新课标2012年高考理科数学中档解答题强化训练题（含详细答案）

新课标2012年高考理科数学中档解答题强化训练（含答案）（一）

1已知公差不为零的等差数列{an}的前6项和为60，且a6是a1和a21的等比中项。 （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足:bn?1(n?N*),求数列{bn}的前n项和Sn.

an?an?12在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC?3acosB?ccosB. （1）求cosB的值；

（2）若BA?BC?2，且b?22，求a和c的值. 3设?an?为等比数列，且其满足：Sn?2n?a. （1）求?an?的通项公式； （2）数列?bn?的通项公式为bn??4已知函数f(x)?1?x?lnx axn，求数列?bn?的前n项和Tn. an（1）若函数f(x)在[1,??)上为增函数，求正实数a的取值范围;

1（2）当a?1时，求f(x)在[,2]上的最大值和最小值;

2新课标高考中档解答题强化训练答案 （一）

1解：（I）设{an}的公差为d，

?6a1?15d?60?a1?5??an?2n?3 则??2d?2?(a1?5d)?a1(a1?20d)? （II）bn?1111?(?),

an?an?12anan?1∴Sn=1/a1a2+1/a2a3+1/a3a4+·······+1/anan+1

Sn?111n(?)? 2a1an?15(2n?5)2解：由正弦定理得a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC，

则2RsinBcosC?6RsinAcosB?2RsinCcosB,故sinBcosC?3sinAcosB?sinCcosB,可得sinBcosC?sinCcosB?3sinAcosB,即sin(B?C)?3sinAcosB,可得sinA?3sinAcosB.又sinA?0,1因此cosB?.

3

（II）解：由BA?BC?2,可得acosB?2，

1又cosB?,故ac?6,3由b2?a2?c2?2accosB, 可得a2?c2?12,所以(a?c)2?0,即a?c,所以a?c?6.

3解（1）n=1时，a1?2?a

n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?1

∵?an?为等比数列 ∴a1?2?a?21?1?1∴a??1 ∴?an?的通项公式为an?2n?1 （2）bn??nn??n?1 an2 Tn??(1?1?2?111?3?2??n?n?1) 22211111Tn??[1??2?2??(n?1)n?1?n?n] 2222211111 ②-①得?Tn?1??2???n?1?n?n

22222n?2?4 n?121?xax?14解（1）∵ f(x)??lnx ∴ f?(x)??a?0?

axax2ax?1∵ 函数f(x)在?1,???上为增函数∴ f?(x)??0对x??1,???恒成立， 2ax1∴ ax?1?0对x??1,???恒成立，即a?对x??1,???恒成立∴ a?1

xx?1（2）当a?1时，f?(x)?2，

x∴Tn?

?1??1?∴ 当x??,1?时，f?(x)?0，故f(x)在x??,1?上单调递减；

?2??2?当x??1,2?时，f?(x)?0，故f(x)在x??1,2?上单调递增，

?1?∴ f(x)在区间?,2?上有唯一极小值点，故f(x)min?f(x)极小值?f?1??0

?2?1113lne3?ln16又 f()?1?ln2,f(2)???ln2,f()?f(2)??2ln2?

22222?1?∵ e3?16 ∴ f???f?2??0,即f?2??1????f?2? ?2?

?1??1?∴ f(x)在区间?,2?上的最大值f(x)max?f???1?ln2

?2??2??1?综上可知，函数f(x)在?,2?上的最大值是1?ln2，最小值是0.:学.科.网]

?2?新课标2012年高考理科数学中档解答题强化训练（含答案）（二）

tanA2c1在?ABC中，角A,B,C所列边分别为a,b,c，且1??。

tanBb (Ⅰ)求角A；

(Ⅱ)若a?3，试判断bc取得最大值时?ABC形状。

2如图，在五面体ABCDEF中，FA?

平面ABCD,AD//BC//FE,AB?AD,M为EC的中 点，AF?AB?BC?FE?1AD。 2(Ⅰ)求异面直线BF与DE所成的角的大小； (Ⅱ)证明：平面AMD?平面CDE； (Ⅲ)求二面角A?CD?E的余弦值。

3已知当x?5时，二次函数f(x)?ax?bx?c取得最小值，等差数列{an} 的前n项和Sn?f(n),a2??7 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)令bn?2an9{b}T，数列的前项和为，证明。 T??nnnnn224设函数f(x)?lnx?ax,(a?R) (Ⅰ)判断函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)当lnx?ax(0,??)上恒成立时，求a的取值范围；

1n新课标高考中档解答题强化训练答案 （二）

tanA2csinAcosB2sinC1解：(Ⅰ) 1???1??, ………………………………2分

tanBbsinBcosAsinBsinBcosA?sinAcosB2sinC即?,

sinBcosAsinBsin(A?B)2sinC1??,?cosA?, ………………………………………………4分 sinBcosAsinB2(Ⅲ)证明：(1?)n?e(n?N+)

?0?A??,?A??32. ……………………………………………………………………6分

22(Ⅱ)在?ABC中，a?b?c?2bccosA,且a?3,

1?(3)2?b2?c2?2bc??b2?c2?bc,

2?b2?c2?2bc,?3?2bc?bc,

即bc?3，当且仅当b?c?又a?3时，bc取得最大值， ………………………………9分

3,

故bc取得最大值时，?ABC为等边三角形 ……………………………………………12分 2。解：如图建立空间直角坐标系，设AF?1,则

F(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,2,0),E(0,1,1),

C(1,1,0)

因为M为EC的中点，则M(,1,)

????????????????BF?DE1??????,??60? ………………4分 (Ⅰ) BF?(?1,0,1),DE?(0,?1,1),cos?????|BF||DE|2???????????????????????11????????????(Ⅱ) AM?(,1,),AD?(0,2,0),CE?BF?(?1,0,1)，则CE?AM?0,CE?AM?0

22所以CE?平面ADM，得平面AMD?平面CDE； ………………………………8分

?????(Ⅲ)由图可得平面ACD的法向量为n1?(0,0,1)，设平面CDE的法向量为n2?(x,y,z)

