优秀论文 - 储油罐的变位识别与罐容表标定问题的研究 - 周丙常指

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： J0928 所属学校（请填写完整的全名）： 西北工业大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 张贺 2. 胡琳梅 3. 丁瑞香

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 周丙常

日期： 2010 年 9 月10 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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储油罐的变位识别与罐容表标定问题的研究

摘要

通常加油站都有预先标定的罐容表，然而许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，导致罐容表发生改变。本文在储油罐发生变位的情况下，研究储油罐内储油量与油位高度及变位参数的关系模型，以解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

问题一，对于几何外形简单规则的小椭圆型储油罐，首先通过几何及积分运算，得到罐内储油量V作为纵向倾斜角度?和油位高度h的函数的解析表达式，建立数学模型，然后对求得的模型进行误差分析和修正。在无倾斜的情况下，计算得到的相对误差是不随液面高度变化的定值，通过修改油罐长度的测量误差对模型进行修正。当?=4.1?时，在无变位情况下修正模型的基础上，利用实验数据，计算模型的误差值，得到误差值是关于油面高度的函数，则根据附件1的数据，拟合误差函数并对模型经行误差补偿，从而再次修正由积分得到的理论模型。然后用实际数据做出检验，得到修正后的相对误差为0.16%，说明模型修正取得了很好的效果。利用修正后的模型，计算并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值，具体罐容表标定见附录中的表1。

问题二，对于两端是球冠体，中间是圆柱体的储油罐，首先考虑纵向倾斜?角度的情况，实际储油罐两端球冠中的油量体积，可以通过油罐中倾斜液面的平均高度简化为水平液面的液面高度近似计算，经过验证这样近似引起的误差可以忽略不计。而中间的圆柱体，可看作第一问中椭圆柱体的特殊情况，利用第一问中已经求出的模型进行计算。将三部分的油量体积值相加，可以得出储油罐内油量V关于纵向倾斜角度?和油位高度h的理论表达式。在此基础上，再考虑横向偏转?角度，有几何关系知储油罐内实际油位高度h与显示油位高度H和横向偏转角度?有关，将这一关系代入储油罐内油量V关于纵向倾斜角度?和油位高度h的理论表达式，得出储油罐内油量V关于纵向倾斜角度?、横向偏转角度?和显示油位高度H的一般关系。然后令??0o和??0o，利用附件2中未做变位标定的显示油高与显示油量容积的数据，计算相对误差几乎为0，说明建立的数学模型具有很高的精度。再利用附件2的数据，得到出油量的理论值，结合表中出油量的观测值，求得出油量相对误差的平均值，以平均相对误差最小作为目标函数，用遗传算法编程优化出变位参数

??2.252?，??4.435?。最后将变位参数代入模型，计算并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值，具体罐容表标定见附录中的表2。

关键词：变位识别 罐容表标定 误差分析 遗传算法

1

目录

一、 问题重述 ........................................................................................................................................ 3 二、符号说明 ........................................................................................................................................ 3 三、基本假设 ........................................................................................................................................ 4 四、问题分析 ........................................................................................................................................ 4 五、模型建立与求解 ............................................................................................................................ 5

5.1 问题一...................................................................................................................................... 5

5.1.1 模型建立 ....................................................................................................................... 5 5.1.2 模型求解 ....................................................................................................................... 9 5.2 问题二.................................................................................................................................... 13

5.2.1模型建立 ...................................................................................................................... 13 5.2.2 模型求解 ..................................................................................................................... 16

六、模型评价 ...................................................................................................................................... 17 七、模型推广 ...................................................................................................................................... 18 参考文献 .............................................................................................................................................. 18 附录 ............................................................................................................................................... 19

2

一、 问题重述

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为?=4.1°的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二、 符号说明 V 储油罐油量 纵向偏斜角度 横向偏转角度 油面高度 油高测量值 椭圆长半径 椭圆短半径 球冠体的弦线处油面高度 球冠所在球体半径 顶部内高 球冠顶部内半径 ? ? h H a b h0 R d r 3

