第九章（第二部分）重积分习题

第九章 重积分

（第一部分）二重积分习题

1. 计算二重积分??(x?y)3dxdy，其中D由曲线x?1?y2与直线x?2y?0及

Dx?2y?0围成。

2. 计算??ex?yd?．其中D?{(x, y)||x|?|y| ?1}．

D3. 计算??R2?x2?y2dxdy．其中D是圆周x2?y2?Rx所围成的闭区域。

D4. 计算??|y?x2|dxdy，其中D?{(x, y)|0?x?1, 0?y?2}.

D5. 设区域D?{(x, y)|x2?y2?1, x?0}，计算二重积分 I?1t31?xydxdy. ??22D1?x?y6. 设f(u)有连续的一阶导数，且f(0)?0. 求 lim?t?0x2?y2?t2??f(x2?y2)dxdy.

7. 求上半球面z?2?x2?y2与旋转抛物面z?x2?y2所围成的立体的体积。 8. 改变二次积分?dy? 0 1 12 1 2y 0f(x, y)dx??dy? 1 3 3?y 0f(x, y)dx的积分次序。

9. 计算?dx?x2e?ydy.

0 x10. 求由直线x?y?c,x?y?d,y?ax,y?bx,(0?c?d,0?a?b)所围成的闭区域D的面积。 11. 计算??eDyx?ydxdy，其中D是由x轴、y轴和直线x?y?1所围成的闭区域。

12. 设区域D?{(x,y)|x2?y2?4,x?0,y?0}，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，求??Daf(x)?bf(y)f(x)?f(y)d?.

bb13. 设函数f(x)在[a,b]上连续，且恒大于零，证明：?f(x)dx?aadx?(b?a)2. f(x)?x2y,1?x?2,0?y?x14. 设f(x,y)??，求??f(x,y)dxdy，其中D：x2?y2?2x.

其它?0,D

— 1 —

15. 求??Dx2y2x2y21?2?2dxdy， D：2?2?1. abab1?1?1?x2?x16.求积分I??dx?0dyx?y224?x?y22．

17. 求I???(|x|?|y|)dxdy，D：x2?y2?1.

D18. 计算二重积分??emax{xD2,y2}dxdy，其中D?{(x, y)|0?x?1, 0?y?1}.

（第二部分）三重积分习题

1. 计算三重积分???xy2z3dxdydz．其中?是由曲面z?xy与平面y?x，x?1及z?0?所围成的闭区域。 2.计算三重积分

22222．其中是两个球体及zdxdydzx?y?z?R?????x2?y2?z2?2Rz(R?0)的公共部分。

3. 设?: x2?y2?1, 0?z?1，计算???[eztan(x2y3)?3]dv.

?4．设f(x)连续，F(t)?222222，其中，. ?: 0?z?h[z?f(x?y)]dxdydzx?y?t????求

F(t)dF，lim. 2t?0?tdt2?x2y2z2?x????5. 计算闭曲面? （h?0）所围之体积。 ?a2b2c2?h??6. 计算???(x?y?z)dv，其中??{(x, y, z)|x2?y2?z2?R2, x?0, y?0, z?0}.

??7. 计算 I??2ln01?acosxdx?1?acosxcosx(|a|?1).

8.计算 I??arctanxdx?.

20x1?x19.证明：若函数f(x,y,z)连续，则???f(ax?by?cz)dxdydz????f(ku)dudvd?，

???222其中 ?：x2?y2?z2?1，??：u2?v2??2?1，k?a?b?c.

10. 证明

?x0dv?du?f(t)dt?00vu1x2(x?t)f(t)dt. ?02— 2 —

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