1212??????????????x?z?0??CE?BF?(?1,0,1),DC?(1,?1,0),列方程组的 得n2?(1,1,1)

x?y?0?????n?n23??cos????1?? ……………………………………………………………………12分 |n1||n2|3

3解：(Ⅰ)由题意得：?b?5,an?Sn?Sn?1?an2?bn?c?a(n?1)2?b(n?1)?c?2an 2a?b?a?2an?11a.?a2??7,?得a?1 ………………………………………………4分 ?an?2n?11………………………………………………………………………………6分

2n?11, 2n?9?72n?11 ① ?Tn??2???n2221?92n?132n?11Tn?2????n?1 ② 222n2(Ⅱ) bn?①-②得

1?9?222n?11Tn??2???n?n?12222211(1?n?1)92n?112???2?n?1

1221?2712n?11???n?1?n?12222n?7 ………………………………………………………………………10分 ?Tn??7?n29T1??

2979T2?????

2229759T3??????

22222n?72n?79当n?4时， ?0,?T??7???7??nnn2229?Tn?? …………………………………………………………………………………12分

214 解：f?(x)??a …………………………………………………………………………2分

x1(Ⅰ) ?x?0所以当a?0时，f?(x)??a?0,

xf(x)在(0,??)是增函数 …………………………………………………………………4分

111?a?0,f(x)在(,??)上f?(x)??a?0, xax11故f(x)在(0,)上是增函数，f(x)在(,??)上是减函数……………………………6分

aa当a?0时，f(x)在(0,)上f?(x)?(Ⅱ)由(Ⅰ)知当a?0时，f(x)?lnx?ax?0在(0,??)上不恒成立；……………8分

1a

当a?0时，f(x)在x?1111处取得最大值为ln?1,因此ln?1?0,即a?时， aaaef(x)?lnx?ax?0在(0,??)上恒成立，即lnx?ax在(0,??)上恒成立。

所以当lnx?ax在(0,??)上恒成立时，a的取值范围为(,??)……………………10分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知当a?1时，f(x)?lnx?x的最大值为?1 所以lnx?x?1（当且仅当x?1时等号成立），令x?1?1e1?1(n?N+)，则得 n111ln(1?)?,即nln(1?)?1,…………………………………………………………12分

nnn1从而得ln(1?)n?1?lne

n1n由函数y?lnx的单调性得(1?)?e(n?N+)………………………………………14分

n

新课标2012年高考理科数学中档解答题强化训练（含答案）（三）

1（本小题满分12分）在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别为a、b、c，直线

直线l2:(b?c?bc)x?ay?4?0互相平行(其中a ≠4) （I）求角A的值， （II）若B??22与

??2??2A?C,?cos2B的取值范围 ?B,求sin232??2．（本小题满分12分）设数列｛an｝的前n项和为Sn，a1?1,Sn?nan?2n(n?1). （I）求数列数列｛an｝的通项公式an， （II）设数列{111}的前n项和为Tn，求证?Tn?. anan?1543．（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA ?平面ABCD, AD//BC//FE， AB?AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=

1AD 2 （I）求证：BF⊥DM

（Ⅱ）求二面角A-CD-E的余弦值。

4设函数， f（x）=x2－alnx，g（x）=x2－x+m，令F（x）=f（x）－g（x）

（Ⅰ）当m=0，x∈（1，+∞）时，试求实数a的取值范围使得F（x）的图象恒在x轴

上方

（Ⅱ）当a=2时，若函数F（x）在[1，3]上恰好有两个不同零点，求实数m的取值范围

（Ⅲ）是否存在实数a的值，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出a的值，

若不存在，说明理由。

新课标高考中档解答题强化训练答案 （三）

1．解：（I）l2221//l2,得a?b?c?bc(a?4)

即b2?c2?a2?bc

?cosA?b2?c2?a2bc12bc?2bc?2

?A?(0,?),?A??3.

（II）sin2A?C2?cos2B?cos2B2?2cos2B?1 ?cosB?12?2cos2B?1?2cos2B?12cosB?12

?2(cosB?1178)2?32

?B????2???2,3??,

?cosB???1???2,0??

?2(cosB?1)217?171?8?32????32,?4??

即sin2A?C?171?2?cos2B的取值范围为???32,?4?? 2．解：（I）由Sn?nan?2n(n?1)

得an?1?Sn?1?Sn?(n?1)an?1?nan?4n 即an?1?an?4

?数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列 ?an?4n?3.

（II）T1n?a???1 1a2anan?1?1111?5?5?9?9?13???1(4n?3)?(4n?1) ?14(1?11111115?5?9?9?13???4n?3?4n?1)

…………2分

…………5分

…………8分

…………9分

…………11分

…………12分

…………4分

…………6分

?111(1?)? 44n?14 …………10分

又易知Tn单调递增，

1, 511得?Tn?. 54故Tn?T1? …………12分

3．解：设P为AD的中点， 连结EP，PC，

则由已知EF//AP//BC

????∴EP=PC，FA//EP，EC//BF，AB//PC 又FA⊥平面ABCD， ∴EP⊥平面ABCD PC、AD?平面ABCD 故EP⊥PC，EP⊥AD

设FA=a，则EP=PC=PD=a

…………2分

?ED?CD?2a

…………5分

∵M为EC的中点， ∴DM⊥CE ∵BF//EC ∴DM⊥BF。 （II）解：取CD的中点Q，连结PQ，EQ

由（I）知PC=PD，CE=DE ∴PQ⊥CD，EQ⊥CD

∴∠EQP为二面角A—CD—E的平面角 由（I）可得，在等边?ECD中

…………6分

…………10分

EQ?6a 22a 2PO3? EQ3在等腰Rt?CPD中,PQ?在Rt?EPQ中,cos?EQP?故二面角A—CD—E的余弦值为

3. 3 …………12分

4．解：（I）当m=0时，函数F（x）的图象恒在x轴上方等价于

F(x)?0在(1,??)上恒成立

由m=0，F(x)?0可得?alnx??x

?x?(1,??)

x lnxx记?(x)?,则F(x)?0在(1,??)恒成立

lnx则a?等价于a??(x)min(x?(1,??)) 又?'(x)?

lnx?1 2lnx?当x?(1,e)时;?'(x)?0;当x?(e,??)时,?'(x)?0

故?(x)在x?e处取得极小值， 也是最小值，即?(x)min??(e)?e

?a?e

故a的取值范围是(??,e).