V0 V1 V2 圆柱部分油量 左球冠部分油量 右球冠部分油量 误差的平均值 储油罐油量 纵向偏斜角度 横向偏转角度 ? V ? ? 三、 基本假设

1.假设题中附表2中体积标定值为无变位时情形。 2.忽略管道对体积误差的影响。

3.假设油罐在实验过程中没有发生变形。 4.假设实验过程中的温度、压强等因素恒定。 5.假设罐体制造几何形状绝对精确。

四、 问题分析

加油站的地下储油罐，会因为地基变形等原因发生纵向倾斜和横向偏转等变化，即变位，从而导致标定储油量与罐内油位高度对应关系的罐容表发生改变。于是需要针对变位后的储油罐，重新进行罐容表的标定。根据纵向倾斜角度?和横向偏转角度?及油位高度，我们建立数学模型，求得罐内油量V关于?、?及油位高度h的函数关系，解决罐容表的重新标定。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据数学模型确定变位参数，解决储油罐的变位识别问题。

1）对问题一，要求建模研究小椭圆型储油罐在纵向倾斜后对罐容表的影响并给出高度间隔为1cm的罐容表标定值。对于几何外形简单规则的小椭圆型储油罐，在纵向倾斜角度?下，我们通过几何计算及而二重积分，求得罐内油量V关于纵向倾斜角度?及油位高度h的函数解析解，建立数学模型。利用附表一中在无变位的情况下的实验数据，进行模型检验，求出误差并进行分析，找到误差来源从而对模型进行修正。在倾斜角为?=4.1°的纵向变位情况下，消除无变位时的误差之后，利用实验数据进行模型检验，并通过检验得到的误差值，再次修正理论模型。根据最终的修正模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?）之间的一般关系，给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

2）对问题二，要求对实际形状的储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即求出罐内油量V关于纵向倾斜角度?和横向偏转角度?及油位高度h的一般关系，并利用实验数据，根据模型确定变位参数?、?，从而给出罐体变位后的罐容表标定值。首先只考虑纵向倾斜?角度的情况，实际储油罐两端球冠中的溶液体积可利用近似求解的思想，将倾斜液面近似为水平液面从而简化计算，中间部分的圆柱体可看作椭圆柱体的特殊情况，利用第一问的模型很容易算出其中溶液的体积。对三部分溶液体积求和，得到纵向变位?角度情况下的罐内油量V关于?、?及h的函数

4

关系。接下来，在此基础上考虑横向偏转?角度，通过几何分析求得实际油位高度h与测量值H之间的关系，代入V关于?、?及h的函数关系式得到V关于?、?及H的函数关系式。然后观察分析附表2所给数据，由于附录中所给的显示油量容积是在认为油罐无变位情况下的油量，可以用来检验模型的正确性，此时取?、?为0。在得到正确模型的情况下，我们应用遗传算法，求出一组?、?值，根据显示油高求出相应油量的理论值，得到相邻两组数据的差值，即理论出油量，使得理论出油量与实验数据中的实际出油量误差总和最小。确定变位参数?、?后，根据模型，给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

五、 模型建立与求解

5.1 问题一 5.1.1 模型建立

模型一：无纵向偏斜的油量计算

对于问题一中的小椭圆型储油罐，在无纵向偏斜的情况下，即?=0°时求解罐内油量V关于油位高度h的函数模型。此时的油位高度h是指在油罐内一个定轴上的油浮子所在高度，在无纵向偏斜的情况下油位高度h为整个油面所在的高度。建立三维空间坐标系Oxyz，小椭圆油罐正面和任意横截面示意图如图1和图2所示：

