湖南省衡阳市八中2013届高三第六次月考数学理

衡阳市八中2013届高三第六次教学质量检测

数 学（理科）

命题人: 颜 军 审题人: 钟小霖

（考试内容：全部内容）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷共150分，考试时间为120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．

1．i是虚数单位，若复数z满足z(1?i)?1?i，则复数z的实部与虚部的和是

A．0

B．-1

22（ ）

C．1 D．2

（ ）

2．设x,y?R，则“x?2且y?2”是“x?y?4”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

3．已知函数f(x)?sin(?x??4)(x?R,??0)的最小正周期为?，为了得到函数g(x)?cos?x的

图象，只要将y?f(x)的图象（ ）

??个单位长度 B. 向右平移个单位长度 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 88?? C .向左平移个单位长度 D .向右平移个单位长度

4424．已知sin??，则cos(3??2?)等于 （ ）

3 A.向左平移

A．?5 3B．

1 9C．?1 9D．25 35．某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩?~N(90,a)，（a?0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的不低于110分的学生人数约为 A．200 B．300

C．400

3，则此次数学考试成绩5（ ）

D．600

????????????????????????????????????BCC?A?CAA?B6．已知平面上三个点A、B、C满足|AB|?3,|BC|?4,|CA|?5，则AB?BC?值等于

A．25

B．24

C．-25

D．-24

的

（ ）

?3x?y?6?0?7.设x，y满足约束条件?x?y?2?0 ，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，

?x?0,y?0?23?的最小值为( ). ab82511A. B. C. D. 4

36318.已知f(x)?()x?log2x，实数a、b、c满足f(a)f(b)f(c)?0,

3且0?a?b?c，若实数x0是函数f(x)的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（ ） ．．．

则

（A）x0?a （B）x0?b （C）x0?c （D）x0?c

第Ⅱ卷(非选择题 共110分)

二、填空题（本大题共8个小题，考生作答7个小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中．．．对应号后的横线上。） （一）选做题（请考生在9、10、11三题中任一题作答，如果全做，则按前二题记分） 9．在极坐标系中，曲线C1：??2cos?，曲线C2:???4，若曲线C1与曲线C2交于A、B两点，

则|AB|=________.

10．如图，⊙O与⊙P相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦 BC切⊙P于点B，CP及其延长线交⊙P于D，E两点，过点E 作EF⊥CE交CB的延长线于点F，若CD=2，CB=22，则

cos?BFE? 。

11．若关于x的不等式|a?1|?(|2x?1|?|2x?3|)的解集非空，则实数a的取值范围是 。

（二）必做题（12~16题）

42,a4??(1?2x)dx，则公比为 。

1313. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于 .

5

5 2 3

2 2 2

12．在等比数列{an}中，首项a1?正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

14． 设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0 且g(?3)?0，则不等式f(x)g(x)?0的解集为 ．

15．设抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为____。

16．数列{an}的前n项和为Sn，且数列{an}的各项按如下规则排列：

21121231234123n?1,,,,,,,,,,?,,,?,,?, 2334445555nnnn则a15= ，若存在正整数k，使Sk?10,Sk?1?10，则k= 。

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

????????17．（本小题满分12分）△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足2AB?AC?a2?(b?c)2． （Ⅰ）求角A的大小；

C4?（Ⅱ）求23cos2?sin(?B)的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．

23

18．（本小题满分12分） 甲袋中装有大小相同的红球1个，白球2个；乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2个，白球3个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出2个小球． （Ⅰ）求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率；

（Ⅱ）记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量?，求?的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分） 如图，BD⊥平面ABC，AE∥BD，AB＝BC＝CA＝BD＝2AE＝2，F为CD中点．

（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCD； （Ⅱ）求二面角C－DE－A的余弦值；

（Ⅲ）求点A到平面CDE的距离． 20．（本小题满分13分） 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1?1，且nan?1?2Sn(n?N*)，数列{bn}满

112足b1?，b2?，对任意n?N*，都有bn?1?bn?bn?2．

24（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（Ⅱ）令Tn?a1b1?a2b2???anbn，若对任意的n?N*，不等式?nTn?2bnSn?2(?n?3bn)恒成立，试求实数λ的取值范围．

x2y221（．本小题满分13分） 已知双曲线W：2?2?`右焦点分别为F1、点N,F2，0()b，1(a?0,b?0)的左、

ab??????????右顶点是M，且MN?MF2??1，?NMF2?120?．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）过点Q(0,?2)的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点H(7,0)在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．

22．（本小题满分13分） 设函数f(x)?1?e?x，函数g(x)?（Ⅰ）当a?0时，求函数h(x)?f?(x)?g(x)的极值；

（Ⅱ）若f(x)?g(x)在[0,??)上恒成立，求实数a的取值范围；

2n?nx（其中a?R，e是自然对数的底数）． ax?1（Ⅲ）设n?N*，求证：e?k?1k?14?n!?en(n?1)2（其中e是自然对数的底数）．

衡阳市八中2013届高三第六次教学质量检测

数 学（理科）

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分． 1－4. BAAC；5－8.ACBD.