…………5分

（II）函数F(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程

x?2lnx?m,

在[1，3]上恰有两个相异实根。 令h(x)?x?2lnx,则h'(x)?1?2x?2 ?xx当x??1,2?时,h'(x)?0,当x??2,3?时,h'(x)?0 故在[1，3]上h(x)min?h(2)?2?ln2 又h(1)?1,h(3)?3?2ln3

…………8分

?h(1)?h(3)

?只需h(2)?m?h(3)

故m的取值范围是?2?2ln2,3?2ln3?. （III）存在a?…………9分

1, 2使得函数f(x)和函数g(x)在公共定义域上具有相同的单调性。…………10分 因为f(x)和g(x)的公共定义域为(0,??)

由g(x)?x?x?m知,

21g(x)在(0,??)上单调递增区间是(,??)，

21单调递减区间是(0,)

2a2x2?a由f(x)?x?alnx,f'(x)?2x??

xx2…………11分

若a?0,则f(x)'?0，

函数f(x)在(0,??)上单调递增，不合题意； 若a?0,由f(x)'?0可得2x?a?0,

2解得x?a 2由f'(x)?0可得0?x?a 2a,??)， 2故a?0时,函数f（x）的单调递增区间为(单调递减区间为(0,a) 2故只需

a11?,解之得a?. 222新课标2012年高考理科数学中档解答题强化训练（含答案）（四）

1/已知函数f(x)?sin(x?a)?3cos(x?a),其中0?a??,且对于任意实数x,f(x)?f(?x)恒成立。 （1）求a的值；

（2）求函数f(x)的最大值和单调递增区间。

2ttp如图，在三棱锥P—ABC中，已知PC⊥平面ABC，点C在平面PBA内的射影D在直线PB上。

（1）求证：AB⊥平面PBC；

（2）设AB=BC，直线PA与平面ABC所成的角为45?，求异面直线AP与BC所成的角； （3）在（2）的条件下，求二面角C—PA—B的余弦值。

3.已知等比数列{an}中，a2,a3,a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a1? （1）求数列{an}的通项公式；

（2）已知数列{bn}满足bn?log1an,Sn是数列{bn}的前n项和，求证：当n?5时,anSn?1.

221,公比q?1. 24已知函数f(x)??x?ax?4(a?R),f'(x)是f(x)的导函数。

（1）当a=2时，对于任意的m?[?1,1],n?[?1,1],求f(m)?f'(n)的最小值； （2）若存在x0?(0,??)，使f(x0)?0,求a的取值范围。

32新课标高考中档解答题强化训练答案 （四）

1．解：（1）由已知得f(x)?f(?x).

即sin(x?a)?3cos(x?a)?sin(?x?a)?3cos(?x?a).

xcosa??23sinxsina,(coas?3sina)sinx?a. 2sin所以cosa?3sina?0,于是tana??又因为0?a??,所以a? （1）f(x)?sin(x?3. 3

…………4分 …………5分

5? 65?5?)?3cos(x?) 665?5?5?5? ?sinxcos?cosxsin?3cosxcos?3sinxsin6666 …………8分 ??cosx.

…………10分 …………12分

由此可知，函数f(x)的最大值为1。

单调递增区间为：[2k?,2k???](k?Z). 2．解：（1）由于PC⊥平面ABC， AB?平面ABC,所以AB?PC,

由于点C在平面PBA内的射影在直线PB上，

所以CD⊥平面PAB。

又因为AB?平面PBA,所以AB?CD. 因此AB⊥平面PCB。 （2）因为PC⊥平面ABC，

…………3分

所以?PAC为直线PC与平面ABC所成的角， 于是?PAC?45?，设AB=BC=1， 则PC=AC=2

以B为原点建立如图所示空间直角坐标系，

则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），P(1,0,2)

AP?(1,?1,2),BC?(1,0,0),BA?(0,1,0)…………5分

因为cos?AP,BC??AP?BC|AP|?|BC|?12, 所以异面直线AP与BC所成的角为60? …………7分 （3）取AC的中点E，连结BE，则BE?(1,122,0). 因为AB=BC，所以BE⊥AC。 又因为平面PCA⊥平面ABC， 所以BE⊥平面PAC。

因此，BE是平面PAC的一个法向量。 设平面PAB的一个法向量为n?(x,y,z),

则由???n?BA,得?y?0,?,?

?n?AP?x?y?2z?0 取z=1，得??y?0,?x??2

因此，n?(?2,0,1)

?2 于是cos(n,BE)?n?BE2|n|?|BE|?2?33. 2?3 又因为二面角C—PA—B为锐角。 故所求二面角的余弦值为

33. 3．解：（1）由已知得a2?a3?2(a3?a4). 从而得2q2?3q?1?0 解得q?12或q?1（舍去）

…………8分

…………10分

…………12分

…………4分

所以a4?()n.

12 …………6分

（2）由于bn?2log1()?2n?Sn?n(n?1),anSn?2n12nn(n?1). n2 因此所证不等式等价于：2?n(n?1)(n?5.)

①当n=5时，因为左边=32，右边=30，所以不等式成立； ②假设n?k(k?5)时不等式成立，即2?k(k?1), 两边同乘以2得2k?1k?(k?1)(k?2).

这说明当n=k+1时也不等式成立。 由①②知，当n?5时2?n(n?1)成立。 因此，当n?5时,anSn?1成立。

32n

2…………12分

4.解：（1）由题意知f(x)??x?2x?4,f'(x)??3x?4x.

