大学物理课后题答案13

习 题 十 三

13-1 求各图中点P处磁感应强度的大小和方向。

[解] (a) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：

?0I?cos?1?cos?2? 4?a?I?对于导线1：?1?0，?2?，因此B1?0

4?a2B?对于导线2：?1??2??，因此B2?0

Bp?B1?B2??0I 4?a方向垂直纸面向外。

(b) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：

?0I?cos?1?cos?2? 4?a?I?I?对于导线1：?1?0，?2?，因此B1?0?0，方向垂直纸面向内。

24?a4?r?I?I?对于导线2：?1?，?2??，因此B2?0?0，方向垂直纸面向内。

24?a4?rB?半圆形导线在P点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的

圆形导线在圆心处产生的磁感应强度的一半，即

1?0I?0I，方向垂直纸面向内。 ?22r4r?I?I?I?I?I所以，Bp?B1?B2?B3?0?0?0?0?0

4?r4?r4r2?r4rB3?(c) P点到三角形每条边的距离都是

d?3a 6?1?30o，?2?150o

每条边上的电流在P点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是

B0??0I?cos300?cos1500??3?0I 4?d2?a9?0I 2?a故P点总的磁感应强度大小为

B?3B0?方向垂直纸面向内。

13-1

13-2 有一螺线管长L＝20cm，半径r=2.0cm，导线中通有强度为I=5.0A的电流，若在螺线管轴线中点处产生的磁感应强度B＝6.16?10T的磁场，问该螺线管每单位长度应多少匝?

[解] 已知载流螺线管轴线上场强公式为

?3B??0nI2?cos?2?cos?1?

10104，cos?1?由图知： cos?2??10104，

?1O?2所以，B??0nI?10???2??， 2?104??所以，n?104B＝1000匝 10?0I313-3 若输电线在地面上空25m处，通以电流1.8?10A。求这电流在正下方地面处产生的磁感应强度。

[解]输电线可看作无限长直导线，直线电流所产生的磁场为：

B??0I 2?r4??10?7?1.8?103??1.44?10?5T

2??25

13-4 在汽船上，指南针装在距载流导线0.80m处，该导线中电流为20A。(1)将此导线作无限长直导线处理，它在指南针所在处产生的磁感应强度是多大?(2)地磁场的水平分量(向北)为 0.18?10?4T。由于电流磁场的影响，指南针的N极指向要偏离正北方向。如果电流的磁场是水平的，而且与地磁场垂直，指南针的指向将偏离多大?求在最坏情况下，上述汽船中的指南针的N极将偏离北方多少度?

[解] (1) 电流在指南针所在处的磁感应强度的大小为

?0I2?10?7?20B1??T?5.0?10?6T

2?r0.80(2) 如果电流的磁场是水平的而且与地磁场的水平分量B2垂直，指南针偏离正北方向的角度为?，则

B15.0?10?60??1531? tan????0.28B20.18?10?4设指南针由于电流磁场偏离正北方向的角度为?1，

B2sin?1?B1sin?2

13-2

两边微分后可得

d?1B1cos?2? d?2B2cos?1为求?1的最大值?m，令

d?1?0，则有 d?2cos?2?0 ?2?因此 sin?m??2

B1?0.28 ?m?1608? B2

13-5 在半径为R和r的两圆周之间，有一总匝数为N的均匀密绕平面线圈，通有电流I，方向如图所示。求中心O处的磁感应强度。

I [解] 由题意知，均匀密绕平面线圈等效于通以 RNI圆盘，设单位长度线圈匝数为n

N n?R?r建立如图坐标，取一半径为x厚度为dx的 圆环,其等效电流为:

OrxdxdI?jdx?dB0?NIdx R?r??0dI2x?0NIdx2x(R?r)R

所以B0??dB0??NI?0NIdx2x(R?r)r??0NI2(R?r)lnR r方向垂直纸面向外.

13-6 电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流I=5.0A，圆筒半径 R=1.0?102m如图所示。求轴线上一点的磁感应强度。

[解] 把无限长薄壁半圆筒分割成无数细条，每一细条可看作一无限长直导线，取一微元dl

dl则dI?I

?R则dl在O点所产生的磁场为

?dI?IdldB?0?022

2?R2?R又因，dl?Rd?

?dI?Id?所以，dB?0?02

2?R2?Rdl??yxdBdBx?dBcos?，dBy?dBsin?

