第三章 多维随机变量及其分布

第三章 多维随机变量及其分布

§1 二维随机变量

教学目的：掌握多维随机变量的概念，掌握二维随机变量的分布函数及其性质．掌握离散型二维随机变量及其联合分布，掌握连续型二维随机变量的联合分布.

教学重点：多维随机变量的定义，二维随机变量的分布函数及其性质．离散型二维随机变量及其联合概率分布，连续型二维随机变量的概念与联合分布.

教学难点：正确理解多维随机变量、其分布函数及联合分布． 教学内容：

1、多维随机变量的定义：(X1,X2,?,Xn)

n?2时，二维随机变量记为(X,Y)

2、二维随机变量的分布函数

定义 设(X,Y)是二维随机变量,对任意实数x,y,二元函数

F(x,y)?P{(X?x)}?P{(Y?y)}记为P{X?x,Y?y}

称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或称为随机变量X和Y的联合分布函数.

3、二维随机变量分布函数的性质 （1）0?F(x,y)?1

（2）F(??,y)?0,F(x,??)?0,F(??,??)?0,F(??,??)?1, （3）F(x,y)关于变量x和y分别为不减函数． （4）F(x,y)关于变量x和y分别为右连续函数．

（5）?x1?x2,?y1?y2，有F(x2,y2)?F(x1,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y1)?0 4、定义 如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的值是有限对或可列无限对,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.

易知,(X,Y)为二维离散型随机变量当且仅当X,Y均为一维离散型随机变量.

定义 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能的取值为(xi,yj)i,j?1,2,?, 则称

P{X?xi,Y?yj}?pij(i,j?1,2,?)

为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律(也称概率分布),或X与Y的联合分布律.

5、定义 设(X,Y)为二维随机变量,F(x,y)为其分布函数,若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对任意实数(x,y),有

F(x,y)??x???y??f(s,t)dtds,

则称(X,Y)为二维连续型随机变量,并称f(x,y)为(X,Y)的概率密度函数,或X与Y的联

合概率密度函数.

概率密度函数f(x,y)具有以下性质：

性质1 f(x,y)?0； 性质2

????????f(x,y)dxdy?F(??,??)?1；

性质3 设D是xOy平面上的区域,点(X,Y)落入D内的概率为

P{(x,y)?D}???f(x,y)dxdy；

D性质4 若f(x,y)在(x,y)连续,则有

?2F(x,y) ?f(x,y).

?x?y教学时数：2学时

作 业：习题三 1、3.

§2 边缘分布

教学目的：掌握离散型及连续型二维随机变量的边缘分布，会求边缘分布． 教学重点：离散型及连续型二维随机变量的边缘分布． 教学难点：正确理解边缘分布． 教学内容：

1、边缘分布函数可以由(X,Y)的分布函数F(x,y)所确定, FX(x)?P{X?x}?P{X?x,Y??}?F(x,?), 即 FX(x)?F(x,?). 同理 FY(y)?F(?,y).

2、对于离散型随机变量,易知X的分布律为 pi??P{X?xi}??pj?1??ij, i?1,2,…,

Y的分布律为

p?j?P{Y?yj}??pi?1ij, j?1,2,…,

3、对于连续型随机变量(X,Y),设它的概率密度函数为f(x,y),由于 FX(x)?F(x,?)?????x???f(s,t)dtds,

对上式两边关于x求导数,即得X的概率密度函数为

fX(x)?同理,Y的概率密度函数为

????f(x,y)dy.

fY(y)?????f(x,y)dx.

4、设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为

f(x,y)?12??1?2?2???(x??1)21??exp??2?22(1??)??12?1???(x??1)(y??2)?1?2?(y??2)????.?2?2???2

其中?1,?2,?1,?2,?均为常数,且?1?0,?2?0,|?|?1,则称(X,Y)服从参数为

2,?).试求证两个边缘分布都?1,?2,?1,?2,?的二维正态分布,记为(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2是一维正态分布,且X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2).

教学时数：2学时

作 业：习题三 8、9.

22§3 条件分布

教学目的：掌握二维离散型与连续型随机变量的条件分布，会求条件分布． 教学重点：边二维离散型与连续型随机变量的条件分布．

教学难点：正确理解条件分布，连续型随机变量条件概率密度函数的计算． 教学内容：

1、定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,P{Y ? yj}?0,则称

P{X?xiY?yj}?P{X?xi,Y?yj}pij?,i?1,2,?,

P{Y?yj}p?j为在Y ? yj 的条件下随机变量X的条件分布律.

