粗大误差的检验与坏值的剔除

检测技术中粗大误差的处理

2.5 粗大误差的检验与坏值的剔除对于在同一条件下,多次测量同一被测量 时所得的一组测量值,可用多种统计检验 法来判断是否存在粗大误差。 一、拉依达准则 对于大量的重复测量值，如果其中某一 测量值残差的绝对值大于该测量列的标 准偏差的3倍，那么可以认为该测量值存 在粗大误差，即 vi xi x 3 _

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故又称为3 准则，实际使用时标准误差 可用其估计值S代替。 按上述准则剔除坏值后，应重新计算提出坏值后测量列的算术平均 值和标准误差估计值S,再行判断，直至余下测量值中无坏值存在。

用3 准则判断粗大误差的存在，虽然方法简单，但它是依据正 态分布得出的。当子样容量不很大时，由于所取界限太宽，坏值不 能剔除的可能性较大。特别是当子样容量n<10时，尤其严重，所以 目前都推荐使用以t分布为基础的格拉布斯准则。二、格拉布斯准则 将重复测量值按大小顺序重新排列，

x1 x2 xn

用下式计算首、尾测量值的格拉布斯准则数

Ti

vi S

xi x S (i为1或n)

_

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然后根据子样容量n和所选取的判断显著性水平a,从下表中查得相 应的格拉布斯准则临界值T(n,a)。若Ti>= T(n,a)则可认为Xi 为坏值，应剔除，注意每次只能剔除一个测量值。 若T1和Tn都大于或等于T(n,a),则应先剔除两者中较大者，再 重新计算算术平均值和标准误差估计值S,这时子样容量只有(n1),再行判断，直至余下的测量值中再未发现坏值。 显著性水平a一般可取0.05或0.01,其含意是按临界值判定为坏值而 其实非坏值的概率，即判断失误的可能性。 例题：见吴书P20例1-6

例：有一组重复测量值(C),Xi (i=1,2,…,16):39.44 39.27 39.94 39.44 38.91 39.69 39.48 40.56 39.78 39.35 39.68 39.71 39.46 40.12 39.39 39.76 试分别用依拉达准则和格拉布斯准则检验粗大误差和剔除坏值。

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格拉布斯准则临界值T(n,a)表0.05 0.01 0.05 0.01

34 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1.1531.463 1.672 1.822 1.938 2.032 2.110 2.176 2.234 2.285 2.331 2.371 2.409 2.443

1.1551.492 1.749 1.944 2.097 2.221 2.323 2.410 2.485 2.550 2.607 2.659 2.705 2.747

1718 19 20 21 22 23 24 25 30 35 40 45 50

2.4752.504 2.532 2.557 2.580 2.603 2.624 2.644 2.663 2.745 2.811 2.866 2.914 2.956

2.7852.821 2.854 2.884 2.912 2.939 2.963 2.987 3.009 3.103 3.178 3.240 3.292 3.336

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2.6 系统误差恒值系统误差 变值系统误差 变值系统误差存在与否的检验 系统误差的估计 间接测量中系统误差的传递

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恒值系统误差恒值系统误差的存在只影响结果的正确 度，而不影响结果的精密度，可用更准 确的测量系统和测量方法相比较来发现 恒值系统误差，并提供修正值。 采用交换

法测量技术对消除恒值系统误 差有一定的作用。例如，用天平称重时， 交换砝码和被测物的位置，取两次称重 的平均值，可消除天平臂长不等引起的 误差。

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变值系统误差

根据变化的特点,变值系统误差可分为: 1累积系统误差：测量过程中它随时间增大或 减小，其产生原因往往是元件老化或磨损、工 作电池电压下降等； 2周期性系统误差：测量过程中它的大小和符 号按一定周期发生变化，如秒表指针与度盘不 同心就会产生这样的误差。 3复杂变化的系统误差：变化规律仍未被认识 的系统误差，即未定系统误差，其上下限值常 常确定了测量值的系统不确定度。

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变值系统误差(续)

采用适当的测量方法有助于消除或减少变值系统误差 对测量结果的影响。 1用对称观测法来消除线形变化的累积系统误差的影响。 如用电位差计测量电阻阻值时，为消除电池电压下降 引起的工作电流减小带来的误差，在相等的时间间隔 上先测标准电阻的电压降，再测被测电阻上的电压降， 最后再测标准电阻上的电压降，用两次测得的标准电 阻上的电压降的平均值、被测电阻的电压降和标准电 阻值来计算被测电阻值。 2用半周期偶数观测法来消除周期性变化的系统误差， 当误差变化周期已知时，在测得一数据后，时间间隔 半个周期再测一个数据，取两者平均值作为测量结果。

