2013届湖北七市(州)高三年级联合考试文科数学试卷(带解析)
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2013届湖北七市(州)高三年级联合考试文科数学试卷(带解析)
一、选择题
1.已知集合A={1,2,3}, BA={3},BA={1,2,3,4,5},则集合B的子集的个数为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【解析】
试题分析:由题意知集合B表示的三个实数是3,4,5共三个元素,所以其子集个数有2=8个.
考点:集合的运算、子集的个数 2.命题“A.B.C.D.【答案】D 【解析】
试题分析:该命题的否定即是“不存在实数x,使得上述不等式成立”.即对考点:原命题的否命题、全称量词与存在量词
3.已知α,β表示两个不同的平面,l为α内的一条直线,则“α//β是“l//β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】
试题分析:α//β可以推出l//β,但l//β,α却不一定平行于β.所以是充分不必要条件. 考点:充分条件与必要条件、线面位置关系 4.函数f(x)=2x-sinx的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
.
”的否定是( )
3
【答案】A 【解析】 试题分析:
,易知该函数导数恒大于0,所以是单增函数.f(0)=0.故只有一个零点.
考点:函数的单调性、函数的零点、导数 5.不等式A.(-2,0) B.(-∞,-2)U(0,+∞) C.(-4,2)
D.(-∞,-4)U(2,+∞) 【答案】C 【解析】 试题分析:
,所以
,所以
,解得
.
对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数x的取值范围是( )
考点:基本不等式、一元二次不等式解法
6.如下图所示,程序框图输出的所有实数对 (x,y)所对应的点都在函数( )
A.y=x+1的图象上 B.y=2x的图象上 C.y=2的图象上 D.y=2的图象上 【答案】D 【解析】
试题分析:由程序框图可知,输出的点依次是(1,1)、(2,2)、(3,4)、(4,8).所以选D. 考点:算法及其程序框图
7.在区间[0,]上随机取一个数x,则事件 “sinxcosx”发生的概率为( )
x-1x
A. B. C. D.1 【答案】C 【解析】
试题分析:在[0,]上,率为.
考点:随机事件的概率、几何概型
8.定义:函数f(x)的定义域为D,如果对于任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得
(其中c为常数)成立,则称函数f(x)在D上的几何均值为c则下列函数在其定
义域上的“几何均值”可以为2的是( ) A.y=x+1 B.y=sinx+3
C.y=e(e为自然对数的底) D.y=|lnx| 【答案】C 【解析】
试题分析:因为对于任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D使得(其中c为常数)成立.则必须是单调函数.否则不能满足“唯一的x2∈D”.在四个选项中,只有C是单调函数.所以选C.
考点:函数的单调性、基本初等函数 9.已知抛物线
与双曲线
有相同的焦点F,点A是两曲线的一
x2
时,,时,.所以的概
个交点,且AF丄y轴,则双曲线的离心率为( ) A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】
试题分析:易知抛物线的焦点
,所以
,其中
,所以
.因为AF丄y轴,所以点A
,从而得
,所以
的纵坐标是c,由点A是两曲线的一个交点得
,又
.
,所以
,双曲线的离心率
考点:双曲线的标准方程与性质、抛物线的标准方程与性质
10.10.设x,y满足约束条件曲线A.
,若目标函数z=ax+by(a>0, b>0)的最大值为8,点P为
上动点,则点P到点(a,b)的最小距离为( )
B.O C.
D.1
【答案】A 【解析】 试题分析:
由得,因为
,即
,易知在直线和的交点(4,6)无交点.对曲线在点(-1,的距离是曲线)到线段
)
处取得最大值为8.所以.故点(a,b)可以视作线段在第三象限.与直线
(x>0,y>0)上的动点,又可知曲线方程求导得处的切线斜率为
,令.与直线
得
,则
.所以曲线)到直线
平行.此时点(-1,
上的动点P到直线(x>0,y>0)即其到直线
的最小距离.作图易知,点(-1,的最小距离是
.
考点:导数、点到直线的距离、函数的图像 二、填空题 1.若【答案】【解析】 试题分析:
,θ为第二象限角,所以
.由
得
.