13-3

半圆筒对O点产生的磁场为：

?0I 200?R?0I所以B只有y方向分量，即B?By?2，沿y的负方向。

?RBx??dBx?0，By??dBy???13-7 如图所示，长直导线通有电流I，求通过与长直导线共面的矩形面积CDEF的磁通量。

Idxl

[解] 建立如图所示坐标，在矩形面积上任取一微元dS，dS?ldx，设顺时针方向为正,则 长直导线形成的磁感应强度为:B?oaxbx?0I 2?x?0Ildx 2?xb?Il?Ilb???d???0dx?0ln

Sa2?x2?ad??B?dS?

13-8 长直导线aa?与半径为R的均匀导体圆环相切于点a，另一直导线bb?沿半径方向与圆环接于点b，如图所示。现有稳恒电流I从端a流入而从端b流出。 (1)求圆环中心点O的B。

(2)B沿闭合路径L的环流?B?dl等于什么?

Laa?12R?O12003b4b?

[解] (1)B0?B1?B2?B3?B4 其中: B4?0 B1? B2??0I 4?R2?0I21?0I3I2l3? ,,B3?Il232R32R3故B2与B3大小相等,方向相反,所以B2?B3?0

13-4

因而B0?B1??0I,方向垂直纸面向外. 4?R2II)??0 33(2)由安培环路定理,有:

?B?dl??0?Ii??0(I?L

13-9 矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示，均匀密绕共N匝，通以电流I，试证明通过螺绕环截面的磁通量为 ???0NIhD1ln 2?D2D2D?r?1， 22dxxOx[证明] 建立如图所示坐标，在螺绕环横截面上任取一微元dS?hdx 以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为r，

?B?dl?2?rB??0NI

B??0NI 2?rD12dΦ?BdS

所以 ???d???BdS??D2?0NI?hNID1hdr?0ln

22?r2?D2

13-10 试证明在没有电流的空间区域内，如果磁感应线是一些同方向的平行线，则磁场一定均匀。

[证明] 在B线同方向平行的磁场中，作如图的矩形回路abcda，其ab边与B线平行。由于回路中无电流，所以安培环路定理给出?B?dL?0

L又

Bbcdaacbcd?B?dL??B1?dL??B?dL??B2?dL??B?dL

Ladbc其中

?bB?dL及?B?dL因B?dl所以其值为零。

da故B?dL??L?abB1?dL??B2?dL?0

cd因为磁感应强度B是垂直于通过单位面积的磁通量即磁通密度，所以B线平行的磁场中，ab线上B处处等于B1，cd线上B处处等于B2，因此有

B1ab?B2cd?0

又ab?cd 所以B1?B2

由于矩形回路的位置和宽度不限，此式均可成立。所以，在没有电流的空间区域内，若B线是同方向平行的直线，则磁场一定均匀。

13-5

[解] 由粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径公式r?mv qBR质R电

?m质vq质Bm电vq电B?m质m电1.67?10?27??1.84?103 ?300.91?1013-22 估算地磁场对电视机显像管中电子束的影响。假设加速电压为2.0?104V，电子枪到屏的距离为0.40m。试计算电子束在0.50?10?4T的横向地磁场作用下，约偏转多少?假定没有其它偏转磁场，这偏转是否显著? [解] 电子动能

12mv?eU 2?194ve式中U为加速电势差。电子的速度大小为

BxdROv?2eU2?1.6?10?2.0?107?ms?8.4?10ms ?31m9.1?10在横向地磁场的作用下，电子沿弧形轨道运动，轨道半径为

mv9.1?10?31?8.4?107R??m?9.6m

eB1.6?10?19?0.5?10?4设电子枪到屏的距离为d，由图可知，电子到达屏时，它的偏转距离为

x?R?R2d2???9.6?9.62?0.22??m?2?10?3m?2mm

??相对于电子枪到屏的距离，这偏转不算显著。

13-23 一块半导体的体积为a?b?c，如图示。沿x方向有电流I，在z方向有均匀磁场B。这时实验得出的数据为a=0.10cm，b=0.35cm， c=1.0cm，I＝1.0mA，B=0.30T，半导体片两侧的霍耳电势差UAA??6.55mV。

(1)问这块半导体是p型还是n型?

