微元法

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微元法

（唐建伟）

（天水师范学院 数学与统计学院 数学与应用数学 甘肃天水 741001）

摘要 现在我们求：如果所求量Ф是分布在某区间【a，b】上的，或

者说它是该区间端点x的函数，即Ф=Ф（x），x∈[a,b],而且当x=b时，Ф（b）适为最终所求的值。

关键词 微元法、平面图形面积、立体体积、曲线弧长

引言 定积分的所有问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”

三个步骤导出所求量的积分形式。但为了简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”。本节将采用此法来处理。

正文

在任意小区间[x，x+Δx]包含于[a，b]，恰当选取Φ微小增量ΔΦ的近似可求量Δ'Φ（所谓ΔΦ的近似可求量是指用来近似代替ΔΦ的有确定意义而且可计算量。例如：当Φ是由函数f确定的曲边梯形的面积时，Δ'Φ是以f（x）为长、Δx为宽 矩形的面积；当Φ是已知平行截面面积A(x)的集合体的体积时，Δ'Φ是以面积为A（x）的截面为底、Δx为高的柱体的体积。这里矩形的面积和柱体的体积都是有确定意义的，而可以利用公式进行计算）。若能把Δ'Φ近似表示为Δx的线性形式

Δ'Φ≈f（x）Δx，

其中f为某一连续函数，而且当Δx→0时，Δ'Φ－f（x）Δx=。（Δ

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x），则记

dΦ=f（x）dx，

那么只要把定积分计算出来，就是该问题所求的结果。 上述方法称为微元法。

1.{微元法的注意点}

1）所求量Φ关于分布区间必须是代数可加的。

2）微元法的关键是正确给出ΔΦ的近似可求量Δ'Φ。严格

来说，ΔΦ的近似可求量Δ'Φ应该根据所求量Φ的严格定义来选取。一般来说，ΔΦ的近似可求量Δ'Φ选取不是唯一（参见本节习题第4题），但是选取不恰当将会产生错误的结果。

3)当我们将Δ'Φ用线性形式f（x）Δx代替时，要严格验

证Δ'Φ-f（x）Δx是否为Δx的高阶无穷小量，以保证其对应的积分和极限是相等的。

2．对于前面所求的平面图形面积，改用微元法来处理，所求的微元法表达式为.：

ΔA≈│y│Δx，并有dA=Δ│y│dx。

3．对于前面所求的立体体积，改用微元法来处理，所求的微元法表达式为：

ΔV≈A(x)Δx，并有dV=A(X)dx；

选取微元时所遵从的基本原则是

1．可加性原则：由于所取的“微元” 最终必须参加叠加演算，所以，对“微元” 及相应的量的最基本要求是：应该具备“可加性”

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特征；

2．有序性原则：为了保证所取的“微元” 在叠加域内能够较为方便地获得“不遗漏”、“不重复”的完整叠加，在选取“微元”时，就应该注意：按照关于量的某种“序”来选取相应的“微元” ； 平权性原则

微元法”的换元技巧

就“微元法”的应用技巧而言，最为关键的是要掌握好换“元”的技巧。因为通常的解题中所直接选取的“微元”并不一定能使“权函数” 满足形如（4）式所示的“平权”的条件，这将会给接下来的叠加演算带来困难，所以，必须运用换“元”的技巧来改变“权函数” ，使之具备形如（4）式的“平权性”特征以遵从取元的“平权性原则”。

最常见的换“元”技巧有如下几种

（1）“时间元”与“空间元”间的相互代换（表现时、空关系的运动问题中最为常见）；

（2）“体元”、“面元”与“线元”间的相互代换（实质上是降“维”）；

（3）“线元”与“角元”间的相互代换（“元”的表现形式的转换）；

（4）“孤立元”与“组合元”间的相互代换（充分利用“对称”特征）。 总结：微元法在数学、物理等学科普遍使用，作为数学系的大学生我，

我们更应该掌握。

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在这里起航制作室制作 Ttangjianwei@126.com 参考文献：

1）. 华东师范大学数学系 编《数学分析》第四版上册；高等教育出版社出版。

2）. 东北师范大学 编《数学分析辅导及习题精解》第四版上册；延边大学出版社出版。

3）陈纪修，徐惠平，周渊，等编《数学分析习题全解指南》高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/typd.html