奥数专题 - 裂项法（一）（含答案）

奥数专题——裂项法（一）

同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。

（一）阅读思考 例如

111??，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，3412把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：

11n?1n???nn?1n(n?1)n(n?1)

n?1?n1??n(n?1)n(n?1) 即

111?? nn?1n(n?1)111??

n(n?1)nn?1 或

下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。

【典型例题】

例1. 计算：

1111???……?

1985?19861986?19871987?19881994?1995111??? 1995?19961996?19971997 分析与解答：

111??1985?198619851986111??1986?198719861987111 ??1987?198819871988……111??1994?199519941995- 1 -

111??1995?199619951996

111??1996?199719961997 上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。

11111???…??1985?19861986?19871987?19881995?19961996?1997

1?1997111111111??????……???198519861986198719871988199519961996

111???199719971985? 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。

例2. 计算：? 公式的变式

1111??…?

11?21?2?31?2?3?…?10012?

1?2?…?nn?(n?1) 当n分别取1，2，3，……，100时，就有

12?11?212?1?22?312?

1?2?33?412?1?2?3?44?512?1?2?…?100100?101- 2 -

111?21?2?31?2?…?10022222????…??1?22?33?499?100100?10111111 ?2?(???…??)

1?22?33?499?100100?101111111111?2?(1??????…????)22334991001001011?2?(1?)101?1?1?…?1100101200 ?

10199?1101?2?

例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式符号所代表的数的数的积是多少？ 分析与解：减法是加法的逆运算，

111中这两个??6()??111111就变成?，与???6()??6()??前面提到的等式

111111??相联系，便可找到一组解，即??

6742nn?1n(n?1) 另外一种方法

设n、x、y都是自然数，且x?y，当

111??时，利用上面的变加为减的想法，nxy得算式

x?n1?。 nxy- 3 -

这里

1是个单位分数，所以x?n一定大于零，假定x?n?t?0，则x?n?t，代yn2t1?n。 入上式得?，即y?tn(n?t)y 又因为y是自然数，所以t一定能整除n，即t是n的约数，有n个t就有n个y，这一来我们便得到一个比

22111更广泛的等式，即当x?n?t，??nn?1n(n?1)n2111y??n，t是n2的约数时，一定有??，即

tnxy

11t ??nn?tn(n?t)n2111?n，t是n2的约数时，一定有??，这里 上面指出当x?n?t，y?tnxyn?6,n2?36，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。

当t?1时，x?7，y?42

当t?2时，x?8，y?24 当t?3时，x?9，y?18 当t?4时，x?10，y?15 当t?6时，x?12，y?10 当t?9时，x?15，y?10 当t?12时，x?18，y?9 当t?18时，x?24，y?8 当t?36时，x?42，y?7

故（ ）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。

【模拟试题】（答题时间：20分钟）

二.尝试体验： 1. 计算：

11111???…?? 1?22?33?498?9999?100- 4 -

2. 计算：

11111111111111????????????? 3610152128364555667891105120 3. 已知x、y是互不相等的自然数，当

111??时，求x?y。 18xy- 5 -

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