图1 ?=0°时小椭圆油罐正面示意图 图2 ?=0°时小椭圆油罐任意横截面示意图

在无偏斜的情况下，油罐所有横截面的油面高度均相同 横截面的椭圆方程为

x2?y?b???1 （1） a2b2在每一截面内，石油所占面积S是关于该截面油面高度h1的函数。在油面内，取一微元dS，通过在y方向的积分计算求得

b又在油罐无倾斜时，油罐中油面高度处处相等，即有h?h1，则得到任意截面的石油所占面积S

02

S??dS??2ah1?y?b?1?22dy （2）

5

b 然后，我们取一平行于xOy面，厚度为dz的体积微元dV，易知每个体积微元dV内石油的体积均相等，在z轴上积分得无偏斜时的油量

0S??dS??2ah?y?b?1?22dy （3）

b对式?4?积分，得无纵向偏斜时油量V关于油面高度h的模型

0V??dV?2.45?2ah?y?b?1?22dy （4）

V?ab?h?bh?b?arcsin?()?sin2arcsin?()???L （5） ??2?bb?

模型二：有纵向偏斜的油量计算

在小椭圆油罐有纵向偏斜时，由于要标定的罐容表是罐内油浮子的油位高度h与储油量V的对应关系，所以在求解油量V关于油浮子所在油位高度h的函数关系时，可以将油罐的实际储油分为四种情况，即储油罐内实际的水平油面与y轴交点H在0-hA、hA?hB、hB?hC和hC?hD的四种不同情况。其中hA、hB、hC和hD分别为油罐垂直轴截面上点A、B、C、D距离水平地面的高度，油罐储油情况的四种分类和横截面示意图如图3和图4所示

图3 ??0时小椭圆油罐垂直轴截面示意图 图4 ??0时小椭圆油罐某横截面示意图

??

在有纵向偏斜的情况下，油罐所有横截面的油面高度均不相同，其任一液面的液面高度h1是关于变量z的函数，与偏斜角?有关。

1) 0?H?hA

此时，易知油浮子处高度h=0，实际油量并不为零。当H?hA时，V?VA，则在这种情况下，实际油量的范围是0?VA。

2) hA?H?hB

此时油浮子处高度h?0。建立油量V关于油浮子处油位高度h的函数关系。

6

在第二种情况下，液面高度的取值范围为0?h?2.05tan?。

我们首先建立任意截面的液面高度h1关于坐标z、倾斜角?和油浮子处油面高度h的函数。由于油面所在直线与y轴交线的y坐标即为任意截面的液面高度h1，有y?h1。设油浮子处y?h，z?0.4，左端面的液面高度为h0。在yOz平面上，由于油面所在直线是水平的，得直线斜率k??tan?，又知直线过点(0.4,h)。由点斜式可以得到油面所在直线的方程

y??tan??(z?0.4)?h （6）

则任一截面的液面高度h1即为液面所在直线的y值，可得

h1??tan??(z?0.4)?h （7）

在平行于xOy的油罐横截面内，石油所占面积S关于该截面的油面高度h1的函数与模型一中相同，即公式?2?，S??dS??2a0h1?y?b?1?b22dy在有倾斜角时仍然成

立。

然后，同样我们在z轴上取一平行于Oxy面，厚度为dz的体积微元dV，每个体积微元dV内石油的液面高度h1是关于变量z的函数。令y?0，利用公式（5）可求

h得此时z?0.4?，是对dz积分的积分上限。在z轴上积分得油量

tan?V??dV??0.4?htan?0dz?2a0h1y?b??1?b22dy （8）

其中h1由公式（6）给出，带入上式得

V??0.4?htan?0dz??tan??(z?0.4)?h02a?y?b?1?b22dy （9）

1可得在有纵向倾斜角?时，由MATLAB软件进行符号积分??，得第二种情况下

储油罐内油量V关于油浮子处液面高度h的函数模型。

31ab?b?h222?3pch?3pc2dV???2?2b?h?h/b?6b?harcsin?62b?h?h????????????6c??b

33b?hc?dc2?h222?arcsin?2/b?dc?hc?h?2(?dc?hc?h?2b)2b11?22222?6dc?hc?h(?dc?hc?h?2b)?6(dc?hc?b?h)? （10） ?