令f'(x)?0,得x?0或.

当x在[-1，1]上变化时，f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：

x -1 -7 -1 （-1，0） - ↓ 0 0 -4 （0，1） + ↑ 1 1 -3 43f'(x) f(x) ?对于m?[?1,1],f(m)的最小值为f(0)??4, ?f'(x)??3x2?4x的对称轴为x?

2,且抛物线开口向下 2?对于n?[?1,1],f'(n)的最小值为f'(?1)??7. ?f(m)?f'(n)的最小值为-11。

（2）?f'(x)??3x(x?

…………6分

2a) 3①若a?0,当x?0时,f'(x)?0

?f(x)在?0,???上单调递减，

又f(0)??4,则当x?0时,f(x)??4.

?当a?0时,不存在x0?0,使f(x0)?0.

②若a?0,则当0?x?当x?2a时,f'(x)?0, 32a时,f'(x)?0. 3?2??2a?从而f(x)在?0,?上单调递增，在?,???上单调递减，

?3??3??当x?(0,??)时,f(x)max2a8a34a2?f()????4.

32794a3?4?0,即a3?27,解得a?3. 根据题意，27综上，a的取值范围是(3,??).

…………12分

新课标2012年高考理科数学中档解答题强化训练（含答案）（五）

1.如图，在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴的正半轴上，直线AB的倾斜角为

3?，|OB|?2，设4?3?AOB??，??(,?)。

24 （1）用θ表示点B的坐标及|OA|。 （2）若tan???

2.四棱锥P—ABCD中，侧面PAD?底面ABCD，底面ABCD是矩形，BC=2CD=2，又PA=PD，?APD?90?,E、G分别是BC、PE的中点。 （1）求证：AD?PE；

（2）求二面角E—AD—G的大小。

3已知函数f(x)?xln(1?x)?a(x?1)，其中a为实常数。 （1）当x??1,???时，f?(x)?0恒成立，求a的取值范围；

4,求OA?OB的值。 3

（2）求函数g(x)?f?(x)?

ax的单调区间。 1?x4已知数列{an}满足a1?1,a2?1,且[3?(?1)n]an?2?2an?2[(?1)n?1] (n?1,2,3,?) 2 （1）求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式；

（2）令bn?a2n?1?a2n，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证Tn?3.

新课标高考中档解答题强化训练答案 （五）

1．解：（1）由三角函数的定义，得点B的坐标为(2cos?,2sin?). 2分

在?AOB中,|OB|?2,?BAO?由正弦定得，得

?4,?B????3??????, 44|OB|sin?4?|OA| 4分 sinB 即

222?|OA|

3sin(???)4

所以|OA|?22sin(???) 6分

注：若用直线AB方程求得|AO|?2(sin??cos?)也得分。

34 （2）由（1）得OA?OB?|OA?|?|OB|cos?

3?42sin(???)?cos?. 8分

44?3因为tan???,??(,?)

32443所以sin??,cos??? 10分

55333又sin(???)?sin??cos??cos??sin?

444?23242?(?)?(?)??. 2525102312?(?)??. 12分 10525

所以OA?OB?42?2．解：解法一：

（1）如图，取AD的中点O，连结OP，OE

?PA?PD,?OP?AD 2分

又E是BC的中点，

?OE//AB,?OE?AD. 4分

又OP∩OE=0， ?AD?平面OPE。 而PE?平面OPE， ?AD?PE 6分

（2）取OE的中点F，连结FG，OG， 则由（1）易知AD?OG，又OE?AD， ??GOE就是二面角E—AD—G的平面角 9分

?FG?11OP?, 2211OF?CD?,??GOE?45?

22 即二面角E—AD—G的大小为45°。 12分

解法二：

（1）同解法一。

（2）建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0，1），E（0，1，0）

1111?G(0,,),DA?(2,0,0),DG?(1,,). 8分

2222设平面ADG的法向量为n?(x,y,z)

??n?DA?0由?， ??n?DG?0?2x?0?得? 11x?y?z?0?22?

?n?(0,?1,1) 10分

又平面EAD的一个法向量为OP?(0,0,1) 又因为cos?n,OP??n?OP|n|?|OP|

?11?2?2 11分 2?二面角E—AD—G的大小为45°。 12分

x3．解：（1）由题意知：f?(x)?ln(1?x)??a?0

1?xx 则a?ln(1?x)?, 2分

1?x

令h(x)?ln(1?x)?x11,h?(x)??1?x1?x(1?x)2

?x??1,???,?h?(x)?0

即h(x)在[1，+∞）上单调递增 4分

?a?h(1)?1?ln2, 21?a的取值范围是(??,?ln2). 6分

2(1?a)x （2）由（1）知g(x)?ln(1?x)??a,x?(?1,??)

1?x

则g?(x)?11?ax?2?a 7分 ??1?x(1?x)2(1?x)2

①当a?1，x?(?1,a?2)时，g?(x)?0,g(x)在(?1,a?2)上单调递减，

x?(a?2,??)时,g?(x)?0,g(x)在(a?2,??)上单调递增 9分

②当a?1时,g?(x)?0,g(x)在(?1,??)上单调递增 11

综上所述，当a?1时,g(x)的增区间为(a?2,??),减区间为(?1,a?2) 当a?1时,g(x)的增区间为(?1,??) 12分

4．解：（1）分别令n?1,2,3,4可求得：

a3?3,a4?11,a5?5,a6? 2分 48*当n为奇数时，不妨设n?2m?1,m?N， 则a2m?1?a2m?1?2.

?{a2m?1}为等差数列，

?a2m?1?1?(m?1)?2?2m?1

即am?n. 4分

当n为偶数时，设n?2m,m?N， 则a2m?2?a2m?0.

*?{a2m}为等比数列，

a2m?11m?11?()?m， 222n

1故an?()2.

2?n,(n为奇)?综上所述，an??1n 6分

2?(),(n为偶数)?2

（2）bn?a2n?1?a2n?(2n?1)?

