福州大学有限元考试题

2017福州大学有限元方法及应用考试卷

第六组出题人：陈凯，国宇，杨元戎，黄淑炜，翁武燕，戴彬，李永凯，魏佳兴

一：判断题（10分）

（1） 整体刚度矩阵为正定矩阵。（X）

（2） 有限元法是一种获得工程实际问题精确解的数值计算方法。（X） （3） 弹性体的整体等效节点载荷是由单元等效结点力迭加而成的。（√） （4） 求解平面桁架问题，一般需要引入局部坐标系。（√） （5） 三角形薄板单元是协调单元。（×） （6） 薄板中面上受的正应力和切应力为0。（√）

（7） 轴对称问题的单元形状为：截面为四边形或三角形的环形单元。

（√）

（8） 对于轴对称的问题，位移分量有三个，分别为沿r、z、θ方向。

（×）

（9） 温度场是标量场，每个单元节点上只有一个温度未知，比弹性

力学问题要简单。（√）

（10） 单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问

题，每列元素之和为零。（√ ）

二：简答题（20分）

(1).单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？(3分）

形函数特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同次数的多项式。 形函数Ni在自身节点的值为1，而在其他节点上的值为0； 单元内任一点的形函数之和恒等于1；形函数的值在0-1之间变化 (2).列举个4个非线性问题的一般处理方法(4分） 1.直接迭代法 2.N-R法 3.修正R-H法 4.载荷增量法

(3).杆单元和梁单元受力有什么不同？(2分）

答：杆单元只承受横向载荷，梁单元即承受横向载荷又承受纵向载荷。 (4).薄板的小挠度弯曲理论采用了什么假设？(4分）

（1）变形前中面法线变形后仍然为弹性曲面的法线。 （2）变形前后板的厚度不变。 （3）板变形时，中面无伸缩。 （4）板在各水平层间互不挤压。

(5).什么是等参数单元？它与三角形单元和矩形单元相比有哪些优势？ (7分）

1）在建立局部坐标系下的形状规则的标准单元与整体坐标系下形状复杂的实际单元之间的变换时，如果坐标变换函数中的形函数及插值结点与描述单元位移函数的形函数及插值结点完全相同，则这种变换我们成为等参数变换，当中的实际单元单元称为等参数单元。（其它描述意思一样也可）

2）三角形单元和矩形单元不能适应复杂的曲线边界，等参数单元可以。

三：论述题（30分）

1.有限元收敛条件是什么？证明六节点三角形单元满足收敛条件。(10分）

答：收敛条件：1. 位移函数必须包括单元的刚体位移；2.位移函数必须包括单元的常应变；3.位移函数在单元内必须连续，在相邻单元间必须协调。 六节点三角形单元的位移函数：u?a1?a2x?a3y?a4x2?a5xy?a6y2

22 v?a?ax?ay?ax?axy?ay789101112

从位移函数可看出其包含了常数项和完全的线性项，即a1，a7 为位移函数体现的刚性位移，a2x，a3y，a8x，a9y，体现了单元的常应变，故其为完备单元。在相邻的公共边界上，由于位移分量按二次曲线变化，例以该边界某一角结点量取的距离s为变量，则u?b1?b2s?b3s2 ，v?b4?b5s?b6s2，其中三个参数（b1，

b2，b3或b4，b5，b6）可由该边界上的三个结点位移唯一确定，所以相邻单元在公共边界上有相同的位移，这就保证了相邻单元的协调性，故其为协调单元。 综上所述，六节点三角形单元满足收敛条件。

2.论述三结点轴对称三角形单元是不是常应变单元。（10分）

答：轴对称三角形单元不是常应变单元，对于轴对称问题，位移只有两个分量，即沿r向的径向位移u和沿z方向的轴向位移w,而沿θ方向的位移为零。 位移函数为

u??1??2r??3zv??4??5r??6z

轴对称问题的几何方程为

??u?????r???r?????r?u??1?????r??r????????????????z???w??0???????rz???z?w?u?????????r?z???z?0?? ?0???f????z?????r?带入位移函数后

??????BiBjBm?????

e?bi0???1?fi0??i,j,m??Bi????2A0ci??cb?ii?a?br?cizfi?ii?i,j,m?

r由此可见单元内的应变分量?r，?z，?rz都是常量，而环向应变??不是常量，与

fi?ai?bir?ciz?i,j,m? 中的r和z有关。 r故而轴对称三角形单元不是常应变单元。

3.在薄板弯曲理论中做了哪些假设，如何用中面位移确定板内任一点的应变？在薄板单元中，节点力矩与薄板内力有何区别？（10分）

答：假设：（1）板厚度方向的挤压变形可忽略不计，即?z?0。

（2）在板弯曲变形中，中面法线保持为直线，且仍为弹性曲面的法线，即直法线假设。 （3）薄板中面只发生弯曲变形，没有面内的伸缩变形，即中面水平位移。

薄板的全部位移、应力和应变分量都可以用板的挠度?表示，而薄板小挠度弯曲被简化为中面的弯曲问题。只要中面挠度?确定，任何点的位移都可以确定。板的挠度?=（x,y）,则薄板内不等于零的应变分量有如下三个：

?u?2w?v?2w?u?v?2w。 εx==-z2 , εy= =-z2 , ?xy=+=-2z?x?x?y?y?y?x?x?y节点矩Mxi,Myi是集中力矩，而板内力矩Mx,My是分布力矩。此外，两者的正负号规定也不相同。因为Mx,My与应力正负号的规定相应。

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