三角恒等变换知识点总结

三角恒等变换专题

一、知识点总结

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ

--=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=

- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

?升幂公式2

sin 2cos 1,2cos 2cos 122α

ααα=-=+ ?降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2

αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3、

?（后两个不用判断符号，更加好用）

4、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(

??形式。()sin cos ααα?A +B =

+，其中tan ?B =A

． 5．（1）积化和差公式 sin α·cos β=

21[sin(α+β)+sin(α-β)] cos α·sin β=2

1[sin(α+β)-sin(α-β)] cos α·cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)] sin α·sin β= -21[cos(α+β)-cos(α-β)] （2）和差化积公式

sin α+sin β= 2cos 2sin 2β

αβ

α-+ sin α-sin β=2sin 2cos 2β

αβ

α-+

ααααααα半角公式cos 1cos 12t an 2

cos 12sin ;2cos 12cos :+-±=-±=+±=2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :2

2

2αααααα万能公式+-=+=

cos α+cos β=2cos 2cos 2βαβ

α-+ cos α-cos β= -2sin 2

sin 2βαβα-+ tan α+ cot α=α

αα2sin 2cos sin 1=? tan α- cot α= -2cot2α 1+cos α=2cos

22α 1-cos α=2sin 22α 1±sin α=(2cos 2

sin αα

±)2 6。（1）升幂公式 1+cos α=2cos

22α 1-cos α=2sin 22α 1±sin α=(2cos 2sin

αα±)2 1=sin 2α+ cos 2α sin α=2cos 2sin 2α

α

（2）降幂公式

sin 2α22cos 1α-= cos 2α2

2cos 1α

+=

sin 2α+ cos 2α=1 sin α·cos α=α2sin 21

7、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，

倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4

α的二倍； ②2304560304515o

o

o o o o =-=-=；问：=12sin π ；=12cos π ； ③ββαα-+=)(；④)4(24απ

π

απ

--=+； ⑤)4()4()()(2απ

απ

βαβαα--+=-++=；等等

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常

化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的

代换变形有：

o o 45tan 90sin cot tan cos sin 122===+=αααα

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用

降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

如：_______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-α

α； ____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα；

____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；

=αtan 2 ；=-α2tan 1 ；

=++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan ；

=+ααcos sin = ；

=+ααcos sin b a = ；（其中

=?tan ；）

=+αcos 1 ；=-αcos 1 ；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值

与特殊角的三角函数互化。 如：=+)10tan 31(50sin o o ；

=-ααcot tan 。

=9

4cos 92cos 9cos πππ ； =++7

5cos 73cos 7cos πππ ；推广： =++7

6cos 74cos 72cos πππ ；推广： 二、基础训练

1．下列各式中，值为12

的是 225

. 2．已知5sin(

)cos cos()sin αβααβα---=

，那么2cos β的值为____ 3．110sin -______ 4．已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a ，乙求得的结果是212a a -，对

2sin50(13tan10

)+

8．已知sin cos 21,tan()1cos 23

ααα

βα=-=--，求tan(2)βα-的值 9．已知A 、B 为锐角，且满足

tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____ 10．若32

(,)αππ∈

_____ 11．函数25f (x )sin xcos x x =-x R )∈的单调递增区间为___________ 12．化简：42212cos 2cos 22tan()sin ()4

x x x x ππ-+-+ 13．若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___________.

14．当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______

15．如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?= 16．求值：=?+?

-?20sin 6420cos 120sin 3222________ 17．若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，0cos cos cos αβγ++=，求βα-的值

三、规范解题

1.. 已知α∈(

4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．

2.．化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-

21cos2α·cos2β.

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