全国高中数学联赛江苏赛区2011年初赛试题答案

全国高中数学联赛江苏赛区2011年初赛试题答案

班级__________ 姓名__________

一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分） 1．复数(1?i)4?(1?i)4?________

解：(1?i)4?(1?i)4?[(1?i)2]2?[(1?i)2]2?(2i)2?(?2i)2?4i2?4i2?8i2??8．

2．已知直线x?my?1?0是圆C:x2?y2?4x?4y?5?0的一条对称轴，则实数m?________

3解：直线一定经过圆心，才能是圆的对称轴；而圆心为(2, ?2)，代入直线方程，得m??．

23．某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是

． ________（结果用最简分数表示）

2解：事件总数：C30?30?29112C28?C2?2?28?1?57， ?435，符号条件的事件数：C22?1所以所求的概率是：P?4．已知cos4??解：由cos4??5719． ?4351451，则sin4??cos4??________ 5112?1?2sin22???sin22??， 555114得sin4??cos4??(sin2??cos2?)2?2sin2?cos2??1?sin22??1??．

255???????????5．已知向量a，b满足|a|?|b|?2，?a,b??，则以向量2a?b与3a?b表示的有向线段为邻边的

3平行四边形的面积为________

?????解：由题意可设：a?(2, 0)，则由a与b的夹角为可取：b?(1, 3)；

3????????????于是可令OA?2a?b?(5, 3)，OB?3a?b?(5, ?3)；

易知，所求的平行四边形的面积等于2S?OAB，而A、B两点关于x对称；

1所以2S?OAB?2??5?23?103；即平行四边形的面积为103．

26．设数列{an}的前n项和为Sn．若{Sn}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{an3}的前n项和

等于________

1

解：由已知可得：Sn?2n，从而an?2n?1(n?2)，a1?2；

?8, n?1所以an3??n?1，

8, n?2?所以a13?a23?a33???an3?8?8?82???8n?1?7?1?8?82???8n?1?检验可知：当n?1时，也适合上述等式．

7．设函数f(x)?x2?2．若f(a)?f(b)，且0?a?b，则ab的取值范围是________ 解：易知：0?a?2?b；所以f(a)?f(b)?2?a2?b2?2?a2?b2?4?2ab?4；

所以ab?(0, 2)．

8．设f(m)为数列{an}中小于m的项的个数，其中an?n2,n?N*，则f[f(2011)]?________ 解：f(2011)是表示在数列：an?n2,n?N*中小于2011的项数，即f(2011)?44；

从而f[f(2011)]?f(44)?6．

9．一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边

长是________

解：将等腰直角?MPN（?MPN?Rt?）的点M与正三棱柱的

顶点C重合放置，如图所示；正三棱柱的底面是正三角形且 侧棱与底面垂直；可设PB?x，则NA?2x； 因为CN?CP?PN?2CP； 所以4?(2x)?2(4?x)?x?8；

所以，斜边CN?2CP?2(4?x)?2(16?8)?43．

2222222222221n(8?48)； 7A1N2xPA4Bx44C1B1C(M)10．已知m是正整数，且方程2x?m10?x?m?10?0有整数解，则m所有可能的值

是________

解：原方程变形为：20?2(10?x)2?m10?x?m?10?0；

即m??2(10?x)2?3010?x?1??2[(10?x?1)2?2(10?x?1)?14]10?x?1

?4?2[(10?x?1)?所以，4?2[(10?x?1)?]；其中：x可取整数，m是正整数；

10?x?1]?0?(10?x?1)2?2(10?x?1)?14?0；

10?x?11414所以，[(10?x?1)?1]2?15?0?(10?x)2?15?0?10?x?15； 所以，当x?10时，m?30；当x?9时，m?14；当x?1时，m?3；

2

故m的所有可能的值是30，14，3．（整数分析法，要注意这里x有特殊要求） 二、解答题（本大题共4小题，每小题20分）

11．已知圆x2?y2?1与抛物线y?x2?h有公共点，求实数h的取值范围． 解：设公共点P(cos?, sin?)，代入抛物线方程：（著名的“三角换元”一换就灵）

15得：h?sin??cos2??sin2??sin??1?(sin??)2?；………………………………10分

24?5?因为sin????1, 1?，所以h???,1?．……………………………………………………20分

?4?12．设f(x)?x2?bx?c (b, c?R)．若x?2时，f(x)?0，且f(x)在区间(2, 3]上的最大值为1，

求b2?c2的最大值和最小值．

解：由题意函数图像为开口向上的抛物线，且f(x)在区间?2,3?上的最大值只能在闭端点取得；

故有f(2)≤f(3)?1，从而b≥?5且c??3b?8；………………………………………5分 若f(x)?0有实根，则??b2?4c≥0；

4??b≤???f(?2)?0?4?2b?c≥05???在区间??2, 2?上，有?f(2)?0即?4?2b?c≥0；消去c，解出?b≤?4；

??4≤b≤4???4≤b≤4b???2??2??2?即b??4，这时c?4，且??0；………………………………………………………10分 若f(x)?0无实根，则??b2?4c?0，将c??3b?8代入，解得?8?b??4；

综上?5≤b≤?4．………………………………………………………………………15分 所以，b2?c2?b2?(?3b?8)2?10b2?48b?64，在b?[?5, ?4]上是单调递减的； 故(b2?c2)min?32, (b2?c2)max?74．…………………………………………………20分 13．如图，P是?ABC内一点；

1（1）若P是?ABC的内心，证明：?BPC?90???BAC；

211（2）若?BPC?90???BAC且?APC?90???ABC，证明：P是?ABC的内心．

22证明：（1）因为内心是内角平分线的交点；

A

1所以?BPC?180??(?ABC??ACB)

21?180??(180???BAC)

2

P

B C 3

1?90???BAC，…………………………………………………8分

21（2）因为?BPC?90???BAC是大于90?的定角，BC是定线段；

2所以点P在BC为弦的圆上，

1?与A在BC的同侧； 其中?BPC?90???BAC，且劣弧BPC2同理，点P在AC为弦的圆上，

1APC与B在AC的同侧； 其中?APC?90???ABC，且劣弧?2所以点P是这两个圆的公共点；……………………………………………16分 由（1）可推知，?ABC的内心也是这两个圆的公共点； 又点C是此两圆的另一个公共点，但不在?ABC内，

所以点P是内心．……………………………………………………………20分

14．已知?是实数，且存在正整数n0，使得n0??为正有理数，证明：存在无穷多个正整数n，

使得n??为有理数．

qq2证明：设n0???，其中p、q为互质的正整数，则n0???2；………………5分

pp设k为任意的正整数，构造：n?p2k2?2qk?n0， 则n???

pk?2qk?n0???22q2qpk?2qk?2?pk??Q．………………20分

pp22 4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/u025.html