,θ为第二象限角,则tan2θ=_______.
考点:二倍角的正切公式 2.设复数
其中a为实数,若z的实部为2,则z的虚部为_______.
【答案】-1 【解析】 试题分析:1.
考点:复数的定义与运算 3.已知正方形ABCD的边长为1,则【答案】【解析】 试题分析:以
,
.
考点:向量的运算
4.某行业从2013年开始实施绩效工资改革,为了解该行业职工工资收入情况,调查了lOOO名该行业的职工,并由所得数据画出了如图所示的频率分布直方图,由图可知中位数为:_____现要从这1000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查,则月收入在[3500,4000)(元)内应抽出______人.
.
与
夹角为
.所以
.因为正方形ABCD的边长为1,所
.代入得
=_______.
,因为z的实部为2,所以
,a=3,故虚部为-
【答案】3400,25 【解析】
试题分析:由图可计算这六个收入组的频率依次为:0.1、0.2、0.25、0.25、0.15、0.05.所以中位数应在第三组即[3000,3500)中.由3000+500×(0.5-0.1-0.2)/0.25=3400.因为收入在[3500,4000)内人数占总人数的频率为0.25,所以应抽出100×0.25=25人. 考点:频率分布直方图
5.某三棱锥P-ABC的正视图为如图所示边长为2的正三角形,俯视图为等腰直角三角形,则三棱锥的表面积是_______.
【答案】【解析】
试题分析:由俯视图是等腰直角三角形知:PC、AC、BC两两相互垂直,且AC=BC.所以三棱锥的高即PC.由正视图是边长为2的正三角形知:高PC=,底边AB=2.所以AC=BC=,由勾股定理得PA=PB=.又AB=2,所以三角形PAB中AB边上的高为2.易知底面三角形ABC的面积为1,侧面三角形PAC与PBC的面积均为表面积为
.
,侧面三角形PAB的面积为2.所以三棱锥的
考点:三视图与直观图
6.挪威数学家阿贝尔,曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图),利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式:
则其中:(I)L3= ;(Ⅱ)Ln= . 【答案】【解析】
试题分析:由图(b)第三个长方形面积(从上往下数)可知,与图(b)中最下的长方形面积易知. 考点:新概念的理解
7.若直线与圆:
对称,则实数的取值范围为_______. 【答案】【解析】
试题分析:由、两交点关于直线线
过圆心,所以,故
得
对称可知直线
与直线
相互垂直,且直.所以圆心为
代入,联立方程 ,另
,所以解得
.
交于、两点,且、两点关于直线
;对比图(a)
;
.
.圆的标准方程为:.由直线与圆有两交点,将
.所以
考点:直线与圆的方程、直线与圆的位置关系 三、解答题 1.已知向量
,
设函数
.
求在的值. 【答案】
的最小正周期与单调递增区间; 中,
分别是角
的对边,若
,
,
的面积为
,求
的最小正周期,单调递增区间为;.
【解析】 试题分析:
利用向量数量积的坐标运算及三角恒等变换得到
,可得最
小正周期为.利用复合函数的单调性得单调递增区间先由理得
.
计算出b=2,结合
由面积公式
,最后由余弦定
试题解析:(Ⅰ)
3分
∴由∴
的单调递增区间为的最小正周期
4分 得
6分
8分
(Ⅱ)
10分
在
中,由余弦定理得
12分
考点:1.平面向量的坐标运算;2.三角恒等变换;3.三角形面积公式;4.余弦定理. 2.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C丄平面ABCD,且AB=BC=CA=
AD=CD=1. ,
求证:BD⊥AA1; 若四边形【答案】【解析】
试题分析:在底面ABCD中,由各边的关系可知再由面面垂直的性质定理可得平面,从而证得BD⊥AA1;由于四棱柱底面各边及对角线CA长度都已知,故其面积容易求得.而易知四棱柱的高即菱形中AC边上的高,由及可得高
,所以可得四棱柱体积V=试题解析:(Ⅰ)在四边形又平面
平面又因为
平面,所以平面
. 中,因为
平面 4分 . 6分
平面
,
,所以
2分
是菱形,且
,求四棱柱
的体积.
