高2022届理科数学一轮复习课件金太阳新考案第一单元单元总结

单元总结一

微专题一集合的运算

集合的交、并、补运算多与解不等式问题相结合,解决此类问题的思路主要有两个:一是直接法,即先化简后运算,然后利用数轴表示,从而求得集合运算的结果;二是排除法,对于选择题的考查,可根据选项的差异性选取特殊元素进行验证,排除干扰项从而得到正确选项.

角度1以不等式的解集为载体的运算

【例1】设集合A={x|x2－4x＋3＜0},B={x|2x－3≤0},则A∩(?R B)=().

A.－－

B.－

C.D.

【分析】先解一元二次不等式,然后利用数轴求集合的运算,或利用排除法求解.

【试题解析】(法一:直接法)由x2－4x＋3＜0,即(x－1)(x－3)＜0,解得1＜x＜3,故A={x|1＜x＜3};由2x－3＞0,解得x＞,所以?R B=＞.

如图,用数轴表示两个集合A,B.

由图可得A∩(?R B)=,选D.

(法二:排除法)观察选项可知A,?R B两项对应集合中含有负数,C,D两项对应集合中的元素均为正数.

当x=－1时,2x－3=2×(－1)－3=－5＜0,故－1??R B,所以－1?A∩(?R B),故排除A,B两项;

当x=2时,2x－3=2×2－3=1＞0,x2－4x＋3=22－4×2＋3=－1＜0,所以2∈A,2∈?R B,所以2∈A∩(?R B),故可排除C项.

综上,选D.

【参考答案】D

【拓展训练1】已知全集U=R,A={x|x＞1},B={x|x2－2x＞0},则?U(A∪B)=().

A.{x|x≤2}

B.{x|x≥1}

C.{x|0≤x≤1}

D.{x|0≤x≤2}

【试题解析】由x2－2x＞0得x＞2或x＜0,即B={x|x＜0或x＞2},∴A∪B={x|x＜0或x＞1},∴?U(A∪B)={x|0≤x≤1}.

【参考答案】C

角度2以函数的定义域、值域为背景的运算

【例2】若集合A=－,集合B={y|y=2x,x∈A},则集合A∩B=().

A.－

B.

C.D.{0,1}

【分析】先通过求函数的值域确定集合B,再进行集合的运算.

【试题解析】因为B={y|y=2x,x∈A}=,所以A∩B=,故选C.

【参考答案】C

【拓展训练2】设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2－1＜0},则A∪B=().

A.(－1,1)

B.(0,1)

C.(－1,＋∞)

D.(0,＋∞)

【试题解析】由已知得A={y|y＞0},B={x|－1＜x＜1},则A∪B={x|x＞－1}.故选C.

【参考答案】C

微专题二判断充分条件、必要条件

充要条件的判断先要明确两个条件之间的关系,明确“甲的一个××条件是乙”与“甲是乙的××条件”两种不同叙述方式的差异性,要将其转化为基本的形式(甲是乙的××条件),然后进行判断.充要条件判断的实质就是判断两个简单命题的真假,根据条件的不同可以从集合、命题的等价转化角度进行判断.

角度1定义法

【例3】对任意的实数x,若[x]表示不超过x的最大整数,则“|x－y|＜1”是“[x]=[y]”的().

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【分析】理解新定义的含义,举出反例x=0.9,y=1,说明无充分性,必要性利用不等式性质证明.

【试题解析】当x=0.9,y=1时,满足|x－y|＜1,但[x]=0,[y]=1,[x]≠[y],所以|x－y|＜1?/[x]=[y],反之,若[x]=[y]=n,则n≤x＜n＋1,n≤y＜n＋1?－1＜x－y＜1?|x－y|＜1,所以[x]=[y]?|x－y|＜1.综上可知,“|x－y|＜1”是“[x]=[y]”的必要不充分条件.

【参考答案】B

【拓展训练3】设a,b为正实数,则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的().

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

【试题解析】y=log2x(x＞0)为增函数,当a＞b＞1时,log2a＞log2b＞0;反之,若log2a＞log2b＞0,结合对数函数的图象易知a＞b＞1成立.故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件.