12n

1111?3?2?5?3???(2n?1)?n 8分 222211111?Tn?1?2?3?2???(2n?3)?n?(2n?1)?n， 22222111111两式相减：Tn??2[2?3???n]?(2n?1)?n?1

22222211(1?n?1)112??2?4?(2n?1)?n?1 10分

1221?22n?3， ?Tn?3?n2?Tn?1?故Tn?3. 12分

?n,(n为奇)?注：若求出a3,a4,a5,a6猜想出an??1n

2?(),(n为偶数)?2 （1）问给2分，在上面基础上（2）问解答正确给8分。

新课标2012年高考理科数学中档解答题强化训练（含答案）（六）

1已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,0????)为偶函数，其图象上相邻的一个最高点和一个 最低点之间的距离为

4??2.

（1）求f(x)的解析式；

（2）若f(???3)?22??(????0)，求sin(2??)的值。 3332.如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为2a的菱形，且SA?SC?2aSB?SD?2a，点E是SC上的点，且

SE??a(0???2).

（1）求证：对任意的??(0,2]，都有BD?AE；

（2）若SC?平面BED，求直线SA与平面BED所成角的大小。

3已知各项全不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn? （1）求数列{an}的通项公式； （2）试求所有的正整数m，使得

1anan?1(n?N*)，其中a1?1. 2am?1am?2为数列{Sn}中的项。 am4已知函数f(x)?ln(x?1)?x.

a(x?1) （1）若函数f(x)在[0，+∞）内为增函数，求正实数a的取值范围； （2）当a?1时，求f(x)在[?1,1]上的最大值和最小值； 21111??????lnn. 234n *（3）试利用（1）的结论，证明：对于大于1的任意正整数n，都有

新课标高考中档解答题强化训练答案 （六）

1解：（1）设最高点为(x1,1)，相邻的最低点为(x2,?1)，则

|x1?x2|?T(T?0) 2分 2

T2?4?4??2 由其图象得4?T?2? 3分

2?2?由T?，得???1

?2??f(x)?sin(x??) 4分 ?f(x)是偶函数，

?sin(?x??)?sin(x??)，

得2sinxcox??0

?cos??0,??k?????k???2,k?Z.

?2,k?Z. 5分

又0????,????2，

?f(x)?sin(x??2)?cosx. 6分

注：由f(x)是偶函数， 直接得??k???2,k?Z的不扣分。

（2）?cos(???3)?22 3

?cos(???3)?cos(???6??2)?22 7分 3

?22 8分 ?sin(??)??63???3???0,???2??????. 9分

66??1?cos(??)?. 10分

63?sin(2??)?2sin(??)cos(??) 11分 366?2?(?221)? 33???

??42 12分 9

2．解：（1）连结BD，AC， 设BD与AC交于O。 1分 由底面是菱形，得BD?AC. 2分 ?SB?SD，O为BD中点 ?BD?SO. 3分 又AC?SO?O， ?BD?面SAC 4分 又AE?面SAC， ?BD?AE. 5分

（2）取SC的中点F，连结OF，OE，

?SA//OF. ?OF与平面EDB所成的角就是SA与平面EDB所成的角 6分 ?SC?平面BED， ?FE?面BED，E为垂足， ??EOF为所求角 7分

在等腰?CSB中，SC?BC?2a,SB?得底边SB上的高为CH?2a

7a. 2

?SC?BE?SB?CH

2a?7a2?7a 9分 2

?BE?2a

71?在Rt?BES中,SE?2a2?a2?a,

42

11?EF?a?a?a. 10分

22在Rt?FEO中，OF?a,?sin?EOF?即直线SA与平面BED所成角为

EF1?. 11分 OF2?. 12分 6 （2）法二：由（1）知BD?SO， 同理可证AC?SO， ?SO?平面AC， 取AC和BD的交点O为原点建立如图所示的坐标系， 设SO?x，

则OA?4a2?x2,OB?2a2?x2.

?OA?OB,AB?2a， ?(4a2?x2)?(2a2?x2)?4a2

解得x?a.

?OA?3a，

则A(3a,0,0)

C(?3a,0,0),S(0,0,a) 7分

?SC?平面EBD，

?????SC是平面EBD的法向量。

?????SC?(?3a,0,?a) ????SA?(3a,0,?a)

设SA与平面BED所成角为?，则

???????|SC?SA||1?3a2?a2|1?????sin??????? 11分 |SC|?|SA|3?1a?3?1a2即SA与平面BED所成的角为

? 6

3．解：（1）Sn? 1anan?1 21n?1时，a1?a1a2,?a2?2. 1分

211n?2时，Sn?Sn?1?anan?1?an?1an

221?an?an(an?1?an?1), 3分

2?an?0,?an?1?an?1?2(n?2). 4分

令n?2m?1,(m?N*) 得a2m?1?1?2(m?1)?2m?1 令n?2m(m?N*) 得a2m?2?2(m?1)?2m.

故an?n. 6分

（2）?an?n

?Sn?1?2?3???n?n(n?1)2 7分

am?1am?2(m?1)(m?2)2?m2?3m?2m?m ?m?2m?3. 8分 2m必为正整数， ?m?1,2 9分

当m?1时，m?2m?3?6

由Sn(n?1)n?2?6.

得n?3,即am?1am?2a为数列{Sn}中第3项 m

故所求m?1,2. 12分

4.解：（1）?f(x)?ln(x?1)?xa(x?1)

分 11

?f?(x)?a(x?1)?1a(x?1)2(a?0)

?函数f(x)在[0，+∞）恒成立 2分

?a(x?1)?1?0对任意x??0,???恒成立，

即a?1x?1对任意x??0,???恒成立 3分 而当x??0,???时，(1x?1)max?1,

?a?1. 4分

2）当a?1，f?(x)?x(x?1)2 ?当x?????12,0???时，f?(x)?0,f(x)在??1???2,0??上单调递减， 当x??0,1?时，f?(x)?0,f(x)在（0，1]上单调递增 6分

?f(x)在[?12,1]上有唯一极小值点。

故f(x)min?f(0)?0 7分 又f(?1)?1?12ln2?1?ln2,f(1)??12?ln2 8分 f(?133?ln162)?f(1)?2?2ln2?lne3?ln162?2.