3) hB?H?hC

这时储油罐内实际的水平油面高度在hB?hC范围内，建立油量V关于油浮子处

??油位高度h的函数关系。在第三种情况下，液面高度的取值范围为2.05tan??h?1.2?0.4tan?。

易知此时对油量的积分过程与上一种情况相同，而对dz积分的积分上下限变为0?z?2.45。带入式（8），得第三种情况下的储油罐内油量V关于油浮子处液面高

7

度h的函数模型

V??2.450dz??tan??(z?0.4)?h02a?y?b?1?b22dy （11）

31ab?b?h22/b?6b?harcsin2 V???2??6??2b?h??h????2b?h??h?????6c?b1zc?h?b222?6(h?cz?b)arcsin?6?2hcz?2hb?h?zc?2bcz?2

b3?22222 ?2/b2hcz?2hb?2bcz?h?zc?3pcz? （12）

???

4) hC?H?hD

这时储油罐内实际的水平油面高度在hC?hD范围内，建立油量V关于油浮子处油位高度h的函数关系。

在第四种情况下，液面高度的取值范围为1.2?0.4tan??h?1.2?2.05tan?。此时可以通过补偿法，对油罐内上部空缺的部分用相应的第二种情况下的油罐下部体积进行补偿，通过总油罐体积与等体积的下部油量之差求解。当油浮子处液面高度为h时，上部空缺体积可由第二种情况下左端面高度为h0?的油量来等价替代。通过几何关系中三角形相似，得

1.2?h(1.2?h)cot? （13） ?2.05?(1.2?h)cot??h0解得h0??2.05tan??1.2?h。

此时对等体积的下部油量，等效的油浮子处油面高度h?

h??h0??0.4tan??1.65tan??1.2?h （14） 则带入公式（8），可得等体积的下部油量体积V?

V???0.4?h?tan?0?tan??(z?0.4)?h?dz?02a?y?b?1?b22dy （15）

而油罐的总体积由椭圆柱体积公式，易得

V0??abL

则在这种情况下，罐内油量V关于油浮子处液面高度h的函数模型为

V?V0?V???abL??0.4?h?tan?0（16）

dz??tan??(z?0.4)?h?02a?y?b?1?b22dy （17）

其中h?由式（11）给出。

31?ab?b?h22/b?6b?h?arcsin2 V??ab???2??6??2b?h???h?????2b?h???h??????6c?b 8

3b?h?c?dc2?h?22?6(dc?h?c?b?h?)arcsin?2/b?dc?hc?h??2?3pch?

b311?222 ?(?dc?h?c?h??2b)2?6dc?h?c?h?2(?dc?h?c?h??2b)2?3pc2d?（18）?其中a?0.89，b?0.6，c?tan?，d?0.4，z?2.45，p??，h??1.65tan??1.2?h。