详见解析;
,且平面平面,所以
(Ⅱ)过点作于点,∵平面
∴即
平面
为四棱柱的一条高 8分
是菱形,且
的高为的底面面积的体积为
12分
,
9分
10分
又∵四边形∴ 四棱柱又∵ 四棱柱∴ 四棱柱
考点:1.面面垂直性质定理;2.棱柱的体积公式;3.解三角形.
3.数列{an}是公比为的等比数列,且1-a2是a1与1+a3的等比中项,前n项和为Sn;数列{bn}是等差数列,b1=8,其前n项和Tn满足Tn=n·bn+1(为常数,且≠1).
(I)求数列{an}的通项公式及的值; (Ⅱ)比较+【答案】【解析】 试题分析:的通项公式
由1-a2是a1与1+a3的等比中项以及公比为可以得出首项,从而求得数列{an}
.通过代特殊值法可以解得
;
可求得
,所以
+
+ +,
与Sn的大小. ;
通过裂项相消以及等比数列求和公式,再用放缩法可以得.
试题解析:(Ⅰ)由题意解得又
,∴,即
,即
2分
4分
解得 或(舍)∴ 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知∴又∴
由①②可知
,
7分
① 9分
11分
② 12分
13分
考点:1.等比数列的性质;2.裂项相消法.3.等比数列的求和公式.
4.在矩形ABCD中,|AB|=2,|AD|=2,E、F、G、H分别为矩形四条边的中点,以HF、GE所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系(如图所示).若R、R′分别在线段0F、CF上,且
.
(Ⅰ)求证:直线ER与GR′的交点P在椭圆:+=1上;
(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点,且直线GM与直线GN的斜率之积为,求证:直线MN过定点. 【答案】【解析】 试题分析:
先计算出E、R、G、R′各点坐标,得出直线ER与GR′的方程,解得其交点坐标 代入满足椭圆方程即可;
先讨论直线MN的斜率不存在时的情况,在讨论斜
详见解析;
直线MN过定点(0,-3).
率存在时,用斜截式设出直线MN方程.与椭圆方程联立,用“设而不求”的方法通过韦达定理得出b为定值-3.从而证明出MN过定点(0,-3). 试题解析:(Ⅰ)∵
,∴
, ① 2分 ② 3分
1分
又又
则直线 则直线
的方程为的方程为
由①②得 4分
5分
∴直线与的交点在椭圆
的斜率不存在时,设
∴
的斜率存在时,设
上 6分
(Ⅱ)① 当直线则② 当直线
,不合题意 8分
联立方程 得
则 ,
10分
又即将
∴直线过定点
代入上式得
14分
13分
考点:1.直线的方程;2.解析几何;3.韦达定理. 5.已知函数若函数讨论函数如果存在试求的最大值. 【答案】
;.
【解析】
试题分析:通过求导以及极值点的导数计算的值为1;通过导数与函数的单调性关系讨论函数的单调减区间;先写出函数表达式,是一个三次多项式.由,
在处取得最小值知在区间上恒成立,从而得
再讨论
得
.
与
时利用二次函数在闭区间的最值问题解
当在
和
上是增函数,在的单调递减区间; ,使函数
,
,在
处取得最小值,
是减函数,求的值;
时,单调减区间为当时,单调减区间为;
试题解析:(Ⅰ)函数
在
和
1分 上是增函数,在
上是减函数,
∴为的两个极值点,∴即 3分
解得:(Ⅱ)
4分
,
的定义域为
,
5分
当当
时,由时,由
解得解得
,
,
的单调减区间为
的单调减区间为
7分
9分 上恒成立,即
(Ⅲ),据题意知① 10分
在区间
当当
时,不等式①成立; 时,不等式①可化为
② 11分
令,由于二次函数的图象是开口向下的抛物线,故它在闭区间上的最小值必在端点处取得,又,所以不等式②恒成立的充要条件是,即 12分 即
,因为这个关于的不等式在区间
13分
又
,故
,
14分
上有解,所以
考点:1.函数的求导;2.利用导数求函数单调性;3.利用二次函数图象解一元二次不等式的恒成立问题.
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