保险精算教学大纲复习资料

保险精算教学大纲

本课程总课时：

课程教学 周，每周 课时

第一章：利息理论基础 本章课时：

一、

学习的目的和要求

1、要求了解利息的各种度量 2、掌握常见利息问题的求解原理

二、主要内容

第一节：实际利率与实际贴现率

一、 利息的定义 二、 实际利率 三、 单利和复利 四、 实际贴现率

第二节：名义利率和名义贴现率 第三节：利息强度

第二章 年金 本章课时：

一、学习的目的和要求

1、要求了解年金的定义、类别

2、掌握年金问题求解的基本原理和常用技巧

二、主要内容 第一节：期末付年金 第二节：期初付年金

第三节：任意时刻的年金值

一、在首期付款前某时刻的年金值

二、在最后一期付款后某时刻的年金积累值 三、付款期间某时刻的年金当前值

第四节：永续年金 第五节：连续年金

第三章 生命表基础 本章课时：

一、学习的目的与要求

1、理解常用生命表函数的概率意义及彼此之间的函数关系

2、了解生存函数与生命表的关系并掌握寿险生命表的特点与构造原理 3、掌握各种分数年龄假定下，分数年龄的生命表函数的估计方法

二、

主要内容

第一节 生命函数

一、分布函数 二、生存函数 三、剩余寿命 四、取整余命 五、死亡效力

六、生存函数的解析表达式 第二节 生命表

一、生命表的含义 二、生命表的内容

第四章 人寿保险的精算现值 本章课时：

一、教学目的与要求

1、掌握寿险趸缴纯保费的厘定原理

2、理解寿险精算现值的意义，掌握寿险精算现值的表达方式及计算技巧 3、认识常见的寿险产品并掌握各种产品趸缴纯保费的厘定及寿险精算现值

方差的计算

4、理解趸缴纯保费的现实意义

二、

主要内容

第一节 死亡即付的人寿保险

一、精算现值的概念

二、n年定期保险的精算现值（趸缴纯保费） 三、终身寿险的趸缴纯保费 四、延期寿险的趸缴纯保费

五、生存保险与两全保险的趸缴纯保费 第二节 死亡年末给付的人寿保险

一、定期寿险的趸缴纯保费 二、终身寿险的趸缴纯保费 三、两全保险的趸缴纯保费 四、延期寿险的趸缴纯保费

第三节 死亡即刻赔付保险与死亡年末赔付保险的精算现值的关系 第四节 递增型人寿保险与递减型人寿保险

一、递增型寿险 二、递减型寿险 三、两类精算现值的换算

第五章 年金的精算现值 本章课时：

一、学习目的与要求

1、理解生存年金的概念

2、掌握各种场合计算生存年金现时值的原理和技巧。

二、主要内容

第一节 生存年金的概念

一、 二、

生存年金的概念 生存年金精算现值的概念

第二节 连续给付型生存年金

一、连续给付型生存年金的精算现值 二、生存年金精算现值与寿险精算现值的关系 三、年金的精算累积值 第三节 离散型生存年金

一、 二、 三、 四、

期初付生存年金及其精算现值

期初付生存年金的精算现值与寿险精算现值之间的关系 期末付生存年金的精算现值 离散型生存年金的精算累积值

第四节 每年给付数次的生存年金

第六章 期缴纯保费和营业保费 本章课时：

一、学习目的与要求 1、理解均衡净保费的意义

2、掌握均衡净保费的计算原理及常见险种均衡净保费的计算 3、了解营业保费的构成

4、掌握毛保费的确定原理和计算方法

二、主要内容

第一节 全连续型寿险的纯保费

一、

精算等价原理与年缴纯保费的计算

二、 各种寿险的年缴纯保费

第二节 全离散型寿险的纯保费

一、 二、 三、

用精算等价原理确定年缴纯保费 各种寿险的年缴纯保费 半连续型寿险的纯保费

第三节 每年缴纳数次的纯保费 第四节 营业保费

一、厘定营业保费的基本原则 二、费用的分类 三、保单费用与保单费

第七章 准备金 本章课时：

一、学习目的与要求

1、理解责任准备金的概念和重要性 2、掌握净均衡责任准备金的确定原理 3、理解修正责任准备金的概念及意义

4、理解净均衡责任准备金和修正责任准备金之间的关系 5、了解财险中常用的IBNR准备金的估计方法

二、主要内容

第一节 全连续型寿险责任准备金

一、 准备金的未来法公式 二、 其他类型的公式 第二节 全离散型寿险的责任准备金

一、 准备金的未来法公式 二、 其他类型的公式 第三节 半连续型寿险的责任准备金 第四节 责任准备金的递推公式

?1? A. ?? B. 3n C.