【参考答案】A

角度2等价命题法

【例4】“x≠1且x≠2”是“x2－3x＋2≠0”的().

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【分析】利用原命题与逆否命题的等价性判断.

【试题解析】命题“若x≠1且x≠2,则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2=0,则x=1或x=2”.

∵x2－3x＋2=0,∴(x－2)(x－1)=0,∴x=1或x=2.

∵当x=1或x=2时,x2－3x＋2=0,

∴“x2－3x＋2=0”是“x=1或x=2”的充要条件.

故“x≠1且x≠2”是“x2－3x＋2≠0”的充要条件.

【参考答案】C

【拓展训练4】“sin α≠sin β”是“α≠β”的().

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【试题解析】α=β?sin α=sin β,但sin α=sin β?/α=β.

因此“α=β”是“sin α=sin β”的充分不必要条件,从而“sin α≠sin β”是“α≠β”的充分不必要条件.

【参考答案】A

角度3集合法

【例5】“x∈－”是“函数y=sin＋为单调递增函数”的().

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【分析】先求出函数y=sin＋在R上的单调增区间,再利用集合间的关系判断.

【试题解析】若函数y=sin＋为单调递增函数,则－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ,k∈Z,即－＋2kπ≤x≤＋2kπ,k∈Z.从而函数y=sin＋的单调递增区间是－＋＋(k∈Z).因为－ ? －＋＋(k∈Z),所以

“x∈－”是“函数y=sin＋为单调递增函数”的充分不必要条件.故选A.

【参考答案】A

【拓展训练5】设p:实数x,y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2,q:实数x,y满足－

－

则p是q的().

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【试题解析】(画出可行域,利用数形结合求解)

如图,作出p,q表示的区域,其中☉M及其内部为p表示的区域,△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域,故p是q的必要不充分条件.

【参考答案】A

微专题三含有一个量词的命题的否定

全称命题与特称命题的否定

(1)否定量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行否定.(2)否定结论:对原命题的结论进行否定.

【例6】设命题p:?n∈N,n2＞2n,则p为().

A.?n∈N,n2＞2n

B.?n∈N,n2≤2n

C.?n∈N,n2≤2n

D.?n∈N,n2=2n

【分析】先确定已知命题中所含的量词,然后根据含有量词的命题的否定形式进行判断即可.

【试题解析】因为“?x∈M,p(x)”的否定是“?x∈M,p(x)”,所以命题“?n∈N,n2＞2n”的否定是

“?n∈N,n2≤2n”.故选C.

【参考答案】C

【拓展训练6】设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:?x∈A,2x∈B,则().

A.p:?x∈A,2x?B

B.p:?x?A,2x?B

C.p:?x0?A,2x0∈B

D.p:?x0∈A,2x0?B

【参考答案】D

1.(2018年全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x2－x－2＞0},则?R A=().

A.{x|－1＜x＜2}

B.{x|－1≤x≤2}

C.{x|x＜－1}∪{x|x＞2}

D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

【试题解析】∵x2－x－2＞0,∴x＞2或x＜－1,即A={x|x＞2或x＜－1}.在数轴上表示出集合A,如图所示.

由图可得?R A={x|－1≤x≤2}.

故选B.

【参考答案】B

2.(2018年全国Ⅱ卷)已知集合A={(x,y)|x2＋y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为().

A.9

B.8

C.5

D.4

【试题解析】将满足x2＋y2≤3的整数x,y全部列举出来,即(－1,－1),(－1,0),(－1,1),(0,－1),(0,0),(0,1),(1,－1),(1,0),(1,1),共9个.

故选A.

【参考答案】A

3.(2018年全国Ⅲ卷)已知集合A={x|x－1≥0},B={0,1,2},则A∩B=().

A.{0}

B.{1}

C.{1,2}

D.{0,1,2}

【试题解析】∵A={x|x－1≥0}={x|x≥1},∴A∩B={1,2}.

故选C.

【参考答案】C

4.(2018年北京卷)设a,b均为单位向量,则“|a－3b|=|3a＋b|”是“a⊥b”的().