5.1.2 模型求解 模型一：

利用附表1中不偏斜的数据，带入模型，计算油量的理论值，可知理论值始终大于测量值，且二者趋势相同，如图5所示

2??图5 油量理论值与测量值比较图示

求得相对误差不随油面高度变化，即相对误差几乎是一定值，近似为3.49%，只在十万分之一的数量级上变化。分析问题一中油罐的图示，考虑到相对误差值几

3乎一定，我们得出这一固定的相对误差只可能是由于油罐长度的测量误差造成??。于是得到油罐长度的误差值为3.49%。则实际油罐长度L0与测量油罐长度L的关系为

L?L0?3.49% （19） L0L。

1?3.49%将修正过的油罐长L0带入式（15），得出修正过的油量关于油位高度的关系，

解得L0?再计算误差，得最大误差为0.0025%。可见对不偏斜的模型修正的效果很好。

9

图6 修正油罐长度误差后的理论值和标定值示意图

从图6可以看出，修正后的理论值与标定值吻合情况很好，证明了模型修正的效果很好。

模型二：

利用附表一中偏斜的数据，带入模型，计算油量的理论值，可知油量的相对误差在5%?1%的范围内，如图7所示

图7 有纵向偏斜时油量理论值与测量值的图示

再对倾斜时的模型，首先进行油罐长度L的修正。计算得出进行油罐长度L修正后的相对误差，并得到关于油位高度的分布图，知相对误差在3%?-1%的范围内，相对未修正L值前有了一定的减小，如图8所示

10

图8 纵向倾斜修正L后油量相对误差图

同时可以得到修正油罐长度后，油量的绝对误差随液面高度的示意图

图9 纵向倾斜修正L后油量绝对误差图

从该图可以看出，绝对误差关于油面高度近似成二次曲线的形状。

根据绝对误差图像形状，编程对绝对误差曲线进行二次曲线拟合，得拟合曲线，如图9所示。从图上可以看出该二次曲线拟合效果较好。

继而得到拟合曲线关于油量的绝对误差?和油面高度h的函数关系

?=-0.3758h2+0.4089h-0.0741 （20）

需要说明的是，附录中的数据只给出了液面高度在0.4m-1m的范围内的测量数据，所以在液面高度小于0.4m时，没有数据进行修正，由于绝对误差是随液面高度累积的，故液面高度大于1m时绝对误差至少包含累积至1m绝对误差，所以此时可以根据液面高度在1m时的误差数据，进行部分修正。则此时的修正只有液面高度在0.4m-1m范围内是完全修正，液面高度大于1m时是部分修正，液面高度小于0.4m时无修正。

再对已经求得的油量的理论模型，在有实验数据的部分进行误差的补偿修正，得到修正后的油量模型

11

V??h,???V?h,?????h? （21）

然后对修正后的油量模型，再利用附表数据，求得相对误差值为0.61%，说明经过修正的油量模型是较精确的。

图10 再次修正后油量相对误差图

对于纵向倾斜角度?对油罐内油量标定的影响，可对应于不同的?求解油量的体积，得图11

图11 对应于不同?的油量标定曲线

从图11可以看出不同的纵向倾斜角度?对油罐内油量标定有着不同的影响，较大的?对应曲线较小的平均斜率。

12

利用这一模型，计算并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。具体罐容表标定见附录。

5.2 问题二 5.2.1模型建立

模型三：有纵向偏斜和横向偏转的油量计算 对于图5所示的实际储油罐，目标要建立罐体变位后罐内油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的一般关系。

图12 实际储油罐示意图

实际储油罐是由中间的圆柱体和两端的球冠体构成，则在纵向倾斜和横向偏转同时存在时，我们依次求解纵向偏斜和横向偏转的影响。首先求解在纵向倾斜?时，油量与油位高度的函数关系，然后再考虑有横向偏转?时，在已经考虑了?的函数关系的基础上，继而推导出罐内油量与油位高度的函数关系。

首先，考虑纵向偏斜?时，储油罐内油量V与油浮子处油位高度h和纵向偏斜?的函数关系。

我们将油罐分为三部分，左球冠、中间圆柱和右球冠，分别对每部分的油量进行积分求解。由于倾斜的液面在球冠体部分积分求解比较复杂，而球冠体占油罐总体的体积比较小，所以我们考虑对球冠体内液体部分进行近似求解。

对在球冠体内相对于油罐轴线的倾斜液面，例如左球冠体，我们取在球冠内液面两端的高度，求出倾斜液面的平均高度，作为近似的球冠内水平液面的高度。这样对球冠内水平液面的液体求解体积，近似为球冠内倾斜液面的液体体积。参考油罐的实际数据，并做分析计算，这样近似的误差是在可以接受的误差范围，对结果的影响可以忽略不计。同时，这种近似对于计算球冠内的油量是相对精确的方法，所以我们采取这种平均高度的近似。

