相似三角形最全讲义（教师版）

相似三角形基本知识

知识点一：放缩与相似形

1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．

⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．

3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.

知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念

1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段

的比是

am?bn） a：b＝m：n（或

2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

ac?3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如bd

ac?4、比例外项：在比例bd（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。 （或a：b＝c：d）中b、c叫做比例内项。

ac?5、比例内项：在比例bdac?6、第四比例项：在比例bd（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。

ab?ba（或7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为

a:b＝b:c时，我们把b

叫做a和d的比例中项。

8.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即

ac?（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

（2）比例性质

ac??ad?bcbd1.基本性质: （两外项的积等于两内项积） acbd???ac (把比的前项、后项交换) 2.反比性质： bd3.更比性质(交换比例的内项或外项)：

?ab(交换内项)?c?d，?ac?dc????，(交换外项)bdba??db(同时交换内外项)?c?a．?

4.合比性质：

aca?bc?d???bdbd（分子加（减）分母,分母不变） ．

注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

?b?ad?c??ac?ac??发生同样和差变化比例仍成立．如：?．

bd?a?b?c?d??a?bc?d 5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果

a?c?e???maacem?． ?????(b?d?f???n?0)，那么

b?d?f???nbbdfn注意：(1)此性质的证明运用了“设k法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．

(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

知识点三：黄金分割

1）定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果

ACBC，?ABAC即AC2=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。其中AC?5?1AB≈0.618AB。 22）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C使C是线段AB的黄金分割点.

作法：①过点B作BD⊥AB，使②连结AD，在DA上截取DE=DB；

；

③在AB上截取AC=AE，则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点.黄金分割的比值为：

.（只要求记住）

3）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。

知识点四：平行线分线段成比例定理

(一)平行线分线段成比例定理

1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.

例. 已知l1∥l2∥l3,

A D l1 B E l2

C F l3

ABDEABDE或?等.可得 ?BCEFACDF

2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.

（1）是“A”字型 （2）是“8”字型 经常考，关键在于找

由DE∥BC可得：泛,条件是平行.

ADAEBDECADAE?或?或?.此推论较原定理应用更加广DBECADEAABAC

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