同理定义在X ? xi的条件下随机变量Y的条件分布律.

2、定义 设(X,Y)为二维连续型随机变量,其概率密度函数为f (x, y).对固定的y,若f Y(y)? 0,则称

fX |Y (xy)?f(x,y) fY(y)

为在Y? y的条件下随机变量X的条件概率密度函数.此处fY(y)?????f (x, y)dx.称

?x-?fX |Y (xy)dx为在Y? y的条件下X的条件分布函数,记为P{X?xY?y}或记作

FX|Y(xy).

同理可定义在X? x的条件下随机变量Y的条件概率密度函数fY|X(yx)?条件分布函数FY|X(yx).

教学时数：2学时

作 业：习题三、14.

f(x,y)及

fX(x)§4 相互独立的随机变量

教学目的：掌握随机变量独立性的意义、定义，判断独立性的充分必要条件，会用意义和充分必要条件判断随机变量的独立性．

教学重点：随机变量独立性的定义，判断独立性的充分必要条件． 教学难点：正确理解由独立性意义所给出的独立性定义． 教学内容：

1、随机变量独立性的概念

定义 设随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),边缘分布函数为FX(x),FY(y),若对任意实数x,y,有P{X?x,Y?y}?P{X?x}P{Y?y},即F(x,y)?FX(x)FY(y),则称随机变量X和Y相互独立.

2、离散型情况

对于二维离散型随机变量(X,Y),其独立性的定义等价于：对于(X,Y)的所有可能取值

(xi,yj), 有P{X?xi,Y?yj}?P{X?xi}P{Y?yj}, 即pij?pi?p?j,i,j?1,2,?.则称

X和Y相互独立.

3、连续型情况

对于二维连续型随机变量(X,Y),其独立性的定义等价于：等式f(x,y)?fX(x)fY(y) 在平面上几乎处处成立.

4、推广

（1）以上二维随机变量(X,Y)中X和Y独立性的三个充分必要条件都可以推广到n维随机变量(X1,X2,?,Xn)中分量X1,X2,?,Xn独立性的情况．

（2）X1,X2,?,Xn相互独立的意义是X1,X2,?,Xn的取值情况互相无任何影响，也可由此判断其独立性． 教学时数：2学时

作 业：习题三 18．

§5 两个随机变量的函数的分布

教学目的：掌握离散型二维随机变量函数的分布，求连续型二维随即变量函数的一般方法，和的分布．

教学重点：求离散型、连续型二维随机变量函数分布的一般方法，和的分布． 教学难点：连续型二维随机变量函数的分布． 教学内容：

1、离散型二维随机变量函数的分布

设(X,Y)是二维离散型随机变量,g(x,y)是一个二元函数,则g(X,Y)作为(X,Y)的函数是一个随机变量,如果(X,Y)的分布律为

P{X?xi,Y?yj}?pij(i,j?1,2,?),

设Z?g(X,Y)的所有可能取值为zk,k?1,2,?,则Z的分布律为

P{Z?zk}?P{g(X,Y)?zk}?2、连续型二维随机变量和的分布

g(xi,yj)?zk?P{X?x,Y?yij}, k?1,2,?.

设(X,Y)是二维连续型随机变量,它具有概率密度函数f(x,y),则Z?X?Y仍为连续型随机变量,其概率密度函数为

fZ(z)??或 fZ(z)???????f(z?y,y)dy f(x,z?x)dx.

?又若X,Y相互独立,设(X,Y)关于的边缘概率密度函数分别为fX(x),fY(y),则 (5.1),(5.2)分别化为 fZ(z)?或 fZ(z)?????????fX(z?y)fY(y)dy fX(x)fY(z?x)dx.

223、设X,Y相互独立,且X~N(?1,?1) ,Y~N(?2,?2) ,则Z?X?Y仍然服从正态分布,且Z~N(?1??2,?1??2).更一般地,可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,即若Xi~N(?i,?i2)(i?1,2,?,n),且它们相互独立,则对任意不全为零的常数a1,a2,?,an,有

n?n22? ?aiXi~N??ai?i,?ai?i?.

i?1i?1?i?1?n224、M?max{X,Y}及N?min{X,Y}的分布

设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX(x),FY(y).

FM(z)?FX(z)FY(z). FN(z)?1?[1?FX(z)][1?FY(z)].

教学时数：2学时

作 业：习题三 22、29．

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