0 ? 0 ?0 ? 单边幅频谱 单边幅频谱 （8）傅里叶变换对：

X(?)?????x(t)e?j?tdt???1x(t)?2?或

?X(?)ej?td?X(f)??x(t)?????x(t)e?j2?ftdtX(f)ej2?ftdf???x(t)

FT IFT

X(?)

34

（9）对周期信号有：

均值：?x?1T0?T00x(t)dt绝对均值：?x1?T0?T00x(t)dt1?T0有效值（均方根值）：xrms1均方值:　??(xrms)?T02x2?T00x(t)dt2

?T00x2(t)dt22??（10）随机信号的均值?x、方差x、均方值x

? 均值（数学期望）――常值（稳定）分量

1T?x?lim?0x(t)dt?E[x]T??T

其中x(t)为样本函数，T为观测的时间历程。 ? 方差－－波动分量

2?x1T?lim?0?x(t)??x?2dt?E?x(t)??x?2T??T

方差的正平方根称为标准差。 ? 均方值――随机信号的强度

2?x1T?lim?0x(t)2dt?E[x(t)2] T??T均方值的正平方根称为均方根值。

222 ?x??x??x22当?x=0时，?x??x

（10）自（互）相关函数、相关系数

Rx(?)?limT???T?Tx(t)x(t??)dt

35

?xy?相关系数 ?xy(?)??x?y

E[(x??x)(y??y)]E?(x??x)?E(y??y)2??2

1Tlim[x(t)??x][x(t??)??x]dtT??T?0?x(?)?2?x1T2lim?x(t)x(t??)dt??xT??T0?2?x

自相关函数

1TRx(?)?lim?x(t)x(t??)dt

T??T0?x(?)?2Rx(?)??x?2x

周期信号：

1TRx(?)??x(t)x(t??)dt

T0非周期信号：

自相关函数的性质：

Rx(?)?????x(t)x(t??)dt

自相关函数为实偶函数 Rx(?)?Rx(??)

互相关函数

Rx(0)?lim1T??2T?T?T22x2(t)dt??x??x2222?x??x?Rx(?)??x??x2Rx(???)??x?x(???)?0周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数

Rxy(?)?lim1Tx(t)y(t??)dt 0T??T?1Tlim[(x(t)??x)(y(t??)??x)]dt0T??T??xy(?)??x?y1x(t)y(t??)dt??x?yR(?)???0T??T?xyxy??limT

?x?y?x?y 36

随机信号的自功率谱密度函数（自谱）为：

Sx(f)??Rx(?)e????j2?f?d?i2?f?

其逆变换为

两随机信号的互功率谱密度函数（互谱）为：

Rx(?)??Sx(f)e???df

Sx(f)??Rx(?)e????j2?f?d?i2?f?其逆变换为

Rx(?)??Sx(f)e???df

自功率谱密度函数 能谱之间的关系 Sx(f)和幅值谱 X(f) 或 |X(f)|2

Sx?lim单边谱和双边谱

1X?f?T??2T?2Gx(f)?2Sx(f)|X(f)|及系统频率响应函数H（f）的关系 Sx(f)与幅值谱 自功率谱密度

Y(f)X?(f)Sxy(f)Gxy(f)H(f)????X(f)X?(f)Sxx(f)Gxx(f)H(f)?Sy(f)Sx(f)输入/输出自功率谱密度函数与系统频率响应函数关系

Sy(f)?|H(f)|2Sx(f) Gy(f)?|H(f)|2Gx(f)

单输入、单输出的理想线性系统

Sxy(f)?H(f)Sx(f)

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