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【试题解析】由|a－3b|=|3a＋b|,得(a－3b)2=(3a＋b)2,

即a2＋9b2－6a·b=9a2＋b2＋6a·b.

又因为a,b均为单位向量,所以a2=b2=1,

所以a·b=0,即a⊥b.

由a⊥b得|a－3b|=,|3a＋b|=,

能推出|a－3b|=|3a＋b|.

所以“|a－3b|=|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件.

故选C.

【参考答案】C

5.(2017年全国Ⅰ卷)设有下面四个命题:

p1:若复数z满足∈R,则z∈R;

p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;

p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;

p4:若复数z∈R,则∈R.

其中真命题为().

A.p1,p3

B.p1,p4

C.p2,p3

D.p2,p4

【试题解析】设z=a＋b i(a,b∈R),z1=a1＋b1i(a1,b1∈R),z2=a2＋b2i(a2,b2∈R).

对于p1,若∈R,即

＋=－

＋

∈R,则b=0,所以z=a＋b i=a∈R,所以p1为真命题.

对于p2,若z2∈R,即(a＋b i)2=a2＋2ab i－b2∈R,则ab=0.当a=0,b≠0时,z=a＋b i=b i∈/R,所以p2为假命题.

对于p3,若z1z2∈R,即(a1＋b1i)(a2＋b2i)=(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R,则a1b2＋a2b1=0.而z1=,即a1＋b1i=a2－

b2i?a1=a2,b1=－b2.因为a1b2＋a2b1=0?/a1=a2,b1=－b2,所以p3为假命题.

对于p4,若z∈R,即a＋b i∈R,则b=0?=a－b i=a∈R,所以p4为真命题.

故选B.

【参考答案】B

6.(2018年北京卷)能说明“若f(x)＞f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数

是.

【试题解析】设f(x)=sin x,则f(x)在0,上是增函数,在,2上是减函数.由正弦函数图象知,当x∈(0,2]时,f(x)＞

f(0)=sin 0=0,故f(x)=sin x满足条件f(x)＞f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,但f(x)在[0,2]上不是增函数.

【参考答案】f(x)=sin x(答案不唯一)

单元检测一

一、选择题

1.(2018东北四校模拟)设集合A={x|x2－x－2＜0},集合B={x|1＜x＜4},则A∪B=().

A.{x|1＜x＜2}

B.{x|－1＜x＜4}

C.{x|－1＜x＜1}

D.{x|2＜x＜4}

【试题解析】因为A={x|x2－x－2＜0}={x|－1＜x＜2},

所以A∪B={x|1＜x＜4}∪{x|－1＜x＜2}={x|－1＜x＜4},故选B.

【参考答案】B

2.(教材改编)命题“?x0∈?R Q,∈Q”的否定是().

A.?x0??R Q,∈Q

B.?x0∈?R Q,?Q

C.?x??R Q,x3∈Q

D.?x∈?R Q,x3?Q

【试题解析】“?x0∈?R Q”的否定为“?x∈?R Q”,根据条件,“∈Q”的否定改写为“x3?Q”.

【参考答案】D

3.(2018河北名校联合模拟)已知命题p:?x∈R,log2(3x＋1)≤0,则().

A.p是假命题;p:?x∈R,log2(3x＋1)≤0

B.p是假命题;p:?x∈R,log2(3x＋1)＞0

C.p是真命题;p:?x∈R,log2(3x＋1)≤0

D.p是真命题;p:?x∈R,log2(3x＋1)＞0

【试题解析】∵3x＞0,∴3x＋1＞1,则log2(3x＋1)＞0,∴p是假命题.p:?x∈R,log2(3x＋1)＞0.故选B.

【参考答案】B

4.(2018河南示范学校联考)设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是().

A.p∨q

B.p∧q

C.(p)∧(q)

D.p∨(q)

【试题解析】当非零向量a,c方向相同且都和非零向量b垂直时,结论a·b=0,b·c=0成立,但是a·c=0不成立,可知命题p是假命题,命题p是真命题;易知命题q为真命题,命题q是假命题.

结合复合命题p∨q,p∧q,p的真假判断方法知,选项A正确.

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