?e3?16,?f(?12)?f(1)?0，

即f(?12)?f(1). 9分

?f(x)在[?12,1]上的最大值为f(?12)?1?ln2.

综上，函数f(x)在[?12,1]上的最大值是1?ln2，最小值是0。 3）法一：用数学归纳法。 ①当n?2时，要证12?ln2，只要证ln4?1.显然成立。 11分 ②假设当n?k时，

不等式

1?13?14???1k?lnk.(k?1,k?N*2)成 立 则当n?k?1时， 11112?3?4???k?1k?1?lnk?1k?1. 12分 5分10分

（

（

要证lnk?1k?1?ln(k?1)成立， 只要证1k?1k?1?lnk， 即1k?1?ln(1?1k). 令1k?x?0，则上式化为 x1?x?ln(1?x)(x?0). 只要证：ln(1?x)?x1?x?0(*).

由（1）知，当a?1时，

f(x)?ln(1?x)?xx?1在[0，+∞）内是增函数， 故有f(x)?f(0)，

好ln(1?x)?xx?1,x??0,???成立， 而（*）中x?1k(k?1,k?N*),x?0

?ln(1?x)?x1?x?0，即（*）式成立，

?当n?k?1时，不等式成立，

由①②知对任意n?1的正整数不等式都成立。 14分 法二：由（1）知，当a?1时，

f(x)?ln(1?x)?xx?1在[0，+∞）上是增函数， 故有f(x)?f(0)， 即ln(1?x)?x1?x,x?[0,??)成立。 11分 令x?1n(n?N/)， 则x?0

?有ln(1?x)?x1?x， 即lnn?11n?n?1 12分 由此得ln21?12,ln3141n12?3,ln3?4,?,lnn?1?n,

则ln234n11?ln2?ln3???ln111n?1?2?3?4???n即得lnn?11112?3?4???n.

分

13

1111??????lnn. 14分 234n新课标2012年高考理科数学中档解答题强化训练（含答案）（七）

故对大于1的任意正整数n，都有1． 已知函数f(x)?4cos4x?2cos2x?1sin(?x)sin(?x)44??

(Ⅰ)求f(?11?)的值； 12(Ⅱ)当x?[0,?4)时，求gg(x)?1f(x)?sin2x的最大值和最小值。 22设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知。

a1?1,b1?3,a2?b2?8,T3?S3?15

(Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式；

(Ⅱ)若数列{cn}满足a1cn?a2cn?1???an?1c2?2n?1?n?2对任意n?N*都成立；求证：数列{cn}是等比数列。

3.如图，已知AB?平面BCE,CD//AB,?BCE是正三角 形，AB?BC?2CD。

(Ⅰ)在线段BE上是否存在一点F，使CF//平面ADE? (Ⅱ)求证：平面ADE?平面ABE；

(Ⅲ)求二面角A?DE?B的正切值。 4已知函数f(x)?a?xlna，其中a?(1,e] (Ⅰ)讨论f(x)的单调性；

(Ⅱ)求证：对?x1,x2?[?1,1]，都有|f(x1)?f(x2)|?e?2。

x新课标高考中档解答题强化训练答案 （七）

1解：（Ⅰ）f(x)?(1?cos2x)2?2cos2x?1sin(?x)sin(?x)442cos22x???cos22xsin(?x)cos(?x)44??

2cos22x??2cos2x…………………………………4分 ??cos2xsin(?2x)2 ?f(?11?11??)?2cos(?)?2cos?3……………………………………6分 12662sin(2x?) ……………………………………8分

4 (Ⅱ)g(x)?cos2x?sin2x??

?f(x)在(0,??)上递增，?f?(x)?1?2x?b?0对x?(0,??)恒成立 x11即b??2x对x?(0,??)恒成立，?只需b?(?2x)min ……………………………2分

xx21时取\?\?b?22， ?x?0,??2x?22 当且仅当x?2x?b的取值范围为(??,22] ……………………………………………………………4分

(Ⅱ)当a?1,b??1时，f(x)?lnx?x?x，其定义域是(0,??),

212x2?x?1(x?1)(2x?1)?f?(x)??2x?1????,……………………………………6分

xxx?x?0,?0?x?1时，f?(x)?0;当x?1时，f?(x)?0

?函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,??)上单调递减 ?当x?1时，函数f(x)取得最大值，其值为f(1)?ln1?12?1?0

当x?1时，f(x)?f(1),即f(x)?0

?函数f(x)只有一个零点 ……………………………………………………………9分

(Ⅲ)由已知得 f(x1)?lnx1?ax12?bx1?0,2f(x2)?lnx2?ax2?bx2?0,? lnx1?ax12?bx12lnx2?ax2?bx2两式相减，得

lnx1x?a(x1?x2)(x1?x2)?b(x1?x2)?ln1?(x1?x2)[a(x1?x2)?b], …………11分 x2x2由f?(x)?1?2ax?b及2x0?x1?x2，得 xf?(x0)?x1221?2ax0?b??[a(x1?x2)?b]??ln1 x0x1?x2x1?x2x1?x2x2x1?1)2(x?x)xx2x11?[12?ln1]?[?ln1]…………………………………12分 x1?x2x1?x2x2x1?x2(x1?1)x2x22(x12t?2(t?1)2?lnt(0?t?1),???(t)???0, ?(0,1),且?(t)?令t?2t?1t(t?1)x2??(t)在(0,1)上递减，??(t)??(1)?0

?x1?x2,?f?(x0)?0 ……………………………………………………………………14分

新课标2012年高考理科数学中档解答题强化训练（含答案）（九） 1已知向量m?(3sin2x?t,cosx)，n?(1,2cosx)，设函数f(x)?m?n.