?3?1n1?1?n?? D.3 ?3?2n 11. 延期5年连续变化的年金共付款6年，在时刻t时的年付款率为?t?1?,t时刻的利息强度为1/(1+t),该年金的现值为（ ） A.52 B.54 C.56 D.58

第三章：生命表基础 练习题

1．给出生存函数s?x??e?x22500，求：

(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。 (4)50岁的人能活到70岁的概率。

2. 已知Pr［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr［T(60)＞5］=0.92094，求q60。 3. 已知q80?0.07，d80?3129，求l81。

4. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。 5. 如果?x?22?,0≤x≤100, 求l0=10 000时，在该生命表中1x?1100?x岁到4岁之间的死亡人数为（ ）。 A.2073.92 B.2081.61 C.2356.74 D.2107.56

6. 已知20岁的生存人数为1 000人，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人，则1|q20为（ ）。 A. 0.008 B. 0.007 C. 0.006 D. 0.005

第四章：人寿保险的精算现值 练 习 题

1. 设生存函数为s?x??1?额为1元)：

(1)趸缴纯保费ā1的值。 30:10 (2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var(Z)。

2． 设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1 000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保单年度末给付，年利率i=0.06，试计算： (1)该保单的趸缴纯保费。

(2)该保单自35岁～39岁各年龄的自然保费之总额。 (3)(1)与(2)的结果为何不同？为什么？

3. 设Ax?0.25, Ax?20?0.40, Ax:20?0.55, 试计算： （1） A1 。 x:20 （2） Ax:1 。 10 4． 试证在UDD假设条件下： (1) Ax:n?1x (0≤x≤100)，年利率i=0.10，计算(保险金100i?A1x:n 。

iA1 。 x:n? (2) āx:n?Ax:1n? 5． (x)购买了一份2年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡，则在死亡年末可得保险金1元，

qx?0.5i,?0V,a?r?z? 6

0. 1，试求771qx?1。

A76?0.8,D76?400,D77?360,i?0.03,求A77 。

7． 现年30岁的人，付趸缴纯保费5 000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。 8． 考虑在被保险人死亡时的那个

1年时段末给付1个单位的终身寿险，m1年的时段数。 m设k是自保单生效起存活的完整年数，j是死亡那年存活的完整

(1) 求该保险的趸缴纯保费 A(xm)。

(2) 设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明A(xm)?ii(m)Ax 。

9． 现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：被保险人在10年内死亡，给付金额为15 000元；10年后死亡，给付金额为20 000元。试求趸缴纯保费。

10．年龄为40岁的人，以现金10 000元购买一份寿险保单。保单规定：被保险人在5年内死亡，则在其死亡的年末给付金额30 00元；如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额R元。试求R值。

11． 设年龄为50岁的人购买一份寿险保单，保单规定：被保险人在70岁以前死亡，给付数额为3 000元；如至70岁时仍生存，给付金额为1 500元。试求该寿险保单的趸缴纯保费。

12． 设某30岁的人购买一份寿险保单，该保单规定：若(30)在第一个保单年计划内死亡，则在其死亡的保单年度末给付5000元，此后保额每年增加1000元。求此递增终身寿险的趸缴纯保费。

13． 某一年龄支付下列保费将获得一个n年期储蓄寿险保单：

(1)1 000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为750元。

(2)1 000元储蓄寿险，被保险人生存n年时给付保险金额的2倍，死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为800元。

若现有1 700元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均发生在死亡年末，求这个保险的趸缴纯保费。

14． 设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：被保险人在第一个保单年度内死亡，则给付10 000元；在第二个保单年度内死亡，则给付9700元；在第三个保单年度内死亡，则给付9400元；每年递减300元，直至减到4000元为止，以后即维持此定额。试求其趸缴纯保费。 15. 某人在40岁投保的终身死亡险，在死亡后立即给付1元保险金。其中，给定lx?110?x,0≤x≤110。利息力δ=0.05。Z表示保险人给付额的现值，则密度fx?0.8?等于（ ）

A. 0.24 B. 0.27 C. 0.33 D. 0.36

IA???IA?? 16. 已知在每一年龄年UDD假设成立，表示式

xxA?( )

A. C.

i???2 B.