对于中间的圆柱体部分的油量求解就可以应用问题一中的体积公式，此时的横截面是圆，是问题一中椭圆的特殊情况，简化表示为

V0?V0(h,?) （22） 具体的中间部分油量见问题一的模型求解结果。其中所有图示的参数要更改为问题二中的数据值，且此时横截面的

13

对两端的球冠体部分，可以求出在纵向倾斜角为?和油浮子处油面高度使h时，左右球冠体内的油量V1和V3。考虑左球冠体，如图6在左球冠体的图示中建立坐标系xOy

图13 左球冠体的图示

球冠体的弦线处油面高度为h0。原点到弦线的距离为a，球冠顶部内半径为r，顶部内高为d，球冠所在球体半径为R，以上常系数均可以通过几何关系求出。

有几何关系得球冠体的弦线处油面高度为h0与油浮子处液面高度h的关系，为

h?h0?2tan?。

要求球冠内平均高度，即求液面与球冠面交点高度h交与弦线处油面高度为h0的平均值。现在求解交点处高度。在图6的坐标系下，建立液面的方程

y??tan??x?h0?r （23）

以及球冠的方程

?x?a?2?y2?R2 （24）

联立式（15）和（16），求解出交点的y坐标即为液面与球冠面交点高度h交

h交=cos2??h0?r?atan??tan2?sec2?R2?(h0?r?atan?)2tan2??（25）

??则倾斜液面近似为水平液面的平均液高h为

h?(h交?h0)/2

h1=cos2??h0?r?atan??tan2?sec2?R2?(h0?r?atan?)2tan2??+0

??22（26）

式中h?h0?2tan?。

根据球冠内油量计算公式?? R3H1HH1HV1?C(1?2b2)arcsin(1?)?R3[b2?(1?)2](1?)arctan[1?(1?)2]

3R3RRCR2 14

aa323HH2cH?R(?)?Rc(1?)1?(1?)2?R3b3arctan[(1?)2263RR3bR?311?(1?H)R]

(27)

其中a?d/R，b??1?a2?/2a，c?b?a，H为球冠体水平装液高度。由于水平液面可以作为倾斜液面的近似，有H?h，h见式（26）。将式（26）代入式（27）可以得到左球冠内油量V1关于h、?的近似值。为简化公式表示，令

V1?V1(h,?) （28）

同理可以得到右球冠内油量V2关于h、?的近似值

R3H1HH1HV2?C(1?2b2)arcsin(1?)?R3[b2?(1?)2](1?)arctan[1?(1?)2]3R3RRCR

aa323HH2cH?R(?)?Rc(1?)1?(1?)2?R3b3arctan[(1?)2263RR3bR?311?(1?H)R（29）

]

其中H?h。而此时的h

1?h0?22222??cos2??h?r?atan??tan?sec?R?(h?r?atan?)tan?+ 00??2??2其中h0?=h?4tan?。

h=

同样，将右球冠体内油量V2简化为

V2?V2(h,?) （30）

综上，储油罐的油量表示为

V(h,?)?V0?V1?V2 （31）

在油浮子处油面高度h不同时，储油罐内油量情况不同，将储油罐油量表达式分为四段：

（1）h?0时，右球冠内无油

V?(V0?V1)|液面在h?0处

（2）0?h?6tan?时，右球冠内无油

V?V0?V1 （32）

（3）6tan??h?3?2tan?时，左、右球冠内均有油

V?V0?V1?V2 （33）

（4）3?2tan??h?3时，左球冠满油，右油罐有油

V?V0?V1?V2 （34） 其中V0应用问题一中已经求出的油量体积公式，参数更改为问题二中数据。

然后，在V(h,?)的基础上，考虑有横向偏转?时，油量V关于h、?、?的函数

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关系。由于油罐的横截面是圆，则在横向有偏转的时候，液面是水平的，液高相对于罐底轴线的高不变。油浮子处显示油高的改变时因为油浮子所在直杆偏转了角度?。横截面的横向偏转示意图如下面的图14所示