?1(Ⅰ)若cos(2x?)?，且m?n，求实数t的值;

32(Ⅱ)在?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若f(A)?3,b?1,且?ABC的面积为

3,实数t?1,求边长2a的值.

2下图分别为三棱锥S?ABC的直观图与三视图，在直观图中，SA?SC，M、N分别为AB、SB的中点. （Ⅰ）求证：AC?SB;（Ⅱ）求二面角M?NC?B的余弦值. A

22?4已知各项均为正数的数列?an?满足an?1?2an?anan?1,且a2?a4?2a3?4,其中n?N.

SN22

正视图 侧视图

C4MB44俯视图

(Ⅰ)求数列?an?的通项公式;

(Ⅱ)设数列?bn?的前n项和为Tn,令bn?an,其中n?N?,试比较

2Tn?1?122log2bn?1?2与的大小,并加以证4Tn2log2bn?1

明.

5已知定义在正实数集上的函数f(x)?12x?2ex,g(x)?3e2lnx?b（其中e为常数，e?2.71828???）,2若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同. (Ⅰ)求实数b的值;

a?1?(Ⅱ)当x??,e?时,2(f(x)?2ex)?2(2g(x)?e2)?(a?2)x恒成立,求实数a的取值范围.

6e?e?新课标高考中档解答题强化训练答案 （九）

1解: (Ⅰ)由题意得m?n?(3sin2x?t)?2cos2x?2sin(2x?)?t?1?0…………3分

6所以t??2sin(2x?)?1??2cos(2x?)?1??2…………………6分

63(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)?2sin(2x?由题意得f(A)?2sin(2A?????6)?t?1?2sin(2x??6)?2

?6)?2?3

?1所以sin(2A?)?…………………8分

62??13??5?因为0?A??，?2A??，所以2A??

66666解得A??3

313,所以bcsinA?,bc?2即c?2…………10分 2221?3…………12分 2因为?ABC的面积为

由余弦定理得a?b2?c2?2bccosA?1?4?2?1?2?2解: 由题意知: SA?SC?23，侧面SAC?底面ABC， 底面?ABC为正三角形…………2分 (Ⅰ) 取AC的中点O,连结OS,OB. 因为SA?SC,AB?BC,

OzSNC 所以AC?SO,AC?OB.

AMB 所以AC?平面OSB.

所以AC?SB …………4分

xy

(Ⅱ) 如图所示建立空间直角坐标系O?xyz,

则A(2,0,0),B(0,23,0),C(?2,0,0),S(0,0,22),M(1,3,0),N(0,3,2). ????????AC?(?4,0,0),SB?(0,23,?22).CM?(3,3,0),MN?(?1,0,2).…………6分 设n?(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,

??n?CM?3x?3y?0则?，取z?1,得x?2,y??6. ??n?MN??x?2z?0所以n?(2,?6,1)…………8分

又由上可得CB?(2,23,0),CN?(2,3,2). 设m?(a,b,c)为平面NBC的法向量,

??m?CB?2a?23b?0由?,得a?2c?0, ??m?CN?2a?3b?2c?0令c?1，则m?(?2,所以cos?n,m??m?n|m||n|6,1)…………10分 3??2?2?13?333??33 11所以二面角M?NC?B的余弦值为

33. …………12分 11223解:(Ⅰ)因为an?1?2an?anan?1,即(an?1?an)(2an?an?1)?0

又an?0,所以有2an?an?1?0,所以2an?an?1 所以数列?an?是公比为2的等比数列…………2分 由a2?a4?2a3?4得2a1?8a1?8a1?4,解得a1?2 故数列?an?的通项公式为an?2n(n?N?)…………4分 (Ⅱ) 因bn?an?22n?4n，所以b1?4,2bn?1?4 bn即数列?bn?是首项为4,公比是4的等比数列 所以Tn?4n(4?1)…………6分 3

Tn?1?124n?1?83??1?则 nn4Tn4(4?1)4?1又

2log2bn?1?24n?67??1?

2log2bn?14n?14n?1Tn?1?122log2bn?1?2374(3n?1?7?4n?1)??n?? n4Tn2log2bn?14?14n?1(4?1)(4n?1)猜想：7?4n?1?3n?1…………8分

①当n?1时，7?40?7?3?1?1?4,上面不等式显然成立； ②假设当n?k时，不等式7?4k?1?3k?1成立…………9分 当n?k?1时，

7?4k?4?7?4k?1?4(3k?1)?12k?4?3k?4?3(k?1)?1

综上①②对任意的n?N?均有7?4n?1?3n?1…………11分 又4n?1?0,4n?1?0

?Tn?1?122log2bn?1?2??0 4Tn2log2bn?1Tn?1?122log2bn?1?2?…………12分 4Tn2log2bn?1所以对任意的n?N?均有

23e4解:(Ⅰ)f?(x)?x?2e,g?(x)?………………1分

x设函数f(x)?122x?2ex与g(x)?3elnx?b的图象有公共点为(x0,y0) 2?122x?2ex?3elnx0?b00?2?3e2?由题意得?x0?2e?………………………3分

x0??x0?0??e2解得:b?? ………………………5分

2e2(Ⅱ)由(Ⅰ)知,g(x)?3elnx?

22

所以2(f(x)?2ex)?a22(2g(x)?e)?x?alnx 26e即a（x?lnx)?x2?2x?(1)

1当x?[,1)时，lnx?0，?x?lnx?0

e当x??1,e?时，lnx?1?x，且等号不能同时成立，?x?lnx?0

x2?2x?1?所以,则由(1)式可得a?在?,e?上恒成立……………………7分

x?lnx?e?x2?2x?1?设F(x)?,x??,e?

x?lnx?e?又F?(x)?(x?1)(x?2?2lnx）……………………9分 2(x?lnx)令F?(x)?0得：x?1 又lnx?1,?x?2?2lnx?0

?1?所以，当x??,1?时，F?(x)?0；当x??1,e?时，F?(x)?0；

?e?1所以，F(x)在[,1)上为减函数，F(x)在?1,e?上为增函数…………11分

ee2?2e11?2e又F()? ?0?F(e)?ee(e?1)e?1故F(x)maxe2?2e?F(e)?

e?1?e2?2e?,???所以实数a的取值范围是?……………12分 ??e?1?新课标2012年高考理科数学中档解答题强化训练（含答案）（十）

1在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA?（Ⅰ）求sin2（Ⅱ）若a?CC1于D．

1. 3B?C?cos2A的值； 23，求bc的最大值.