?1?i??2

11i?i?? D. ??1? d????? 17. 在x岁投保的一年期两全保险，在个体（x）死亡的保单年度末给付b元，生存保险金为e元。保险人给付额现值记为Z, 则Var(Z)=( ) A. pxqxv2?b?e? B. pxqxv2?b?e?

22 C. pxqxv2?b2?e? D. v2?b2qx?epx?

22

第五章：年金的精算现值 练 习 题

1． 设随机变量T＝T(x)的概率密度函数为f(t)?0.015?e?0.015t(t≥0)，利息强度为δ＝0.05 。试计算精算现值 ax 。

2．设 ax?10, ax?7.375, VaraT?50。试求：（1）?；（2）āx 。 3． 某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。

4． 某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。试求此人每次所获得的年金额。

5． 某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD假设和利率6%下，计算其精算现值。 6． 在UDD假设下，试证： (1)

n|2??ax(m)??(m)n|ax???m?nEx 。

(m) (2) ax??(m)ax:n???m?(1?nEx) 。 :n(m)(m)?ax? （3）ax:n:n1(1?nEx) 。 m 7． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。 8． 试证： (1) (2)

(m)ax??i(m)ax ax:n 。

(m)ax?:n?i(m)(m)?ax 。 (3) limaxm??1 (4) ax?ax? 。

2 9． 很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R元于此项基金，缴付到64岁为止。 到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。试求数额R。 10． Y是x岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知 ax?10，

2ax?6，i?1 ，求Y的方差。 24 11． 某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精算现值。

12． 某人现年35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别为10元、8元、6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元，试求其精算现值。 13.

(4)则ax是（ ）

(4)已知在每一年龄年UDD假设成立， a??17.287，Ax?0.1025。

A. 15．48 B. 15.51 C. 15.75 D. 15.82 14. 给定Var(aT)?100及??x?t??k, t?0, 利息强度??4k，则k=（ ） 9 A. 0.005 B. 0.010 C. 0.015 D. 0.020

15. 对于个体（x）的延期5年的期初生存年金，年金每年给付一次，每次1元，给定： ??x?t??0.01,i?0.04,ax?5?4.524, 年金给付总额为S元（不

计利息），则

P（S?51ax）值为（ ）

A. 0.82 B. 0.81 C. 0.80 D. 0.83

第六章：期缴纯保费与营业保费 练 习 题

1. 设?x?t???t?0?，利息强度为常数δ，求 P?Ax?与Var(L)。 2. 有两份寿险保单，一份为(40)购买的保额2 000元、趸缴保费的终身寿险保单，并且其死亡保险金于死亡年末给付；另一份为(40)购买的保额1 500元、年缴保费P的完全离散型终身寿险保单。已知第一份保单的给付现值随机变量的方差与第二份保单在保单签发时的保险人亏损的方差相等，且利率为6%，求P的值。

1 3． 已知 P?0.005,P40:20?0.029,P60?0.034,i?6%,求a40 。 40:20 4． 已知 P62?0.0374,q62?0.0164,i?6%,求P63。

5． 已知L为(x)购买的保额为1元、年保费为Px:n的完全离散型两全保险，在保单签发时的保险人亏损随机变量，2Ax:n?0.1774, 6． 已知x 岁的人服从如下生存分布：s?x??Px:nd?0.5850，计算Var(L)。

105?x (0≤x≤105)，年利105率为6％。对(50)购买的保额1 000元的完全离散型终身寿险，设L为此保单签发时的保险人亏损随机变量，且P(L≥0)=0.4 。求此保单的年缴均衡纯保费的取值范围。