图14 横截面的横向偏转示意图

在有横向偏转?时，显示液高为H，实际液高为h，则有三角形近似的几何关系有

h?R(1?cos?)?Hcos? （35）

在V(h,?)函数中，用式（27）的关系，将h用式（28）替换，得到V(H,?,?)。即得到储油罐在有纵向偏斜和横向偏转情况下的储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的一般关系V(H,?,?)。

5.2.2 模型求解

现在要利用附表2中的数据，通过以上模型确定变位参数?和?。附表2中显示油高和显示油量容积数据，是在罐容表在储油罐没有变位时的数据。则在我们已经建立的模型中，令??0、??0，得出储油量关于油位高度的函数。带入附录中显示液高的数据，得理论储油量，与标定值进行比较，如图15所示

图15 ??0、??0时，理论油量与标定油量的关系图

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我们对比表中数据，进行误差计算，得出误差值几乎为0。这说明我们建立的储油量模型，在无变位的情况下是比较准确的，不需要进行误差修正。

分析比较附表2中两次放油的数据，可以看出两次的数据完全吻合，说明在测量的两星期内，?和?值未发生变化。

将附表2中的每个显示油高H，代入问题二中的模型V(H,?,?)，经过计算可以得到每个显示液高H对应的储油量的理论值V(H,?,?)。每两个相邻的显示液高对应的储油量的差?V(H,?,?)在理论上应该与此时刻的进油量?V0（或出油量）相等。则而实际的相对误差就是?和?的取值不准确造成的误差。

则误差的平均值?可以表示为

?V(H,?,?)??V0??V0n?1 （36） ??N其中N是由附录2中得到的?V(H,?,?)和?V0数据的组数，其值为602。

N运用MATLAB软件使用遗传算法，以上述误差的平均值?最小作为目标函数，对问题二的模型V(H,?,?)中的变位参数?和?进行参数优化。由于实际中，储油罐的变位应当是较小的值，所以我们根据经验值，给出参数拟合的初始值??0?，??0?。

通过参数拟合，得出优化的参数值??2.252?、??4.435?。

此时，将优化的变位参数代入模型中，此时的模型为V(H)。同样利用数据中显示油高、显示油量容积和出油量，用式（34）求解误差的平均值?=0.5%

将?和?代入模型V(H，?，?)，进行油位高度间隔为10cm的罐容表的标定。具体标定结果见附录。

六、 模型评价

为解决储油罐的变位识别与罐容表标定问题，通过寻求油罐变位后的油量体积与油位高度及变位参数的关系，建立数学模型。

模型一中，我们合理进行误差分析，对模型进行修正，使得修正后的模型精确度非常高。

对于模型二，我们考虑模型一中的误差，通过积分和几何分析得到精确的理论模型，通过误差分析，考虑到倾斜造成了误差，对其进行修正，得到和实验数据非常接近的理论值，给出的变位后罐容表的标定值非常准确。但无数据部分无法精确修正。

对于模型三，我们从优化的角度考虑，采用遗传算法，迅速求出最接近实际值的变位参数，误差只有0.5%，避免了繁琐的遍历搜索求解，并且精度很高。但没有考虑系统误差，使变位计算不太精确。

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七、 模型推广

本文中的模型具有很好的推广性，适用范围非常广泛。

首先，本文提供了一种计算不规则或较复杂的容器内油量体积时的近似求解方法，简单实用，且误差很小。

其次，我们算出的模型一和模型二都是油量关于油高和倾斜角度的函数关系，对不同的倾斜角度都可应用此模型进行求解。

最后，模型三中我们确定变位参数后，除了能给出间隔10cm的罐容表标定值，还能给出任意油高下的容量值。

对于其他容器，在应用液位法测量其中溶液体积时，也可参照此模型对其计量表进行标定。因此，该模型能推广到任意类似的问题中，得到精确的求解。同时本文中的模型对于各种实际问题提供了一种误差修正的方案，使得模型求解的理论值更加接近实际值，有效减小误差。