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变值系统误差存在与否的检验

在容量相当大的测量列中,如果存在变值系统误差,那么 测量值的分布将偏离正态分布特性。可借助考察测量 残差的变化情况和利用某些简捷的判据来检验变值系 统误差的存在与否。 1根据测定值残差的变化检验 将测量值按测量的先后次序排列，若残差的代数值有 规则地向一个方向变化，则测量列中可能有累积系统 误差；若残差的符号呈规律性地交替变化，则含有周 期性系统误差。 注意：这种方法只有在变值系统误差比随机误差大时 才是有效的。

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变值系统误差存在与否的检验(续)2 用马尔科夫准则检验 按测量先后顺序排列测量值，用前一半 测量值残差之和减去后一半测量值残差 之和，若差值显著地异于零，则认为测 量列中含有累计的系统误差。实际上， 当测量次数n很大时，只要差值不等于零， 一般可认为测量列含有累积系统误差。 但当n不太大时，一般认为只有当差值大 于测量列中的最大残差时，才能判定为 测量列中含有累积系统误差。

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变值系统误差存在与否的检验(续)3用阿贝准则检验 按测量先后顺序排列测量值，求出测量 列标准残差估计值S,计算统计量

C vi vi 1

i 1

n 1

若

C n 1 S

2

则可以认为该测量列中含有周期性系统 误差。

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例题例：对某恒温箱温度进行了10次测量， 依测量的先后顺序获得如下测量值(C) 20.06 20.07 20.06 20.08 20.10 20.12 20.14 20.18 20.18 20.21

试检验该测量列中是否含有变值系统误 差？

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系统误差的估计

1在用物理方法求得系统误差的修正值，并对 测量值进行修正后，测量结果中就不再含有该 项系统误差。 2未定系统误差的变化规律难以掌握，要确定 引起该误差原因要花过多代价，所以只能以某 种依据为基础来估计其上限值a和下限值b,进 而估计其误差的恒值部分θ和系统不确定度e。

(a b) / 2

e (a b) / 2

由于估计误差时常带有主观臆断因素，故这种系统不 确定度虽常作为极限误差，但它不像随机不确定度那 样具有明确的置信概率。

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间接测量中系统误差的传递

如果间接测量值y与 m个相互独立的直接测量值Xi (i=1,2,…m)有如下的函数关系：

y f ( x1 , x2 , , xm )则：

y y f ( x1 x1, x2 x 2, , xm xm )

式中， y 的随机误差。

xi

为间接测量值和各直接测量值

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间接测量中系统误差的传递(续)

由于一般情况下测量值远大于不确定度，故按 台劳级数展开上式，并略去高次项得：

f y i i 1 xim

但由于各直接测量值的系统不确定度带有正负

号，故在应用各直接测量值的系统不确定度

求取间接测量值y的系统不确定度ey 时，应采 用如下公式：

ey i 1

m

f ei xi

ei

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2.7 误差综合1)系统误差的合成 ① 已定系统误差 --- 大小和正负已知 --- 代数和 --- 校正消除 ② 未定系统误差 --- 难以知道或不能确切掌握大小和正负--- 极限范围 e --- 不确定度代数相加法、方和根法、广义方和根法 2)随机误差的合成 ① 间接测量平均值的计算 y --- 间接测量量 xi(i =1,2, ,m)--- 直接测量量 y = f(x1,x2,…,xm)--- xi 的单值函数 y = f(x1,x2,…,xm) 2 m ② 间接测量随机误差的合成 y 2 --- 各直接测量量互不相关 y x xi i 1 i ③ 不等精密度测量 “权”--- 比重的大小(信赖度高 --- 比重大) 加权算术平均值 加权算术平均值的均方根误差x ^

Wi x ii 1 m

m

x x i

^

Wi

Wii 1

Wi 1

m

x

^

i

2 2 2 W1 P W P ... W P 1 2 2 m m (m 1)(W1 W2 ... Wm )^ ^ ^

P2 x2 x, Pm xm x 均方根误差 剩余误差 P 1 x1 x ,

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测量结果的表示方法① 多次测量结果的表示 -- 消除系统误差、剔除粗大误差 随机误差数据处理 ---

被测量真值的取值范围(概率)

测量结果 = 样本平均值 不确定度 不确定度(Uncertainty) 测量可以置信的限度 --- K K ---置信系数(K=1, 2, 3等) 概率 --- 置信概率 ^ s x x x 直接测量 x n

-K

K

s 2s 2s 3s 3s 正态分布 ( x s , x ) (x , x ) (x , x ) n n n n n n68.27% 95.45% 99.73% ② 单次测量结果的表示 事前误差分析、以往的同等条件、详尽条件下多次测量的统计结果、 检测器具说明书中给出的误差限 --- 标准偏差的估计值

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