2019中考数学一轮新优化复习 第一部分 第三章 函数 第15讲 二次

第一部分 第三章 第15讲

命题点1 二次函数的实际应用(2018年贺州考，2015年3考)

1．(2018·贺州17题3分)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，则每件商品的售价应为＋＋＋__25__－－－元．

2．(2015·玉林、防城港24题9分)某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)存在一次函数关系，如图所示．

(1)求y关于x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；

(2)应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？

??20k＋b＝20，解：(1)设y＝kx＋b，∵图象经过点(20,20)，(30,0)，∴?

?30k＋b＝0，???k＝－2，

???b＝60.

解得

∴y关于x的函数关系式为y＝－2x＋60.

(2)设销售利润为P，则P＝(x－10)y＝(x－10)(－2x＋60)＝－2x＋80x－600. ∵a＝－2＜0，∴P有最大值，

80

当x＝－＝20时，P有最大值，P最大值＝200.

－2×2

答：当销售价为20元/千克时，每天可获得最大利润，最大利润为200元． 命题点2 二次函数的综合应用(2018年9考，2017年7考，2016年11考) 1

3．(2018·贵港12题3分)如图，抛物线y＝(x＋2)(x－8)与x轴交于A，B两点，与

4

2

y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D.下列结论：①抛物线的对称轴是直线x＝3；②

⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D相切．其中正确结论的个数是( B )

A．1

B．2

1

C．3 D．4

4．(2017·北部湾经济区12题3分)如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x(x≥0)和抛物线C2：y＝(x≥0)交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物

4线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则

2

x2

S△OFB的值为( D ) S△EAD

A．2

6

B．

2

4

1

C． 41D． 6

92

5．(2018·梧州26题12分)如图，抛物线y＝ax＋bx－与x轴交于A(1,0)，B(6,0)

2两点，D是y轴上一点，连接DA，延长DA交抛物线于点E.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若E点在第一象限，过点E作EF⊥x轴于点F，△ADO与△AEF的面积比为求出点E的坐标；

(3)若D是y轴上的动点，过D点作与x轴平行的直线交抛物线于M，N两点，是否存在点D，使DA＝DM·DN？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

92

解：(1)∵抛物线y＝ax＋bx－经过点A(1,0)，B(6,0)，∴将A(1,0)，B(6,0)分别代

29

a＋b－＝0，??2

入，得?9

36a＋6b－＝0，??29

－. 2

(2)∵EF⊥x轴，∴∠AFE＝90°.

∵∠AOD＝∠AFE＝90°，又∵∠OAD＝∠FAE，

2

S△ADO1

＝，S△AEF9

3a＝－，??4

解得?21

b＝??4.

3221

∴抛物线的解析式为y＝－x＋x44

2

∴△AOD∽△AFE.∵

S△ADOAO21

＝()＝， S△AEF AF 9

OA1

∴＝，∵A(1,0)，∴AO＝1， AF3

∴AF＝3，OF＝3＋1＝4， ∴点E的横坐标为4.

322199

当x＝4时，y＝－×4＋×4－＝，

44229

∴点E的坐标是(4，)．

2

(3)存在点D，使DA＝DM·DN.理由如下： 设点D的坐标为(0，h)，M(x1，h) ，N(x2，h)． 在Rt△ADO中，DA＝OD＋OA＝h＋1. 易得直线DN的解析式为y＝h， 3219??y＝－x2＋x－，442联立得???y＝h，

2

2

2

2

2

整理，得3x－21x＋18＋4h＝0，

2

18＋4h根据根与系数的关系，得x1x2 ＝，

3①当0

DM＝ |x1| ＝x1，DN＝|x2| ＝x2，

18＋4h∴DM·DN＝x1·x2＝.

3

18＋4h22

当DA＝DM·DN时，有h＋1＝，

35

解得h1 ＝3，h2＝－. 3②当x1<0

DM＝|x1|＝ －x1，DN＝|x2| ＝x2，

18＋4h∴DM·DN＝－x1·x2＝－. 3

18＋4h22

当DA＝DM· DN时，有h＋1 ＝－.

3∴3h ＋4h＋21＝0，b－4ac＝4－4×3×21<0， ∴方程无解．

5

综上所述，点D的坐标为(0,3)或(0，－)．

3

6．(2018·柳州26题10分)如图，抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于A(3，0)，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OA＝3OC，∠OAC的平分线AD交y轴于

3

2

2

2

2

点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值；

1

(3)当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的

21

一个动点，求AQ＋EQ的最小值．

4

解：(1)由题意，得A(3，0)，B(－33，0)，C(0，－3)，设抛物线的解析式为y＝

a(x＋33)(x－3)，

1

把C(0，－3)代入得a＝，

3

122

∴抛物线的解析式为y＝x＋3x－3.

33(2)在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝3， ∴∠OAC＝60°.

∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°， ∴OD＝OA·tan30°＝3×∴D(0，－1)，

设直线AD的解析式为y＝kx＋t(k≠0)，将点A(3，0)，D(0，－1)代入，得

3

＝1， 3

OCOA?3k＋t＝0，?

?t＝－1，

??k＝3，3解得???t＝－1，

∴直线AD的解析式为y＝

3

x－1. 3

12233

由题意知P(m，m＋m－3)，H(m，m－1)，F(m,0)，∵FH＝PH，

3 33∴1－33123m＝m－1－(m2＋m－3)， 33 33

解得m＝－3 或3(舍去)，

4

∴当FH＝HP时，m的值为－3. (3)如答图，连接HC.

