二次函数的图像与性质专题练习

二次函数的图像与性质

一、二次函数概念：

b，c是常数，a?0）的函数，叫做1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，二次函数。

c可以为零．二【说明】这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：y?ax2的性质：

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 a?0 性质 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随向上 0? ?0，0? ?0，y轴 x的增大而减小；x?0时，y有最小值0． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随a?0 向下 y轴 x的增大而增大；x?0时，y有最大值0． a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. y?ax2?c的性质： 上加下减。

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 a?0 性质 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随向上 c? ?0，c? ?0，y轴 x的增大而减小；x?0时，y有最小值c． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随a?0 2向下 y轴 x的增大而增大；x?0时，y有最大值c． 3. y?a?x?h?的性质：

左加右减。

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 a?0 性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y向上 0? ?h，X=h 随x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，ya?0 2向下 0? ?h，X=h 随x的增大而增大；x?h时，y有最大值0． 4. y?a?x?h??k的性质：

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 a?0 性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y向上 ?h，k? ?h，k? X=h 随x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，ya?0 向下 X=h 随x的增大而增大；x?h时，y有最大值k． 5. 二次函数y?ax2?bx?c的性质

?b4ac?b2?b 1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为??，?．

2a4a2a??当x??bbb时，y随x的增大而减小；当x??时，y随x的增大而增大；当x??2a2a2a4ac?b2时，y有最小值．

4a?b4ac?b2?b 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为??，?．当

2a4a2a??x??bbb时，y随x的增大而增大；当x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y2a2a2a4ac?b2有最大值．

4a三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h， k?；k?处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位2y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴y?ax?bx?c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y?ax?bx?c变成

22

y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m）

⑵y?ax2?bx?c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成

y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或y?a(x?m)2?b(x?m)?c）

四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较

从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配b?4ac?b2b4ac?b2?方可以得到前者，即y?a?x???，其中h??，． k?2a4a2a4a??222五、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）；

2. 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；

3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写

成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 六、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a

二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．

⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下，

当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?b?0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b?0时，?当b?0时，?b?0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a

b?0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置． 当b?0时，?ab的符号的判定：对称轴x??b在y轴左边则ab?0，在y轴的右侧则ab?0，2a概括的说就是“左同右异” 总结：

3. 常数项c

⑴ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． / 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a， 4.利用二次函数与x轴的交点的个数来确定判别式?的符号，利用特殊点的坐标确定特殊

代数式的值的范围。有时还要利用等量代换来判断特殊代数式的值的范围。 二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

二次函数的图像与性质

应用举例：

例1：小强从如图所示的二次函数y?ax?bx?c的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）

2a?0；（2） c?1；（3）b?0；（4） a?b?c?0； （5）a?b?c?0. 你认为其中正

确信息的个数有（C）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

yy y 1x? 311O112x

21 ?1 O 1 x ?2 ?1 0 1 2 x

例2：已知二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示，有以下结论：①a?b?c?0；/②a?b?c?1；③abc?0；④4a?2b?c?0；⑤c?a?1其中所有正确结论的序号是（ C ）

A．①② B． ①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤

例3：小明从图所示的二次函数y?ax2?bx?c的图象中，观察得出了下面五条信息：①c?0；②abc?0；③a?b?c?0；④2a?3b?0；⑤c?4b?0，你认为其中正确信息的个数有（ C ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

分析：④错误.由?b13?得2a?3b?0；由前面的分析知a??b，又由题图知当2a32x?2时，y?4a?2b?c＞0，将x?2代入4a?2b?c＞0中得c?4b?0.

【练】已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象如图所示，有下列5个结论：① abc?0；② b?a?c；③ 4a?2b?c?0；④ 2c?3b；⑤ a?b?m(am?b)，（m?1的实数）其中正确的结论有（ C ）．

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

分析：由图可知，a＜0,?b?1,c＞0，从而b??2a＞0,abc＜0，①错误；又当x??1时2ay?a?b?c＜0，②错误；由抛物线的对称轴为直线x?1知，当x?0与x?2时函数值

相等，所以③正确；因为2c?3b?2c?2b?b?2c?2b?2a?2(a?b?c)＜0，所以④正确；因为二次函数的对称轴为直线x?1，所以当x?1时，函数取得最大值，即当

2＞am?bm?，c得m?1,x?m时的函数值小于当x?1时的函数值，所以a?b?ca?b?m(am?b)，所以⑤正确.