二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分． 9. 16．

2; 10. 32116; 11;???,?3???5,???; 12.3; 13．； 14．???,?3???0,3?； 15．；

4335,20． 6三、解答题：本大题共6个小题，共75分．

17．解答 （Ⅰ）由已知2bccosA?a2?b2?c2?2bc， ···················································· 2分

1由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA得4bccosA??2bc，∴cosA??， ··························· 4分

22?∵0?A??，∴A?．······································································································ 6分

32???（Ⅱ）∵A?，∴B??C，0?C?.

333C4?1?cosC??··················· 8分 23cos2?sin(?B)?23??sin(?B)?3?2sin(C?)． ·

23233???2?∵0?C?，∴?C??，

3333??C4??∴当C??，23cos2?sin(?B)取最大值3?2，解得B?C?． ··············· 12分

3223618．解答 （Ⅰ）记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A，包含如下两个事件：“从甲袋中取出1红球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅1个红球”、“从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从

11C1C31乙袋取出的两球中仅1个红球”，分别记为事件A1、A2，且A1与A2互斥，则：P(A1)??23?，

3C6511C2C216P(A2)??24?， ······································································································ 4分

3C6451165∴P(A)???，

54595故从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率为． ··············································· 6分

9（Ⅱ）?＝0、1、2．

11211C32C2C1C322C211C35P(??0)??2??2?，P(??1)??2??24?，

3C63C693C63C6921C322C41P(??2)??2??2?,（答对一个得1分） ·························································· 9分

3C63C63∴?的分布列为

?

0 1 2

151 99315111∴E??0??1??2??.(分布列1分,期望2分；分布列部分对给1分) ················· 12分

993919．解析（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，∵F，G分别为DC，BC中点，

11∴FG∥BD且FG＝BD，又AE∥BD且AE＝BD，∴AE∥FG且AE＝FG，

22∴四边形EFGA为平行四边形，则EF∥AG，

P

∵BD⊥平面ABC， ?BD⊥AG，

∵G为 BC中点，且AC=AB，∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，

∴EF⊥平面BCD． ·············································································································· 5分

?????????????（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，分别以OC、OB、OH所在直线为x、y、z轴建立如图空间

????????直角坐标系，则C(3,0,0)，D(0,1,2)，E(0,?1,1)，A(0,?1,0)，CD?(?3,1,2)，ED?(0,2,1)．设面CDE的法向量n1?(x,y,z)，则

?????n?CD??3x?y?2z?0,?1取n1?(3,?1,2)，··························· 8分 ???????n1?ED?2y?z?0,取面ABDE的法向量n2?(1,0,0)， 由cos?n1,n2??n1?n236??，

222|n1|?|n2|4(3)?(?1)?2?19分

故二面角C－DE－A的余弦值大小为

????（Ⅲ）由（Ⅱ），面CDE的法向量n1?(3,?1,2)，AE?(0,0,1)，

????|AE?n1|22??则点A到平面CDE的距离d?． ····························· 12分

222|n1|2(3)?(?1)?26． ······························· 10分 420．解答 （Ⅰ）∵nan?1?2Sn，∴(n?1)an?2Sn?1 (n?2)，两式相减得，nan?1?(n?1)an?2an，

aaaa23nn?1∴nan?1?(n?1)an，即n?1?，∴an?a1?2?3???n?1???????n(n?2)，

a1a2an?112n?1ann··············································· 4分 a1?1满足上式，故数列{an}的通项公式an?n(n?N*)． ·

12在数列{bn}中，由bn，知数列是等比数列，首项、公比均为， ?b?b{b}?1nn?2n2∴数列{bn}的通项公式bn?（Ⅱ）∴Tn?1（若列出b1、b2、b3直接得bn而没有证明扣1分） ······ 6分 n21111?2?()2???(n?1)?()n?1?n?()n ① 222211111∴Tn?()2?2?()3???(n?1)()n?n()n?1 ② 22222111111n?2由①?②，得Tn??()2?()3???()n]?n?()n?1?1?n?1，

2222222n?2∴Tn?2?n， ················································································································ 8分

2n?2n(n?1)3)??2(?n?n)， nn222即(1??)n2?(1?2?)n?6?0（n?N*）恒成立． ····························································· 9分

不等式?nTn?2bnSn?2(?n?3bn)即为?n(2?方法一、设f(n)?(1??)n2?(1?2?)n?6（n?N*）， 当??1时，f(n)??n?6?0恒成立，则??1满足条件；

当??1时，由二次函数性质知不恒成立；

1?2?当??1时， 由于?则f(n)在[1,??)上单调递减，f(n)?f(1)??3??4?0恒成立，则??1?0，

1??满足条件．

综上所述，实数λ的取值范围是[1,??)． ·········································································· 12分 n2?n?6方法二、也即??2（n?N*）恒成立， ······························································· 9分

n?2nn?611n2?n?6令f(n)?2．则f(n)?1?2， ············ 10分 ?1?2?1?24n?2nn?2nn?2n(n?6)??10n?6n?624由n?6?7，(n?6)??10单调递增且大于0，∴f(n)单调递增，当n???时，f(n)?1，且

n?6························································ 13分 f(n)?1，故??1，∴实数λ的取值范围是[1,??)． ·

