新北师大版八年级下一元一次不等式和图形的平移与旋转培优题

新北师大版八年级下一元一次不等式和图形的平移与旋转培优题

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2 一元一次不等式提高练习

【例题求解】

【例题1】（1）已知关于x 的不等式组???>-≥-0

025a x x 无解，则a 的取值范围是是

___________。

（2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰好是1、2、3，则a 的取值范围是___________。

【例题2】如果关于x 的不等式组???<-≥-0

607n x m x 的整数解仅为1、2、3，那么适合

这个不等式组的整数对（m ，n ）共有_____对。

【例题3】解下列不等式（组）

（1）n x m +<+332 （2）1022-≤-x x

（3）求不等式321≤-+-x x 的所有整数解。

【例题4】已知三个非负数a 、b 、c 满足132523=-+=+c b a bc a 和，若c b a m 73-+=。求m 的最大值与最小值。

【课堂练习】

1、若关于不等式组?????<++>+0

1456m x x x 的解集为4

______________。

3 2、若不等式组???>-<-3

212b x a x 的解集是11<<-x ，则)1)((-+b a a 的值是_____________。

3、已知0

4、对于整数a 、b 、c 、d ，符号dc ab 表示运算bd ac -，已知3411<

5、若01<<<-b a ，则下列式子正确的是____________。

A 、-a<-b

B 、b

a 11< C 、

b a < D 、22b a > 6、若方程组???=++=+3

414y x k y x 的解满足条件10<+

7、已知a 、b 为常数，若0>+b ax 的解集是31

8、解下列关于x 的不等式（组）。

（1）

ab x b b x a +>+2

2 （2）312≤-x

（3）?????+≥->+<-x x x x x 312113250104 （4）11->-ax ax

9、已知方程组???=+=-6

2y mx y x ，若方程组有非负整数解，求正整数m 的的值。

4

10、如果???==2

1y x 是关于x 、y 的方程08)12(2=+--+--by ax by ax 的解，求不等式组?????+<-+>--3

34133x ax b x a x ax 的解集。

11、已知非负实数x 、y ，x 满足

433221-=-=-z y x ，记w=3x+4y+5z ，求w 的最大值与最小值。

【能力拓展】

12、已知1120<-

12-x

的取值范围是___________。 13、如果关于x 的不等式05)2(>---n m x n m 的解集为710n （0≠m ）的解集为_______________。

14、已知关于x 、y 的方程组???=++=-a

y x a y x 523的解满足0>>y x ，化简=-+a a 3________。

15、不等式0)2)((<-+x x x 的解集为______________。

16、关于x 的不等式组?????+>++-

231)3(32有四个整数解，则a 的取值范围是________。

17、已知a 为正整数，方程组???=+=+6

2384y x y ax 的解满足0,0<>y x ，则a 的值为__________。

5 18、若正数a 、b 、c 满足不等式??

??

?????<+<<+<<+

b a

c 4

1125352

32611，则a 、b 、c 的大小关系是？

图形的平移与旋转典例

例1. 已知：如图，E 是正方形ABCD 的边BC 上一点，AF 平分∠EAD 交CD 于点F ，说明AE ＝BE ＋DF 的理由。

例2. 在△ABC 的边BC 上，取两点D 、E ，使BD ＝CE ，观察AB ＋AC 与AD ＋AE 的大小关系。

6 例3.如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，?以BP 为边作∠PBQ =60°，且BQ =BP ，连结CQ ．

（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论． （2）若PA ：PB ：PC =3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．

变式训练：1、如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA =1，PB =2，PC =3，求∠APB 的度数．

2、已知：正方形ABCD 中，∠MAN =45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点M ，N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时（如图1

），易证BM +DN =MN

．

D

7 （1）当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM ，DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

（2）当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM ，DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？并说明理由．

3、已知Rt △ABC 中，?=∠90ACB ，CB CA =，∠MCN 为?45。

（Ⅰ）如图①，当M 、N 在AB 上时，求证：222BN AM MN +=；

（Ⅱ）如图②，将∠MCN 绕C 旋转，当M 在BA 的延长线上时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