参考文献

?1? 刘建亚，大学数学教程，北京市：高等教育出版社，2002。

?2? 胡庆波，储油罐计量系统误差分析及对策，油气田地面工程，29（5）：59-60，

2010。

?3? 孙发金，卧式油罐容积检定计算疑难点的探讨，石油商技，18（5）：20-24,2000。

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附录

表1：问题一的罐容表标定 标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 0 0.001674 6 0.027854 12 0.100254 18 0.227694 24 0.393333 30 0.584657 36 0.79524 42 0.989864 48 1.222128 54 1.465013 60 1.715691 66 1.971513 72 2.229907 78 2.488294 84 2.744009 90 2.994193 96 3.235656 102 3.46465 108 3.676436 1 0.003531 7 0.036316 13 0.117748 19 0.253138 25 0.423645 31 0.618556 37 0.831872 43 1.027709 49 1.26195 55 1.506324 61 1.758041 67 2.014469 73 2.273042 79 2.531173 85 2.786172 91 3.035135 97 3.2748 103 3.501292 109 3.709632 2 0.006264 8 0.046142 14 0.136923 20 0.279518 26 0.454627 32 0.652963 38 0.868891 44 1.065919 50 1.302054 56 1.54784 62 1.800522 68 2.057485 74 2.316166 80 2.573966 86 2.828167 92 3.07582 98 3.31358 104 3.537434 110 3.742133 3 0.009975 9 0.057394 15 0.157732 21 0.306775 27 0.486248 33 0.687855 39 0.906281 45 1.104481 51 1.342425 57 1.589546 63 1.843121 69 2.100549 75 2.359265 81 2.616659 87 2.869982 93 3.116232 99 3.351977 105 3.573049 111 3.769589 4 0.014756 10 0.070127 16 0.179896 22 0.33486 28 0.518478 34 0.723213 40 0.944024 46 1.143379 52 1.38305 58 1.631432 64 1.885827 70 2.143648 76 2.402328 82 2.659239 88 2.911601 94 3.156354 100 3.389969 106 3.608109 112 3.796181 5 0.020691 11 0.084397 17 0.203252 23 0.363726 29 0.55129 35 0.759014 41 0.9524 47 1.182599 53 1.423917 59 1.673484 65 1.928629 71 2.186771 77 2.445342 83 2.701694 89 2.95301 95 3.196168 101 3.427534 107 3.642582 113 3.821851 19

标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 标高/cm 体积/ 114 115 116 117 118 119 3.846535 3.870155 3.892611 3.91376 3.933337 3.951222 120 121 122 123 124 125 3.96746 3.982099 3.995189 4.006784 4.01694 4.025717 126 127 4.03318 4.039397

标高/cm 体积/L 标高/cm 体积/L 标高/cm 体积/L 标高/cm 体积/L 标高/cm 体积/L 标高/cm 体积/L 标高/cm 体积/L

表2：问题二的罐容表标定 0 10 20 30 50.9 359.4 1054.1 2186.1 50 60 70 80 5386.9 7327.4 9447.7 11721.5 100 110 120 130 16640.8 19247.2 21927.6 24665.3 150 160 170 180 30248.7 33063.2 35872.5 38661.3 200 210 220 230 44115.8 46749.6 49299.2 51746.8 250 260 270 280 56259.6 58280.9 60110.2 61712.8 300 310 320 63958.6 64476.8 64655.81 40 3658.5 90 14126 140 27444.2 190 41414.3 240 54073.9 290 63037.4 20

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