??????????21．解答 （Ⅰ）由已知M(a,0)，N(0,b)， F2(c,0)，MN?MF2?(?a,b)?(c?a,0)?a2?ac??1，

∵?NMF2?120?，则?NMF1?60?，∴b?3a，∴c?a2?c2?2a，

y2解得a?1，b?3，∴双曲线的方程为x?······················································· 4分 ?`1． ·

3（Ⅱ）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:y?kx?2，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，

2?3?k2?0,?22??16k?28(3?k)?0,?y?kx?2,???由?2y2得(3?k2)x2?4kx?7?0，则?x?x?4k?0,

122x??`1?k?3?3??7?x1x2?2?0,k?3?解得3?k?7． ① ································································································· 6分 ????????∵点H(7,0)在以线段AB为直径的圆的外部，则HA?HB?0， ????????HA?HB?(x1?7,y1)?(x2?7,y2)?(x1?7)?(x2?7)?y1y2?(1?k2)x1x2?(7?2k)(x1?x2)?53

74k7k2?7?8k2?28k?53k2?159?(1?k)?2?(7?2k)?2?53??0，解得k?2． ②

k2?3k?3k?3由①、②得实数k的范围是2?k?7， ··········································································· 8分

????????S?AQH|AQ|?由已知??，∵B在A、Q之间，则QA??QB，且??1， S?BQH|BQ|24k?(1??)x?,22??k?3∴(x1,y1?2)??(x2,y2?2)，则x1??x2，∴?

7??x2?,2?k2?3?16k2163则············································································ 10分 ??2?(1?2)， ·

?7k?37k?3(1??)2641∵2?k?7，∴4?，解得???7，又??1，∴1???7． ??77(1??)2故λ的取值范围是(1,7)． ···································································································· 13分 22．解答 （Ⅰ）f?(x)??e?x?(?x)??e?x，函数h(x)?f?(x)?g(x)?xe?x，h?(x)?(1?x)?e?x，当x?1时，h?(x)?0；当x?1时，h?(x)?0，故该函数在(??,1)上单调递增，在(1,??)上单调递减．∴函数h(x)1在x?1处取得极大值h(1)?． ·························································································· 4分

exx（Ⅱ）由题1?e?x?在[0,??)上恒成立，∵x?0，1?e?x?[0,1)，∴?0，

ax?1ax?11若x?0，则a?R，若x?0，则a??恒成立，则a?0．

xx不等式1?e?x?恒成立等价于(ax?1)(1?e?x)?x?0在[0,??)上恒成立， ············· 6分

ax?1令u(x)?(ax?1)(1?e?x)?x，则u?(x)?a(1?e?x)?(ax?1)e?x?1，

又令?(x)?a(1?e?x)?(ax?1)e?x?1，则??(x)?e?x(2a?ax?1)，∵x?0，a?0． ①当a?0时，??(x)??e?x?0，则?(x)在[0,??)上单调递减，∴?(x)?u?(x)??(0)?0，

∴u(x)在[0,??)上单减，∴u(x)?u(0)?0，即f(x)?g(x)在[0,??)上恒成立； ·········· 7分

2a?1②当a?0时，??(x)??a?e?x(x?)．

a1ⅰ）若2a?1?0，即0?a?时，??(x)?0，则?(x)在[0,??)上单调递减，∴?(x)?u?(x)??(0)?0，

2∴u(x)在[0,??)上单调递减，∴u(x)?u(0)?0，此时f(x)?g(x)在[0,??)上恒成立； 8分

12a?12a?1ⅱ）若2a?1?0，即a?时，若0?x?时，??(x)?0，则?(x)在(0,)上单调递增，∴

aa22a?1?(x)?u?(x)??(0)?0，∴u(x)在(0,)上也单调递增，

a∴u(x)?u(0)?0，即f(x)?g(x)，不满足条件．····························································· 9分

1综上，不等式f(x)?g(x)在[0,??)上恒成立时，实数a的取值范围是[0,]．·············· 10分

2x2?x1（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a?时，则1?e?x?， ?e?x?12?x2x?122?x2?x2?x2n?24当x?[0,2)时，e?x?，令， ?x?ln?n，则x??2?2?x2?x2?xn?1n?1nnn444*∴lnn?2?，∴ln(n!)?2n??， ·················· 12分 (n?N)，∴?lnk?2n??n?1k?1k?1k?1k?1k?111又由（Ⅰ）得h(x)?h(1)，即xe?x?，当x＞0时，ln(xe?x)?ln??1，∴lnx?x?1，

een(n?1)， ln(n!)?ln2?ln3???lnn?1?2???(n?1)?24n?n综上得2n??，即e?ln(n!)?k?12k?1n22n??k?1k?1n4?n!?en(n?1)2． ······································· 13分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tzfd.html