M B C

N 图3 A D B C N M 图2 A D B

C N M 图1 A

D

8

4、如图所示，A 、B 两村之间有一条河，河宽为a ，现要在河上修一座垂直于河岸的桥，（Ⅰ）要使AB 两村路程最近，请确定修桥的地点。（Ⅱ）桥建在何处才能使AB 两村到桥的距离相等？

4．如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN 、EF 、M 、N 、E 、F 分别在边AB 、CD 、AD 、BC 上。

（1）证明：若MN EF =，则MN EF ⊥．（2）证明：若MN EF ⊥，则MN EF =．

A B

D

C

E F M

N

9 5、如下图在六边形ABCDEF 中，已知

AB//DE,AF//CD,BC//FE,AB=DE,AF=CD,BC=FE,对角线FD ⊥BD,FD=24cm ，BD=18cm ，你能求出六边形ABCDEF 的面积吗？

6、已知正方形ABCD 和正方形AEFG 有一个公共点A,点G 、E 分别在线段AD

、AB 上.

(1) 如图1, 连结DF 、BF,若将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转,判断命

题:“在旋转的过程中线段

DF 与BF 的长始终相等.”是否正确,若正确请证

明,不正确举反例;

(2) 若将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转, 连结DG,在旋转的过程中,你

能否找到一条线段的长与线段DG 的长始终相等.并以图2为例说明理由.

图1图2

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7、把两个全等的等腰直角三角板ABC 与EFG （其直角边长都为4）叠放在一起，（如图①）

且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合。现将三角板EFG 绕O 点顺时针旋转（旋转角α满足0°＜α＜90°），四边形CHGK 是旋转过程中两个三角板的重叠部分（如图②）

1）在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系？四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论。

2）连接HK ，在上述旋转过程中，设BH=x, △GKH 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。

3）在2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH 的面积恰好等于△ABC 的面积的16

5若存在，求出此时x 的值；若不存在，说明理由。

第三章图形的平移与旋转复习要点

专点一：图形的平移

②②a H K F E G(O)C B

A F E

G(O)

C B A

1．平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移是由移动的方向和距离决定的。

2.平移的性质：

（1）平移不改变图形的形状和大小：即平移前后的线段相等，平移前后

的三角形或多边形全等。

（2）平移后的图形与原来图形的对应线段平行且相等，对应角相等。

（3）平移后两图形的对应点所连的线段平行且相等。

专点二：图形的旋转

1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿着某个方向（顺时针或逆时针）旋转一定的角度，这样的图形运动成为旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。

2.旋转的性质：

（1）旋转不改变图形的形状和大小：即旋转前后的图形是一组全等形。

（2）旋转后的图形与原来的图形的对应线段相等，对应角相等。

（3）经过旋转，图形上的每一点都绕着旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度。

（4）任意一对对应点与旋转中心的距离相等。

考点三、中心对称

1、定义

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、性质

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3、判定

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

4、中心对称图形

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把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

考点四、坐标系中对称点的特征

1、关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）

2、关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x 相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）

3、关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）

专点五：利用轴对称、旋转和平移作图

1.平移作图的一般步骤：

（1）确定平移的方向和距离；

（2）确定构成图形的关键点（线段两个端点，三角形三个顶点，n边形n 个顶点）；

（3）按照平移的方向和距离平移各个关键点；

（4）顺次连接各个关键点的对应点，所得的图形就是平移后的图形。

2.旋转作图的一般步骤：

（1）确定旋转中心、旋转角及旋转方向；

（2）确定原图形的关键点；

（3）旋转个关键点，得到对应点；

（4）依次连接各关键点的对应点，所得的图形就是旋转后的图形。

3.图形之间的变换关系：

在图形变换中，最常见的变换有轴对称、平移、旋转，它们都是把一个图形变成另外一个图形，并且这些变换都只是改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。

平移、旋转、轴对称的主要区别是：

①三种变换的运动方式不同，具体体现：“平移”、“旋转”、“翻折”；

②三种变换的对应线段、对应角之间和关系不同；

③平移、旋转、轴对称作图需要的条件不同：平移需要确定方向和距离；旋转需要确定旋转方向、旋转中心、旋转角度；轴对称需要确定对应点到对称轴的距离。

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