2如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱

（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；

（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；

3设{an}为等比数列，Tn?na1?(n?1)a2?...?2an?1?an，已知T1?1,T2?4 （Ⅰ）求数列?an?的首项和公比； （Ⅱ）求数列?Tn?的通项公式。 4.已知a?R，函数f(x)?然对数的底数)．

（I）求f(x)在区间?0,e?上的最小值；

（II）是否存在实数x0??0,e?，使曲线y?g(x)在点x?x0处的切线与ｙ轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．

a?lnx?1,g(x)?(lnx?1)ex?x(其中ｅ为自x新课标高考中档解答题强化训练答案 （十）

21解: (Ⅰ)sinB?C?cos2A 21[1?cos(B?C)]?(2cos2A?1) 2 =

12 =(1?cosA)?(2cosA?1)

2 =

112(1?)?(?1) 2391?[

=

9b2?c2?a21?cosA?(Ⅱ) ∵

2bc322222bc?b?c?a?2bc?a∴, 3又∵a?3

9∴bc?.

4

当且仅当 b=c=3时,bc=9,故924bc的最大值是4.

2. （Ⅰ）连结AB1与BA1交于点O，连结OD，

∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O， ∴OD∥PB1，又OD?面BDA1，PB1?面BDA1， ∴PB1∥平面BDA1．

（Ⅱ）过A作AE⊥DA1于点E，连结BE．∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC=A， ∴BA⊥平面AA1C1C．由三垂线定理可知BE⊥DA1． ∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角．

在Rt△A1C1D中，A1D?(12)2?12?52，

1又S?AA2?1?1?12?52?AEAE?51D?2，∴5．

25在Rt△BAE中，BE?(22355)?1?5，∴cos?AHB?AHBH?23． 故二面角A－AB的平面角的余弦值为21D－3． 解法二：

如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A，则

A0)1,0,0(B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，P(0,2,0)．

（Ⅰ）在△PAA11中有C1D?AA11????(1,0,1)?????2，即D(0,1,????2)．

∴A1B?，A1D?(0,1,x)，B1P?(?1,2,0)．

设平面BA1D的一个法向量为n1?(a,b,c?n????)，

1?A1B?a?c?0,则??n???????1，则n1?(1,1?1令c?1?A1D?b?2c?0.2,?1)． ∵n1?????B1P?1?(?1)?12?2?(?1)?0?0， ∴PB1∥平面BA1D，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA1D的一个法向量n11?(1,2,?1)． 又n2?(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量．

cos?nn1?n212∴

1,n2??|nn??1|?|2|1?33．

2故二面角A－A21D－B的平面角的余弦值为3． 3 解：设等比数列?an?的公比为q，则

，

T1?a1,T2?2a1?a2?a1(2?q).

∵

T1?1,T2?4,?a1?1,q?2.

解法一：由（I）知

(Ⅱ)

a1?1,q?2,故

an?a1qn?1?2n?1,因此

Tn?n?1?(n?1)?2?????2?2n?2?1?2n?1,

?Tn?2Tn?Tn

?n?2?(n?1)?22?????2?2n?1?1?2n?[n?1?(n?1)?2?????2?2n?2?1?2n?1]

??n?2?22?????2n?1?2n

2?2?2n??n?1?2解法二：设Sn

??n?2n?1?2??(n?2)?2n?1.

?a1?a2?????an.

n?1a?2. 由（I）n?Sn?1?2?????2n?1?2n?1.

?Tn?na1?(n?1)a2????2an?1 ??an

?a1?(a1?a2)?????(a1?a2?????an?1?an)

S1?S2?????Sn

2 ?(2?1)?(2?1)?????(2n?1)

n

?(2?2?????2)?n

22?2?2nn?1??n?2?2?n.

1?2a1x?aa??lnx?1, ?f(x)??2??2. 4解（Ⅰ）?f(x)?xxxx令f?(x)?0,得x?a，

若ａ?０，则f?(x)?0，函数f?x?在区间?0,e?上单调递增，此时函数f?x?无最小值；

若0?a?e,当x?函数

?0,a?时，f??x??0，函数f?x?在区间x??0,a?上单调递减；当x??a,e?时f?(x)?0，

af?x?在区间?0,e?上单调递减，所以当x?e时，函数f?x?取得最小值．

ef?x?在区间?0,e?上无最小值；

f?x?在区间x??a,e?上单调递增，所以当x?a时，函数f?x?取得最小值lna.

若a?e,则f?(x)?0,函数

ａ?０，综上所述，当函数

当0?a?e,函数当af?x?在区间?0,e?上的最小值为lna;

e?e,函数f?x?在区间?0,e?上的最小值为a．

x?g(x)?(lnx?1)e?x,x??0,e?． (２）

?g?(x)?(lnx?1)?ex?(lnx?1)(ex)??1

1x?(?lnx?1)e?1．

x1f(x)??lnx?1，此时函数f?x?在区间?0,e?上的最小值为ln1?0，即

由(１）可知，当ａ=1时，

x1?lnx?1?0． x1x??0,e?,e?0,?lnx0?1?0， 当0x0x0

?g?(x0)1?(?lnx?1)ex?1?1?0．

x曲线

y?g(x)在点x?x0处的切线与ｙ轴垂直等价于g?(x0)?0有实数解，而g?(x0)?0,即g?(x0)?0无实数解． 故不存在

x0??0,e?，使曲线y?g(x)在点x?x0处的切线与ｙ轴垂直．

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