∵PF是对称轴，∴F(－3，0)，H(－3，－2)． ∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EO＝3OA＝3，∴E(0,3)． ∵C(0，－3)， ∴HC＝3

2

＋1＝2，AH＝2FH＝4，

2

1

∴QH＝CH＝1，

2

17315

在HA上取一点K，使得HK＝，此时K(－，－)．

4 88∵HQ＝1，HK·HA＝1，

∴HQ＝HK·HA，可得△QHK∽△AHQ，

22

KQHQ11

∴＝＝，∴KQ＝AQ， AQAH44

1

∴AQ＋QE＝KQ＋EQ， 4

1

∴当E，Q，K三点共线时，AQ＋QE的值最小，

4最小值为

738

2

＋

15＋8

2

＝417. 4

2

7．(2018·北部湾经济区26题10分)如图，抛物线y＝ax－5ax＋c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A(－3,0)，C(0,4)，点B在x轴上，AC＝BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM＝BN，连接MN，AM，AN.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标； (3)试求出AM＋AN的最小值.

5

解：(1)把A(－3,0)，C(0,4)代入y＝ax1??a＝－，6???c＝4，

2

??9a＋15a＋c＝0，

－5ax＋c，得?

?c＝4，?

解得

125

∴抛物线的解析式为y＝－x＋x＋4.

66∵AC＝BC，CO⊥AB，∴OB＝OA＝3，∴B(3,0)． ∵BD⊥x轴交抛物线于点D，∴D点的横坐标为3， 15

当x＝3时，y＝－×9＋×3＋4＝5，

66∴D点坐标为(3,5)．

(2)在Rt△OBC中，BC＝OB＋OC＝3＋4＝5，设M(0，m)，则CM＝BN＝4－m，CN＝5－(4－m)＝m＋1，∵∠MCN＝∠OCB，∴当＝时，△CMN∽△COB，

则∠CMN＝∠COB＝90°，即

4－mm＋1

＝， 45

2

2

2

2

CMCNCOCB1616

解得m＝，此时M点坐标为(0，)．

99当＝时，△CMN∽△CBO， 则∠CNM＝∠COB＝90°， 即

4－mm＋11111＝，解得m＝，此时M点坐标为(0，)． 5499

CMCNCBCO1611

综上所述，点M的坐标为(0，)或(0，)．

99(3)连接DN，AD，如答图，

∵AC＝BC，CO⊥AB， ∴OC平分∠ACB， ∴∠ACO＝∠BCO. ∵BD∥OC， ∴∠BCO＝∠DBC.

∵DB＝BC＝AC＝5，CM＝BN， ∴△ACM≌△DBN，

6

∴AM＝DN，

∴AM＋AN＝DN＋AN，而DN＋AN≥AD(当且仅当点A，N，D共线时取等号)， ∴DN＋AN的最小值＝6＋5＝61， ∴AM＋AN的最小值为61.

8．(2018·玉林26题12分)如图，直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝－x＋bx＋c与直线y＝c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA(O为坐标原点)．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点(包括端点)，其横坐标为m.

(1)直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；

(2)当m为何值时，△MAB的面积S取得最小值和最大值？请说明理由； (3)求满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．

2

2

2

解：(1)当y＝c时，有c＝－x＋bx＋c， 解得x1＝0，x2＝b，

∴点C的坐标为(0，c)，点P的坐标为(b，c)． ∵直线y＝－3x＋3与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(0,3)， ∴OB＝3，OA＝1，BC＝c－3，CP＝b.

∵△PCB≌△BOA，∴BC＝OA，CP＝OB.∴b＝3，c＝4， ∴点P的坐标为(3,4)，抛物线的解析式为y＝－x＋3x＋4. (2)当y＝0时，有－x＋3x＋4＝0， 解得x1＝－1，x2＝4， ∴点F的坐标为(4,0)．

过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如答图1所示．

2

2

2

∵点M的横坐标为m(0≤m≤4)，

∴点M的坐标为(m，－m＋3m＋4)，点E的坐标为(m，－3m＋3)，

1121122

∴ME＝－m＋3m＋4－(－3m＋3)＝－m＋6m＋1，∴S＝OA·ME＝－m＋3m＋＝－(m2222

7

2

－3)＋5.

1

∵－＜0,0≤m≤4，

2

1

∴当m＝0时，S取最小值，最小值为；

2当m＝3时，S取最大值，最大值为5. (3)如答图2①当点M在线段OP上方时，

∵CP∥x轴，∴当点C，M重合时，∠MPO＝∠POA，

∴点M的坐标为(0,4)；

②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO＝DP，此时∠DPO＝∠POA.

设点D的坐标为(n,0)，则DO＝n，

2

DP＝n－

2＋－

2，

2522

∴n＝(n－3)＋16，解得n＝，

625

∴点D的坐标为(，0)．

6

设直线PD的解析式为y＝kx＋a(k≠0)， 25

将P(3,4)，D(，0)代入y＝kx＋a，得

63k＋a＝4，???25

k＋a＝0，??6

24

k＝－，??7解得?100

a＝??7.

∴直线PD的解析式为y＝－

24100

x＋. 77

联立直线PD及抛物线的解析式，得 24100?? y＝－x＋，77?

??y＝－x2＋3x＋4，

?? x1＝3，

解得?

?y1＝4，?

24

x＝，??7?124??y＝49.

22

24124

∴点M的坐标为(，)．

749

24124

综上所述：满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标为(0,4)或(，)．

749

8

9

10

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tzw8.html