7. 已知 AX?0.19,2AX?0.064,d?0.057,?x?0.019,，其中?x为保险人对1单位终身寿险按年收取的营业保费。求保险人至少应发行多少份这种保单才能使这些保单的总亏损为正的概率小于等于0.05。[这里假设各保单相互独立，且总亏损近似服从正态分布，Pr（Ｚ≤1.645）=0.95，Z为标准正态随机变量。] 8. 1000P?7.00,ax?16.72,a20:40?15.72,计算1000P20 。 20:40 9．

P?10|a20??1.5,10P20?0.04,计算P20 。

10

Px1:20(12)P1x:20?1.03,Px:20?0.04,计算Px(12) 。 :20 11． 已知x岁的人购买保额1000元的完全离散型终身寿险的年保费为50元，d?0.06,Ax?0.4,2Ax?0.2，L是在保单签发时保险人的亏损随机变量。 (1)计算E［L］。 (2)计算Var(L)。

(3)现考察有100份同类保单的业务，其面额情况如下：

面额(元) 保单数(份)

1 80

4 20

假设各保单的亏损独立，用正态近似计算这个业务的盈利现值超过18 000元的概率。

12． (x)购买的n年限期缴费完全离散型终身寿险保单，其各种费用分别为：销售佣金为营业保费的6%；税金为营业保费的4%；每份保单的第1年费用为30元，第2年至第n年的费用各为5元；理赔费用为15元。 且 保额b以万元为单位，求保险费率函数R(b)。 Ax?0.3,A1?0.1,Ax?n?0.4,i?0.6，x:n 13. 设 P?A50??0.014,A50?0.17,则利息强度?=（）。

A. 0.070 B. 0.071 C. 0.073 D. 0.076 14. 已知i?0.05,px?1?0.022,px?0.99,则px?。 （） A. 0.0189 B. 0.0203 C. 0.0211 D. 0.0245

1 15. 设15P=( ) ，P45:15?0.056,A60?0.625,则P4545?0.038：15 A. 0.005 B. 0.006 C. 0.007 D. 0.008

第七章：准备金 练 习 题

1. 对于(x)购买的趸缴保费、每年给付1元的连续定期年金，t时保险人的未来亏损随机变量为：

?aU,0?U?n?t L??a,U?n?t t?n?t计算E(tL)和Var(tL)。

n1 2． 当k?时,kVx:n?,ax:n?ax?2k:n?2k?2ax?k:n?k,计算kVx?k:n?k。

26 3． 已知

P?Ax???0.474,tV?Ax??0.510,tVx?0.500,计算tV(Ax)。

4． 假设在每一年龄内的死亡服从均匀分布，判断下面等式哪些正确： （1）1000qxkV?Ax:n??（2） kV?Ax??ikxi?kx:nV

?V

1kx:n1?（3） kV?Ax:n?i?V

5. 假设在每一年龄内的死亡服从均匀分布， 且

?4?求 ??4??0.40,P35:20?0.039,a35:20?12.00,10V35:20?0.30,10V35:1?0.20,a?11.70，2035:20?4?V1035:20?10V35:20 。

6． 已

:知

?1?Px?0.01212,?2?2计算20Vx。 10Px?0.01508,?3?0Px1?0.06942?4?10Vx?0.11430 10 7． 一种完全离散型2年期两全保险保单的生存给付为1000元，每年的死亡给付为1000元加上该年年末的纯保费责任准备金，且利率i=6%，。计算年缴均衡纯保费P。 qx?k?0.1?1.1k （k=0，1）

1 8． 已知P?0.03,A?0.06,d?0.054,15k45?0.15，求15V45:20。 45:2045:15 9． 25岁投保的完全连续终身寿险，L为该保单签发时的保险人亏损随机变量，已知

Var?L??0.20,A45?0.70,2A25?0.30,计算20V?A25?。

10． 已知 tkx?0.30,tEx?0.45,Ax?t?0.52， 计算tV?Ax? 。 11． 已知Ax:n?0.20,d?0.08,计算n?1Vx:n。

12． 已知ax?t?10.0,tVx?0.100,t?1Vx?0.127,Px?t?1?0.043，求d的值。 13． 对30岁投保、保额1元的完全连续终身寿险，L为保单签发时的保