例4：如图，是二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分， 给

出下列命题 ：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题是 ①③ ．（只要求填写正确命题的序号）

b??1，所以b?2a＞0，所以②2a错误；由①正确得c??a?b，所以a?2b?c?2a?b?＜3a?b??，所以④错误. b分析：由图知①③正确且?

【练】1. 已知二次函数y?ax?bx?c?a?0?的部分图象如图所示，

2它的顶点的横坐标为－1，由图象可知关于x的方程ax?bx?c=0的两根为x1?1,x2? －3 ．

2.二次函数图象的对称轴是直线x?1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：

①abc＜0；②a?b?c＜0；③3a?c＜0；④当－1＜x＜3时，y

2

＞0．其中正确的是 ④ （把正确的序号都填上）．

分析：由图可知，抛物线的对称轴为直线x?1，与x轴的一个交点为?3,0?，得?b?1，2ab??2a，与x轴的另一个交点为??1,0?，所以a?b?c?0，3a?c?a?b?c?0.

例5：在同一直角坐标系中，函数y?mx?m和y??mx2?2x?2（m是常数，且m?0）的图象可能是（ C ） ．．

y

Ox

Ａ．

①求该函数的关系式；

②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

答：y??x2?2x?3，交点坐标??1,0?,?3,0?

（2）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－4）三点，求二次函数的解析式； 答：y?x?2x?3

例7：已知函数y??m?2?xm2?m?4y y y OＢ．

x OＣ．

x Ox Ｄ．

例6：（1）已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5）

2?8x?1是关于x的二次函数，求：

（1）求满足条件的m的值；

（2）m为何值时，抛物线有最低点？最低点坐标是多少？当x为何值时，y随x的增大而增大？

（3）m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？ 答：（1）m??3或m?2；

例8：（1）利用配方求函数y??12x?x?4的对称轴、顶点坐标。 4y??12?x?2??5 412x?6x?17的对称轴、顶点坐标。 2（2）利用公式求函数y???1?4??????17??62?24ac?b34?36b6?2????1 ????6，

114a?22a????4????2?????2??2?

22例9：已知二次函数y?m?2x?4mx?n的图象的对称轴是x?2，且最高点在直线

??y?1x?1上，求这个二次函数的解析式。 2答：y??x2?4x?2

例10.如图，二次函数y?ax2?4x?c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（－4，0）． （1）求二次函数的解析式；

（2）在抛物线上存在点P，满足S?AOP?8，请直接写出点P的坐标．

答：y??x2?4x，P的坐标为?2?22,?2或?2?22,?2 例11.如图，抛物线y?x2?bx?c经过直线y?x?3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S?APC：S?ACD?5 ：4的点P的坐标。

答：y?x?2x?3，C??1,0?，D?1,?4?，S?ACD?8，所以

2????S?APC?10，P的坐标为?4,5?或??2,5?.

二次函数练习试题

一、选择题

1. 二次函数y?x?4x?7的顶点坐标是( )

A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3） 2. 函数y?kx?k和y?22k(k?0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) x3. 已知二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当

2x?1和x?3时,函数值相等;③4a?b?0④当y??2时, x的值只

能取0.其中正确的个数是( )

A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个

4. 已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程

ax2?bx?c?0的两个根分别是x1?1.3和x2?（ ）

Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3

5. 已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为（ ）

A. y?x2?x?2 B. y??x2?x?2

C. y?x2?x?2或y??x2?x?2 D. y??x2?x?2或y?x2?x?2

二、填空题

26. 二次函数y?x?bx?3的对称轴是x?2，则b?_______。

7. 已知抛物线y?2?x?3??5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是 . 8. 一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。 9. 抛物线y?2(x?2)2?6的顶点为C，已知直线y??kx?3过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。

三、解答题：

10. 已知二次函数图象的对称轴是x?3?0,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,?25). 2(1)求这个二次函数的解析式;

(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?

(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大?

211. 如图，抛物线y?x?bx?c经过直线y?x?3与坐标轴的两个交

第15题图

点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S?APC：S?ACD?5 ：4的点P的坐标。

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