(2)求载流子浓度。

[解] (1) 因载流子所受磁力方向沿y轴反方向，侧面A?电势较低，故载流子是负电荷(即电子)，这半导体是N型半导体。 (2) 霍尔电压 UAA??由此可得载流子浓度

IB neaIB1.0?10?3?0.303203 n??个m?2.86?10个meaUAA?1.6?10?19?0.10?10?2?6.55?10?3

13-24 掺砷的硅片是n型半导体，其中载流子浓度是2.0?1021个m3，电阻率是

1.6?10?2Ω?m。用这种硅做成霍耳探头以测量磁场。硅片的尺寸相当小，是0.50cm?0.20cm?0.0050cm。将此片长度的两端接入电压为1V的电路中。当探头放到磁场

13-11

某处并使其最大表面与磁场方向垂直时，测得0.20cm宽度两侧霍耳电压是1.05mV。求磁场中该处的磁感应强度。

[解] 设a=0.5cm，b=0.2cm，c=0.005cm。硅片的电阻R??因此电流 I?a bcUUbc ?R?aIBBUb? necne?a硅片的霍尔电压 UH?由此可得磁感应强度

B?ne?aUH Ub2?1021?1.6?10?19?1.6?10?2?0.5?10?2?1.05?10?3?T?1.34?10?2T ?21?0.2?10

13-25 从经典观点看，氢原子可视为是一个电子绕核作高速旋转的体系。已知电子和质子的电量均为e，电子质量是m，氢原子圆轨道半径为r，电子作平面轨道运动。试求电子的轨道磁矩pm和它在圆心处产生的磁场B0。 [解] 电子作角速度为?的圆周运动，则有：mr??2e24??0r2

e2因此??

4??0mr3?eI?ne?e?2?2?2e??Pm?ISn4?r2e2e2?34??0mr4?r2e2??r???0m4r2r??0mr

??0m?0e2?0e2?0e2rr1圆心处的 B? ???2322r2r4?r??0m8?r??0m8?r??0mr?0I

13-26 半径为a、线电荷密度为?(常量)的半圆，以角速度?绕轴O?O??匀速旋转，如图所示。求：

(1)在点O产生的磁感应强度B； (2)旋转的带电半圆的磁矩Pm。

[解] （1）把半圆分成无数个小弧每段带电量dq???dl??ad?

13-12

旋转后形成电流元dI?n?dq?由圆环B???a?dq?d? 2?2?2R?x??0IR22232?s 得 R?asin? x?aco?dB?2a2?sin2??a2?cos2????0a2?sin2??dI?32??0a2?sin2?2a3dI??0??2sin?d? 4??0??2??? 方向向上 sin?d??004?8??a3sin2?22d? （2）因为Pm?ISn， dPm?SdI??asin?dI?B??dB??2Pm?????a3sin2?20d????a32?0sin?2?d?????a34，方向向上。

13-27 有一均匀带电细直棒AB，长为b，线电荷密度为?。此棒绕垂直于纸面的轴O以匀角速度?转动，转动过程中端A与轴 O的距离a保持不变，如图所示。求： (1)点O的磁感应强度B0； (2)转动棒的磁矩Pm； (3)若a>>b，再求B0和Pm。

[解] (1)均匀带电直棒AB绕O轴旋转，其结果等效于载流圆盘。在均匀直棒上取一微元dq??dr,等效电流为：dI?它在O点的磁感应强度

dq????dr 2?2?dB0????0dr

2r4?r???0a?bdr??0?a?b（??0，方向垂直直面向里） B0??dB0??ln?a4?r4?a??0dIOAa1(2)dpm??r2dI???r2dr

2a?b1pm??dpm????r2dr

a2???[(a?b)3?a3]/6

(3)若a>>b，则有：

dqb?B???b?0?qa?bb ? ， B0?0?aa4?a4?a与带电粒子?b情况相同

lna??b时,(a?b)3?a3(1?3b/a),则有

13-13

pm???b1a33?q?a2 6a2与点电荷的磁矩相同

13-28 有一个无限长直圆筒形导体，导体和空腔半径分别为R2和R1，它们的轴线相互平行，两轴线间的距离为a(R2>a+R1>2R1)，如图所示。电流I沿轴向流动，在横截面上均匀分布。求两轴线上任一点的磁感应强度。

[解] 根据叠加原理，此系统可看作由半径为R2，其上电流密度为j?I的实心导体，与半径为R1的，电流密22?R2?R1??度为-j的实心导体所构成的。

设j沿z轴正方向，根据安培环路定理，半径为R2电流

均匀分布的导体，在O点产生的磁场为0，而半径为R1电流均匀分布的导体，在O点产生的磁场为

?0?R12j?0?R12?0IR12I BO???22222?a2?a?R2?R12?R2?R1a????BO''?BR2O''?BR1O''

由环路定理：BR2O''??0Ia2?2(R2?R12)

B所以，BR1O''?0

O''?BR2O''??0Ia2?2(R2?R12)，方向垂直纸面向外

13-14

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