险人亏损随机变量，且A50?0.7,2A30?0.3,Var?L??0.2，计算20V?A30?。 14． 一 种完全连续型20年期的1单位生存年金，已知死亡服从分布：

lx?75?x(０≤x≤75)，利率i?0，且保费连续支付20年。设投保年龄为35岁，计算此年金在第10年年末的纯保费准备金。

FPT 15． 已知q31?0.002,a32:13?9,i?5%，求 2V30: 。 15 16． 对于完全离散型保额，1单位的2年期定期寿险应用某种修正准备金方法，已知??v2?px?qx?1，求?。

17. 个体（x）的缴费期为10年的完全离散终身寿险保单，保额为1 000元，已知i?0.06,qx?9?0.01262,年均衡净保费为32.88元，第9年底的净准备金为322.87元，则1000Px?10=( )

A. 31.52 B. 31.92 C. 33.12 D. 34.32

18. 已知1000tV?Ax??100,1000P(Ax)?10.50,??0.03,则 ax?t? ( ) A. 21 B. 22 C. 23 D. 24

第八章：保单现金价值与红利 练 习 题

1. 证明式（8.1.7）和式（8.1.8）。

2. 证明表8.1.3和表8.1.4中的调整保费表达式。

3. 根据表8.1.3和表8.1.4中的各种情况，计算第1年的费用补贴E1。 4. (x)的单位保额完全连续终身寿险在k年末转为不丧失现金价值。 设 kCV?kV?Ax?，分别按缴清保险与展期保险给出刚改变后的保险的未来损失方差与原保险在时间k的未来损失方差之比。

5. 已知Ax?0.3208,ax?12,Ax:n?0.5472,ax:n?8,用1941年规则计算Pxa。 :n 6. 向(30)发行的1单位完全连续20年期两全保险，在第10年年末中止，并且那时还有一笔以10CV为抵押的贷款额L尚未清偿，用趸缴纯保费表达： (1)在保额为1-L的展期保险可展延到原期满时的情况下，期满时的生存给付金额E。

(2)转为第(1)小题中展期保险与生存保险后5年时的责任准备金。

7． 考虑(x)投保的缴费期为n的n年期两全保险，保险金为1单位，支付基础为完全离散的。在拖欠保费的情况下，被保险人可选择： (1)减额缴清终身寿险。

(2)期限不超过原两全保险的展期定期保险以及x+n岁时支付的减额生存保险。在时间t的解约金为 tVx:n，它可用来购买金额为b的缴清终身寿险，或用于购买金额为1的展期保险以及x+n岁时的生存支付f。设Ax?t:n?t?2Ax?t，用b，及n?tEx?t表示f。 A1x?t:n?t 8． 设k?tCV?k?tV(Ax)。

证明：决定自动垫缴保费贷款期长短的方程可写成H(t)＝0，其中

H?t??axGS1i?ax?k?1?ax。

9． 在人寿保险的早期，一家保险公司的解约金定为 kCV?h?Gx?h?Gx?a?k?， k?1,2,式中，G

初生存年金值，h在实际中取

a?k?为始于x+k岁并到缴费期结束为止的期

2。如果终身寿险保单的毛保费按1980年规则取3为调整保费，并且Px与Px?t都小于0.04，h=0.9，验证以上给出的解约金为 kCV??0.90?91.1P25x?kVx?10. 生存年金递推关系为

?ax?h??1?i??px?ha?x1 ?h, h?0,1,2,

x1.?1Px25?)(Pk)(1) 如果实际的经验利率是h+1，经验生存概率是x+h，则年金的递推关系为

?ax?h?1?1??ih?1????px?(ha?x1?h??1 ?)h式中，?h?1为生存者份额的变化。证明并解释

?h?1)?ax?h?1??(px?h?p?x?h)ax?h?1(i ?h?1?

?x?hp (2)如果年末的年金收入调整为年初的rh?1倍，其中

?h?1?p?x?h?rh?1?ax?h? 1 ?ax?h?1?1?i???,px?h及 p?x?h表示rh?1。 用 i,i

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